Tema 7. Geometría analítica.

30 Pages·2008·0.37 MB·Spanish

Tema elaborado por Jose L. Lorente ([email protected]) Tema 7. Geometría analítica en el plano

Tema 7. Geometría analítica.

1. Vectores y puntos en el plano. Sistemas de coordenadas
2. Operaciones con vectores
2.1. Suma y resta de vectores.
2.2. Producto de un número real por un vector
2.3. Punto medio de dos puntos.
3. Producto escalar de vectores. Ángulo entre dos vectores.
4. Combinación lineal de vectores
5. Distancia entre dos puntos
6. Ecuaciones de la recta.
6.1. Vectorial y paramétrica
6.2. Continua y general.
6.3. Punto pendiente y explícita
7. Posiciones relativas entre dos rectas
8. Ángulo entre dos rectas
9. Bisectrices de dos rectas. Incentro de un triángulo
9.1. Bisectrices
9.2. Incentro
10. Mediatriz de un segmento. Circuncentro de un triángulo
10.1. Mediatriz de un segmento.
10.2. Circuncentro de un triángulo.
11. Medianas y alturas de un triángulo. Baricentro y ortocentro
de un triángulo
11.1. Medianas y alturas de un triángulo
11.2. Baricentro y ortocentro

1
Tema elaborado por Jose L. Lorente ([email protected]) Tema 7. Geometría analítica en el plano

1. Vectores y puntos en el plano. Coordenadas
El sistema de coordenadas cartesianas es la manera más habitual de ordenar la
posición de los elementos en el plano y en el espacio. En este tema nos centraremos en
los sistemas en el plano (2 dimensiones)
Definición: sistema de coordenadas cartesianas en el plano está formado por dos
rectas perpendiculares (eje vertical OY, eje horizontal OX) que se cortan en un punto
denominado origen. Cada uno de los dos ejes está escalado de forma que la distancia
entre dos naturales consecutivos es la misma. La parte derecha (respecto al origen) del
eje OX es el semieje positivo siendo la izquierda el negativo. En el eje OY la parte
positiva es la de arriba del origen siendo la negativa la inferior
Definición: un punto P en el plano nos describe una posición, viene definido por
dos coordenadas P(x,y), siendo las proyecciones del punto en los ejes OX y OY. Los
puntos se escriben con mayúsculas y las coordenadas se escriben a continuación de la
letra sin igual entre ambas.
Ejemplos: A(-2,-3), B(2,-1), C(0,3)
C (0,00; 3,00)
1
1
B (2,00; -1,00)
A (-2,00; -3,00)

Definición: vector fijo (cid:1827)(cid:3364)(cid:3364)(cid:3364)(cid:1828)(cid:3364) entre dos puntos A (origen) y B (extremo) es un
segmento orientado caracterizado por:
− Dirección o recta que le contiene o cualquiera paralela
− Sentido u orientación del vector de A a B
− Módulo o longitud del segmento
− Origen (el punto A)
Coordenadas del vector fijo: el vector (cid:1827)(cid:3364)(cid:3364)(cid:3364)(cid:1828)(cid:3364) caracterizado por dos coordenadas
(cid:1827)(cid:3364)(cid:3364)(cid:3364)(cid:1828)(cid:3364)=(x,y), donde x indica las unidades que avanza en el eje horizontal e y las unidades
de avanza en el eje vertical. Las coordenadas se obtienen restando las coordenadas del
extremo menos la del origen, si A(x ,y ) y B(x ,y ) (cid:198) (cid:1827)(cid:3364)(cid:3364)(cid:3364)(cid:1828)(cid:3364)=(x -x ,y -y ).
a a b b b a b a

2
Tema elaborado por Jose L. Lorente ([email protected]) Tema 7. Geometría analítica en el plano

Ejemplo: veamos gráficamente el vector (cid:1827)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1828)(cid:4652)(cid:1318):
1
1
B
(2,00; -1,00)
(cid:1827)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1828)(cid:4652)(cid:1318) (cid:3404)(cid:4666)4,2)
A (-2,00; -3,00)

