Table Of ContentFrancesco Giacomo Tricomi
Repertorium der Theorie der Differentialgleichungen
Francesco Giacomo Tricomi
Repertorium der Theorie
der Differentialgleichungen
Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York I968
Francesco Giacomo Tricomi
Accademico Linceo
Corso Tassoni 34
1-10/43 Turin/Italien
ISBN-13: 978-3-642-88093-3 e-ISBN-13: 978-3-642-88092-6
DOl: 10-1007/978-3-642-88092-6
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© by Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 1968
Softcover reprint of the hardcover 1st edition 1968
Library of Congress Catalog Card Number 67-29474. Printed in Germany
Titel-Nr. 1456
Vorwort
Das vorliegende Buch hat den Zweck, manche Haupteigen
schaften sowohl der gewohnlichen als auch der partiellen Differen
tialgleichungen, die bei Anwendungen haufig auftreten, kurz in
Erinnerung zu bringen.
Die Sache ist aber auf so knappem Raum nur dadurch moglich
gewesen, daB ich mich prinzipiell auf Anfangswertprobleme be
schrankt habe. Dementsprechend fallen hier die (allerdings so
wichtigen) Eigenwertprobleme bei gewohnlichen Differentialglei
chungen und die partiellen Gleichungen vom elliptischen Typus
vollstandig aus. AuBerdem wird hier der elementarste Teil der
Theorie (trennbare Gleichungen usw.), den man tiberall finden kann,
nicht behandelt.
Allerdings findet man in diesem Repertorium etwas tiber par
tielle Differentialgleichungen vom gemischten Typus, nicht nur
well diese Theorie zum groBen Teil vom Verfasser entwickelt wurde,
sondern weil Angaben dartiber sonst schwer zu finden sind.
Die Schreibart ist zum groBen Teil enzyklopadisch, daher
werden meistens die Beweise unterdrtickt oder nur skizziert. Trotz
dem sollen die angcgebenen Winke gentigen, den Geist der ver
schiedenen Satze richtig zu erfassen, so daB manchmal dieses Btich
lein allein fi.ir viele Anwendungen gentigend sein mag. Insbesondere
wird der numerischen Behandlung der betrachteten Probleme immer
die pass en de Aufmerksamkeit geschenkt.
FRANCESCO GIACOMO TRICOMI
Inhaltsverzeichnis
ERSTES KAPITEL
Gew6hnliche Differentialgleichungen
1.1 Gleichungen h6herer Ordnung und Systeme 1
1.2 Darstellung durch Richtungs- und Vektorfelder . 4
1.3 Singulare Stellen des Richtungsfeldes einer Differentialgleichung
erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Stabilitat und Instabilitat. Das Verfahren von Ljapunov 16