Vemos en este ejemplo (cid:1827)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1828)(cid:4652)(cid:1318) (cid:3404) (cid:4666)4,2), vemos que avanza 4 unidades a la derecha y 2
hacia arriba.
El módulo del vector se denota como |(cid:1827)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1828)(cid:4652)(cid:1318)|. Para calcular el módulo de un vector
(cid:1827)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1828)(cid:4652)(cid:1318)=(x,y)=(x -x ,y -y ) aplicamos el teorema de Pitágoras:
b a b a
|(cid:1827)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1828)(cid:4652)(cid:1318)| (cid:3404) (cid:3493)(cid:1876)(cid:2870) (cid:3397)(cid:1877)(cid:2870) (cid:3404) (cid:3493)(cid:4666)(cid:1876) (cid:3398)(cid:1876) (cid:4667)(cid:2870) (cid:3397)(cid:4666)(cid:1877) (cid:3398)(cid:1877) (cid:4667)(cid:2870)
(cid:3029) (cid:3028) (cid:3029) (cid:3028)
Nota: (cid:1827)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1828)(cid:4652)(cid:1318)=(cid:3398)(cid:4652)(cid:1828)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1827)(cid:4652)(cid:1318), es decir mismo módulo dirección, pero sentido opuesto.
Definición: vectores equipolentes son los que tienen misma dirección, sentido y
módulo, lo único que cambia es el origen del vector. Las coordenadas son las mismas en
todos los vectores equipolentes.
Ejemplo: A(-2,-3), B(2,-1), C(1,1), D(5,3) (cid:1827)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1828)(cid:4652)(cid:1318) (cid:3404) (cid:4666)3,4(cid:4667), (cid:4652)(cid:1829)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1830)(cid:4652)(cid:1318) (cid:3404) (cid:4666)3,4(cid:4667)
(5,00; 3,00)
1
(1,00; 1,00)
1
B
(2,00; -1,00)
A (-2,00; -3,00)

3
Tema elaborado por Jose L. Lorente ([email protected]) Tema 7. Geometría analítica en el plano

Definición: vector libre es el conjunto de todos los vectores equipolentes, se suelen
denotar con una letra minúscula con vector arriba. A la hora de representarlos se suele
tomar el vector cuyo origen está en el origen de coordenadas.
Ejemplo (cid:1874)(cid:1318) (cid:3404) (cid:4666)4,2(cid:4667)
1
v=(4,2)
1

Ejercicios
1. Representar los vectores (cid:1827)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1828)(cid:4652)(cid:1318) y (cid:4652)(cid:1829)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1830)(cid:4652)(cid:1318) siendo A(1,1), B(-2,7), C(6,0), D(3,6) y
observa que son equipolentes. Calcula las coordenadas y el módulo (1 pag 176).

(-2,00; 7,00)

(3,00; 6,00)

(cid:1827)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1828)(cid:4652)(cid:1318)=(cid:4652)(cid:1829)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1830)(cid:4652)(cid:1318)=(-3,6)
|(cid:1827)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1828)(cid:4652)(cid:1318)|=|(cid:4652)(cid:1829)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1830)(cid:4652)(cid:1318)|=√9(cid:3397)36 (cid:3404)
(cid:3404) √45 (cid:3404) 3√5

1
(1,00; 1,00)

1
(6,00; 0,00)

2. Dados los puntos A(3,-1), B(4,6) y C(0,0) hallar el punto D para que los vectores
(cid:1827)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1828)(cid:4652)(cid:1318) y (cid:4652)(cid:1829)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1830)(cid:4652)(cid:1318) sean equipolentes (2 pg 176).
D(x,y), (cid:1827)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1828)(cid:4652)(cid:1318)=(cid:4666)4(cid:3398)3,6(cid:3397)1(cid:4667) (cid:3404) (cid:4666)1,7(cid:4667) (cid:4652)(cid:1829)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1830)(cid:4652)(cid:1318) (cid:3404) (cid:4666)x(cid:3398)0,y(cid:3398)0(cid:4667). Como son equipolentes
se cumple (cid:1827)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1828)(cid:4652)(cid:1318)=(cid:4652)(cid:1829)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1830)(cid:4652)(cid:1318) (cid:198) x=1, y=7(cid:198) D(1,7)

4
Tema elaborado por Jose L. Lorente ([email protected]) Tema 7. Geometría analítica en el plano

2. Operaciones con vectores
2.1. Suma y resta de vectores.
La suma de dos vectores (cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)=(x ,y ) y (cid:1874)(cid:1318)=(x ,y ) es otro vector libre que se denota
1 1 2 2
como (cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)(cid:3397)(cid:1874)(cid:1318) (cid:3404)(x +x ,y +y ). Gráficamente el vector suma es que se obtiene de la
1 2 1 2
siguiente forma:
− Se sitúan los dos vectores con mismo origen
− A partir de los dos vectores se genera un paralelogramo
− El vector suma (cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)(cid:3397)(cid:1874)(cid:1318) es la diagonal del paralelogramo
(cid:1874)(cid:1318)
(cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)+(cid:1874)(cid:1318) (cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)
1 (cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)
1 (cid:1874)(cid:1318)

Propiedades:
− Conmutativa: (cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)+(cid:1874)(cid:1318)=(cid:1874)(cid:1318)+(cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)
− Asociativa: ((cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)+(cid:1874)(cid:1318)(cid:4667)(cid:3397)w(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1318)=(cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)+(cid:4666)(cid:1874)(cid:1318) (cid:3397)(cid:1875)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1318)(cid:4667)
La diferencia de dos vectores (cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)=(x ,y ) y (cid:1874)(cid:1318)=(x ,y ) es otro vector libre que se
1 1 2 2
denota como (cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)(cid:3398)(cid:1874)(cid:1318) (cid:3404)(x -x ,y -y ). Gráficamente el vector suma es que se obtiene de la
1 2 1 2
siguiente forma:
− Se sitúan los dos vectores con mismo origen
− El vector diferencia (cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)(cid:3398)(cid:1874)(cid:1318) es el vector que une el extremo de (cid:1874)(cid:1318) con el de (cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)
(cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)(cid:3398)(cid:1874)(cid:1318)
(cid:1874)(cid:1318)
(cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)
1
1

5
Tema elaborado por Jose L. Lorente ([email protected]) Tema 7. Geometría analítica en el plano

2.2. Producto de un número real por un vector.
El producto de un vector libre (cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)=(x,y) por un número real λ es otro vector libre
λ·(cid:1873)(cid:4652)(cid:1318) (cid:3404) (cid:4666)λx, λy) tal que se cumple:
− Misma dirección
− El módulo: |λ·(cid:1873)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1318)|=|λ|·|(cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)|
− El sentido es tal que si λ>0 mismo sentido y si λ<0 sentido contrario
Ejemplo gráfico:

3(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)
(cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)
1
(cid:3398)0.5(cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)
1

Ejemplo analítico: (cid:1873)(cid:4652)(cid:1318) (cid:3404) (cid:4666)3,(cid:3398)4(cid:4667), 2·(cid:1873)(cid:4652)(cid:1318) (cid:3404) (cid:4666)6,(cid:3398)8(cid:4667) (cid:198) módulo |(cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)|=√9(cid:3397)16 (cid:3404) 5,
|2(cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)|=√36(cid:3397)64 (cid:3404) 2(cid:3401)5 (cid:3404) 10

Ejercicio 1 (pag 177)
a) Representar los vectores (cid:1873)(cid:4652)(cid:1318) (cid:3404) (cid:1827)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1828)(cid:4652)(cid:1318) y (cid:1874)(cid:1318) (cid:3404) (cid:1828)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1829)(cid:4652)(cid:1318) siendo A(1,3), B(4,5)y C(6,-2). Halla
sus coordenadas
b) Representar (cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)+(cid:1874)(cid:1318) y obtén las coordenadas
c) Representar 3(cid:1873)(cid:4652)(cid:1318), -2(cid:1873)(cid:4652)(cid:1318), 0(cid:1874)(cid:1318) y hallar sus coordenadas
d) Representa y halla las coordenadas de 3(cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)-4(cid:1874)(cid:1318)
Solución
a) (cid:1827)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1828)(cid:4652)(cid:1318) (cid:3404) (cid:4666)3,2(cid:4667), (cid:1828)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1829)(cid:4652)(cid:1318) (cid:3404) (cid:4666)2,(cid:3398)7(cid:4667)
b) (cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)+(cid:1874)(cid:1318)=(5,-5)
c) 3(cid:1873)(cid:4652)(cid:1318) (cid:3404) (cid:4666)9,6(cid:4667),(cid:3398)2(cid:1873)(cid:4652)(cid:1318) (cid:3404) (cid:4666)(cid:3398)6,(cid:3398)4(cid:4667), 0(cid:1874)(cid:1318) (cid:3404) (cid:4666)0,0(cid:4667)
d) 3(cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)-4(cid:1874)(cid:1318)=(9,6)-(8,-28)=(1,34)

6
Tema elaborado por Jose L. Lorente ([email protected]) Tema 7. Geometría analítica en el plano

(cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)
(cid:1874)(cid:1318)
(cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)(cid:3397)(cid:1874)(cid:1318)
1
1

2.3. Punto medio de dos puntos
En este apartado seremos capaces de calcular el punto medio un segmento a
partir de la suma de vectores.
Consideramos el segmento con extremos A(x ,y ) y B(x ,y ) y vamos a
a a b b
determinar el punto medio M(x ,y ). Observa la figura:
m m
B
O

(cid:1841)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1828)(cid:4652)(cid:1318)=(cid:1841)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1827)(cid:4652)(cid:1318)(cid:3397)(cid:1827)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1839)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1318)(cid:3397)(cid:4652)(cid:1839)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1828)(cid:4652)(cid:1318) (cid:3404) (cid:1841)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1827)(cid:4652)(cid:1318)(cid:3397)2(cid:3401)(cid:1827)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1839)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1318) (cid:198) (cid:1827)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1828)(cid:4652)(cid:1318)=2·(cid:1827)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1839)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1318)
Expresando los vectores en coordenadas:
x (cid:3404) x (cid:3397)2(cid:4666)x (cid:3398)x (cid:4667)
(x ,y )= (x ,y )+2·(x -x ,y -y ) (cid:198) (cid:3420) (cid:2912) (cid:2911) (cid:2923) (cid:2911)
b b a a m a a m y (cid:3404) y (cid:3397)2(cid:4666)y (cid:3398)y (cid:4667)
(cid:2912) (cid:2911) (cid:2923) (cid:2911)
De donde despejando obtenemos las coordenadas de M:

x (cid:3397)x y (cid:3397)y
(cid:2911) (cid:2912) (cid:2911) (cid:2912)
x (cid:3404) y (cid:3404)
(cid:2923) 2 (cid:2923) 2

7
Tema elaborado por Jose L. Lorente ([email protected]) Tema 7. Geometría analítica en el plano

Ejercicios:
1) Hallar el punto medio del segmento de vértices A(1,3), B(2,-1).
2) Dividir el segmento anterior en tres partes

(cid:2869)(cid:2878)(cid:2870) (cid:2871)(cid:2879)(cid:2869)
1) M( , )(cid:198) M(1.5,1)
(cid:2870) (cid:2870)
2) Llamemos M (x,y) y M (x’,y’) a los puntos que dividen el segmento AB en tres
1 2
partes, se cumple:
(cid:2872)
1 (cid:3404) 3(cid:1876)(cid:3398)3 (cid:1372) (cid:1876) (cid:3404)
(cid:1827)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1828)(cid:4652)(cid:1318)=3(cid:3401)(cid:1827)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1839)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1318) (cid:198) (1,-4)=3(x-1,y-3) (cid:198) (cid:2871)
(cid:2869) (cid:2873)
(cid:3398)4 (cid:3404) 3(cid:1877)(cid:3398)9 (cid:1372) (cid:1877) (cid:3404)
(cid:2871)
(cid:2870) (cid:2873)
(cid:3404) (cid:1876) (cid:3398)1 (cid:1372) (cid:1876) (cid:3404)
2(cid:3401)(cid:1827)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1839)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1318) =(cid:1827)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1839)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1318) (cid:198) 2·((cid:2872)(cid:3398)1,(cid:2873)(cid:3398)3)=(x-1,y-3) (cid:198) (cid:2871) (cid:2871)
1 2 (cid:2871) (cid:2871) (cid:3398)(cid:2870) (cid:3404) (cid:1877)(cid:3398)3 (cid:1372) (cid:1877) (cid:3404) (cid:2875)
(cid:2871) (cid:2871)
3. Producto escalar de dos vectores
El producto escalar de dos vectores libres (cid:1873)(cid:4652)(cid:1318) (cid:3404)(u ,u ) y (cid:1874)(cid:1318)=(v ,v ) es un número
x y x y
cumple:
(cid:3554) (cid:3554)
(cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)(cid:3401)(cid:1874)(cid:1318)=|(cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)|(cid:3401)|(cid:1874)(cid:1318)|(cid:3401)cos(cid:3435)(cid:1873)(cid:4652)(cid:1318),(cid:1874)(cid:1318)(cid:3439) Siendo (cid:1873)(cid:4652)(cid:1318),(cid:1874)(cid:1318) el ángulo que forman los dos vectores.
Se puede calcular de forma analítica de la siguiente forma:
(cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)(cid:3401)(cid:1874)(cid:1318)=u ·v +u ·v
x x y y
(cid:3554)
Si dos vectores son perpendiculares se cumple que cos(cid:3435)(cid:1873)(cid:4652)(cid:1318),(cid:1874)(cid:1318)(cid:3439) (cid:3404) 0 y por tanto su
producto escalar es nulo: (cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)⊥(cid:1874)(cid:1318) (cid:1372) (cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)(cid:3401)(cid:1874)(cid:1318)=0
Las dos definiciones del producto escalar nos permiten calcular el ángulo que forma
(cid:3554)
los dos vectores, simplemente despejando cos(cid:3435)(cid:1873)(cid:4652)(cid:1318),(cid:1874)(cid:1318)(cid:3439) de las dos ecuaciones:
(cid:1873) (cid:3401)(cid:1874) (cid:3397)(cid:1873) (cid:3401)(cid:1874) (cid:1873) (cid:3401)(cid:1874) (cid:3397)(cid:1873) (cid:3401)(cid:1874)
(cid:3554) (cid:3051) (cid:3051) (cid:3052) (cid:3052) (cid:3051) (cid:3051) (cid:3052) (cid:3052)
cos(cid:3435)(cid:1873)(cid:4652)(cid:1318),(cid:1874)(cid:1318)(cid:3439) (cid:3404) (cid:3404)
|(cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)|(cid:3401)|(cid:1874)(cid:1318)| (cid:3493)(cid:1873) (cid:2870) (cid:3397)(cid:1873) (cid:2870)(cid:3493)(cid:1874) (cid:2870) (cid:3397)(cid:1874) (cid:2870)
(cid:3051) (cid:3052) (cid:3051) (cid:3052)

Ejercicio: calcular el producto escalar de (cid:1873)(cid:4652)(cid:1318) (cid:3404) (cid:4666)(cid:3398)2,5(cid:4667) y (cid:1874)(cid:1318) (cid:3404) (cid:4666)1,3(cid:4667) así como el
ángulo que forman los dos vectores.
(cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)(cid:3401)(cid:1874)(cid:1318)=u ·v +u ·v =-2·1+5·3=13
x x y y
|(cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)| (cid:3404) √2(cid:2870) (cid:3397)5(cid:2870) (cid:3404) √29
|(cid:1874)(cid:1318)| (cid:3404) √1(cid:2870) (cid:3397)3(cid:2870) (cid:3404) √10
cos(cid:3435)(cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)(cid:3554),(cid:1874)(cid:1318)(cid:3439) (cid:3404) (cid:3048)(cid:3299)(cid:3401)(cid:3049)(cid:3299)(cid:2878)(cid:3048)(cid:3300)(cid:3401)(cid:3049)(cid:3300) (cid:3404) (cid:2869)(cid:2871) (cid:3404) (cid:2869)(cid:2871) (cid:198)(cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)(cid:3554),(cid:1874)(cid:1318)=arcos( (cid:2869)(cid:2871) (cid:4667)=40,23º
|(cid:3048)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1318)|(cid:3401)|(cid:3049)(cid:4652)(cid:1318)| √(cid:2870)(cid:2877)√(cid:2869)(cid:2868) √(cid:2870)(cid:2877)(cid:2868) √(cid:2870)(cid:2877)(cid:2868)

8
Tema elaborado por Jose L. Lorente ([email protected]) Tema 7. Geometría analítica en el plano

Ejercicio: Calcular el valor de a para que el vector (cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)=(a,1) forme un ángulo de 30º
con el vector (cid:1874)(cid:1318)=(2,3):
(cid:2203)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1318)·(cid:2204)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1318)=2a+3
(cid:2203)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1318)= a2 +1
(cid:2204)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1318)= 22 +32 = 13
2(cid:1853)(cid:3397)3 √3
(cid:3554)
cos(cid:3435)(cid:1873)(cid:4652)(cid:1318),(cid:1874)(cid:1318)(cid:3439) (cid:3404) (cid:3404) cos(cid:4666)30(cid:4667) (cid:3404)
√(cid:1853)(cid:2870) (cid:3397)1√13 2
4a+6=√3√13√(cid:1853)(cid:2870) (cid:3397)1
(4a+6)2=3·13(a2+1)
24 13 3
 +
16a2+36+48a=39a2+39 (cid:198) 23a2-48a+3=0(cid:198) a=48± 2028 = 23 23
46 24 13 3

−

23 23
4. Combinación lineal de vectores
Un vector (cid:1875)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1318) es combinación lineal de dos vectores (cid:1873)(cid:4652)(cid:1318) y (cid:1874)(cid:1318) si existen dos números
reales que llamaremos λ y µ tal que (cid:1875)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1318)=λ(cid:3401)(cid:1873)(cid:4652)(cid:1318)+µ·(cid:1874)(cid:1318)
Ejemplo:
(3,-2)=3·(1,0)-2·(0,1)
(5,1)=2·(2,1)+3·(1,0)
Ejercicio: Calcular λ y µ:
a) (6,1)= λ·(2,1)+ µ·(1,-2)
b) (1,-6)= λ·(1,0)+ µ(1,-3)
c) (3,-2)= λ(1,1)+µ(2,2)

6= 2λ+µ
a) (cid:198) λ=13/5, µ=4/5
1=λ−2µ
1=λ+µ
b) (cid:198) λ=-1, µ=2
−6= −3µ
3=λ+2µ
c) Incompatible.
−2=λ+2µ
Si los dos vectores no son proporcionales todo vector se puede poner como
combinación lineal de éstos (linealmente independientes).
Si son proporcionales esto no ocurre, ver ejemplo c). Se llaman linealmente
dependientes

9
Tema elaborado por Jose L. Lorente ([email protected]) Tema 7. Geometría analítica en el plano

Ejercicio: rellenar los cuadrados con números:
D E
H I J
O O’
C F G K
N M L
B A

1) (cid:1827)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1832)(cid:4652)(cid:1318)=(cid:0)(cid:1841)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1828)(cid:4652)(cid:1318)+(cid:0)(cid:1829)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1841)(cid:4652)(cid:1318) 1) (cid:1833)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1841)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1318)(cid:1314)=(cid:0)(cid:4652)(cid:1840)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1841)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1318)(cid:1314)+(cid:0)(cid:1834)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1841)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1318)(cid:1314)
2) (cid:4652)(cid:1829)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1832)(cid:4652)(cid:1318)=(cid:0)(cid:4652)(cid:1830)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1841)(cid:4652)(cid:1318)+(cid:0)(cid:1828)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1841)(cid:4652)(cid:1318) 2) (cid:1835)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1841)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1318)(cid:1314)=(cid:0)(cid:1835)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1836)(cid:1318)+(cid:0)(cid:4652)(cid:1836)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1841)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1318)(cid:1314)
3) (cid:1828)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1831)(cid:4652)(cid:1318)=(cid:0)(cid:1829)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1841)(cid:4652)(cid:1318)+(cid:0)(cid:4652)(cid:1841)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1830)(cid:4652)(cid:1318) 3) (cid:1840)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1836)(cid:1318)=(cid:0)(cid:4652)(cid:1836)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1841)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1318)(cid:1314)+(cid:0)(cid:1833)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1841)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1318)(cid:1314)
4) (cid:4652)(cid:1830)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1831)(cid:4652)(cid:1318)=(cid:0)(cid:1841)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1828)(cid:4652)(cid:1318)+(cid:0)(cid:1832)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1831)(cid:4652)(cid:1318) 4) (cid:4652)(cid:1841)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1314)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1838)(cid:1318)=(cid:0)(cid:1841)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1314)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1839)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1318)+(cid:0)(cid:1838)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1839)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1318)
5) (cid:1828)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1831)(cid:4652)(cid:1318)=(cid:0)(cid:1841)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1828)(cid:4652)(cid:1318)+(cid:0)(cid:1829)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1841)(cid:4652)(cid:1318)
Solución
1) (cid:1827)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1832)(cid:4652)(cid:1318)=-1·(cid:1841)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1828)(cid:4652)(cid:1318)+0·(cid:1829)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1841)(cid:4652)(cid:1318) 1) (cid:1833)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1841)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1318)(cid:1314)=0.5·(cid:4652)(cid:1840)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1841)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1318)(cid:1314)+0.5·(cid:1834)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1841)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1318)(cid:1314)
2) (cid:4652)(cid:1829)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1832)(cid:4652)(cid:1318)=2·(cid:4652)(cid:1830)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1841)(cid:4652)(cid:1318)+2·(cid:1828)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1841)(cid:4652)(cid:1318) 2) (cid:1835)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1841)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1318)(cid:1314)=1·(cid:1835)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1836)(cid:1318)+1·(cid:4652)(cid:1836)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1841)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1318)(cid:1314)
3) (cid:1828)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1831)(cid:4652)(cid:1318)=2·(cid:1829)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1841)(cid:4652)(cid:1318)+2·(cid:4652)(cid:1841)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1830)(cid:4652)(cid:1318) 3) (cid:1840)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1836)(cid:1318)=-2·(cid:4652)(cid:1836)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1841)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1318)(cid:1314)+0·(cid:1833)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1841)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1318)(cid:1314)
4) (cid:4652)(cid:1830)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1831)(cid:4652)(cid:1318)=-1·(cid:1841)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1828)(cid:4652)(cid:1318)-1·(cid:1832)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1831)(cid:4652)(cid:1318) 4) (cid:4652)(cid:1841)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1314)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1838)(cid:1318)=1·(cid:1841)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1314)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1839)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1318)-1·(cid:1838)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1839)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1318)
5) (cid:1828)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1831)(cid:4652)(cid:1318)=-2·(cid:1841)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1828)(cid:4652)(cid:1318)+0·(cid:1829)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1841)(cid:4652)(cid:1318)

5. Distancia entre dos puntos
La distancia de dos puntos A y B, d(A,B), coincide con el módulo del vector (cid:1827)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1828)(cid:4652)(cid:1318), ya
que recordemos que el módulo media el tamaño del vector, es decir la distancia entre el
origen A y el extremo B del vector:
d(A,B)=| (cid:1827)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:4652)(cid:1828)(cid:4652)(cid:1318)=(cid:3493)(cid:4666)(cid:1876) (cid:3398)(cid:1876) (cid:4667)(cid:2870) (cid:3397)(cid:4666)(cid:1877) (cid:3398)(cid:1877) (cid:4667)(cid:2870)|
(cid:3029) (cid:3028) (cid:3029) (cid:3028)
Ejercicio: Sea el triángulo de vértices A(0,0), B(3,0), C(2,-2). 1) Determinar si el
triángulo es isósceles, equilátero o escaleno. 2) calcular los ángulos y ver si es
acutángulo, rectángulo o rectángulo
Solución: viendo la distancia entre los
vértices obtendremos el tamaño de los lados, y
así podremos discernir si es equilátero,
isósceles o escaleno.

10