1.5 Anwendung auf das Pendelproblem . . . . . . . . 19
1.6 ~umerische Integrationsverfahren. . . . . . . . . . . 22
1.7 Dber die Theorie der linearen Differentialgleichungen 26
1.8 Zuriickfiihrung einer linearen Differentia1g1eichung auf eine
Volt errasche Int egra1g1eich ung . . . . . . . . . . 31
1.9 Differentia1g1eichungen der Fuchsschen K1asse 36
1.10 Die GauBsche hypergeometrische Differentia1gleichung 40
1.11 Die konfiuente hypergeometrische Differentialgleichung 50
1.12 Die Besse1sche Differentialgleichung . . . . . . . . . 55
ZWEITES KAPITEL
Partielle Differentialgleichungen vom hyperbolischen Typus
2.1 Allgemeine Bemerkungen 61
2.2 Kanonische Formen der hyperbolischen Differentialgleichungen
und Systeme . . . . . . . . . . . . . . 65
2.3 Das Kettenverfahren von Laplace. . . . 69
2.4 Die Differentialgleichung von Euler-Poisson. 72
2.5 Die Wellengleichung. . . . . . . . . . . 75
2.6 Das Anfangswertproblem fUr die Welleng1eichung im Fall n = 1.
Die Prob1eme von Darboux und Goursat. 78
2.7 Die Riemannsche L6sung des Anfangswertproblems fiir die
hyperbolischen Differentialgleichungen. . . . . . . . . .. 85
2.8 Numerische Behandlung des Darbouxschen und Cauchyschen
Problems mit Hilfe des Differenzenverfahrens. . 89
2.9 Die Grundg1eichungen der Gasdynamik 96
2.10 Unstetige L6sungen von Anfangswertprob1emen . 100
VIII Inhalt sverzeichnis
2.11 Differentialgleichungen mit mehreren unabhangigen Verander-
lichen . . . . . . . . . . . . . 102
2.12 vVeiteres tiber die Wellengleichung 105
DRITTES KAPITEL
Partielle Differentialgleichungen vom parabolischen Typus
3.1 Die Warmeleitungsgleichung. Parabolische Differentialglei-
chungen und Systeme . . . . 110
3.2 Das Problem der Abktihlung eines dtinnen Stabes . . . . . . 113
3.3 Ein Eindeutigkeitssatz fiir parabolische Differentialgleichungen 115
3.4 Anwendung der Greenschen Methode 117
3.5 Der einseitig unendliche Warmeleiter 120
3.6 Anwendung des Differenzenverfahrens 123
3.7 Der zweiseitig unendliche Warmeleiter und die Zerlegung einer
Funktion in Gau13sche Fehlerkurven. . . . . . . . . . . . 128
VIERTES KAPITEL
Partielle Differentialgleichungen vom gemischten Typus
4.1 Die verschiedenen Untertypen und die entsprechenden kano-
nischen Formen. . . . . . . . . . . 133
4.2 Differentialgleichungen vom gemischten Typus und die trans-
sonische Gasdynamik . . . . . . . . . . . . . 136
4.3 Die T-Gleichung in ihrer hyperbolischen Halbebene 138
4.4 Das Tricomische Problem und der entsprechende Eindeutig
keitssatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
4.5 Die T -Gleichung in ihrer elliptischen Halbebene. . 146
4.6 Der Existenzsatz fUr das Tricomische Problem und die "tran-
sonic controversy" . . . . . . . . . . . . . . 150
4.7 Spezielle L6sungsklassen der T-Gleichung 153
4.8 Weitere partielle Differentialgleichungen vom gemischten Typus 156
Literatur . . . . . . . . . 162
Namen- und Sachverzeichnis 164
ERSTES KAPITEL
Gewohnliche Differentialgleichungen
1.1 Gleichungen hoherer Ordnung und Systeme
Physikalische, technische und viele andere Probleme ftihren
haufig auf gewohnliche Ditferentialgleichungen, d. h. auf Beziehungen
zwischen einer unbekannten, von einer Veranderlichen x abhangigen
Funktion y, deren Ableitungen y', y", .. , bis zur Ordnung n und x
selbst. Es handelt sich also um Gleichungen der Gestalt
F(x· ,y,y' ,···,y (n)) -- 0 . (1.1.1)
Sind sie nach auflosbar, so erhiiJt man spezieller
y(n)
v-' (n) = j (x~ , ."J , y' , ••• , y(,,-l)) • (1.1.2)
Solche Gleichungen haben immer unendlich viele partikulare
LoS1tngen, die durch Ausdriicke mit willkiirlichen Konstanten dar
gestellt werden konnen. Insbesondere spricht man von einer allge
meinen Losttng, wenn es sich urn eine solche der Form
(1.1.3)
handelt, wobei y von n willkiirlichen Konstanten c1, C2, ••• , Cn so
abhangen solI, daB beliebig vorgegebene A njangsbeding1tngen der
Form
befriedigt werden konnen. ~Iit anderen \Vorten: das System
rp(xo, c c Yo
1, C2,···, n) =
(1.1.5)
solI nach den Konstanten C1, c2, ••• , Cn auflosbar sein.
Eine einzige Differentialgleichung hoherer Ordnung von der Ge
stalt (1.1.2) kann unmittelbar in ein System von n Differential-
2 1. Gewohnliche Differentialgleichungen
gleichungen erster Ordnung mit n unbekannten Funktionen YI' Y2'
.•. , Y. . umgewandelt werden. Es geniigt namlich,
Y= Yl' y'= Y2' ... , y( .. -l) = Y. . (1.1.6)
zu setzen, urn das System erster Ordnung
Y~=Y2' Y~=Y3' ... , Y~-I=Y'" Y~=/(X'YI'Y2""'Y") (1.1.7)
zu erhalten.
Umgekehrt Hi.Bt sich ein System von n Differentialgleichungen
erster Ordnung
y~ = ft(x, YI' Y2"'" Y. . )
y~ = 12 (x, YI' Y2"'" Y. . ) (1.1.8)
y~= I .. (x, YI' Y2"'" Y. . )
in eine Differentialgleichung n-ter Ordnung auf folgende Weise um
wandeln. Differenziert man jede der Gleichungen aus (1.1.8) (n-I)
mal nach x, so bekommt man insgesamt n2 Gleichungen zwischen
d en n (n1 + ) V era.. nd erI i ch en YI' Y'I ' ... , YI(. . ) ; Y2' Y2, ' ... ,Y2(. . ) ; ... ;
Y. . , y~, ... , y~"). Wenn aus diesen Gleichungen n2-I Veranderliche,
z. B. Y2' y~, ... , y~"); ... ; Y. . , y~, ... ,y~. . ) eIiminiert werden k6nnen,
so erhalt man fUr YI allein eine Differentialgleichung n-ter Ordnung
der Form (1.1.2).
Diese Aquivalenz zwischen einzelnen Differentialgleichungen
h6herer Ordnung und Differentialgleichungssystemen erster Ord
nungl ist u. a. deshalb von groBer Bedeutung, weil manchmal solche
Systeme leichter zu behandeln sind. Die kleine Unbequemlichkeit
der schwerfalligen Schreibweise kann dadurch vermieden werden,
daB man ein System, z. B. (1.1.8), kurz
y~= Ik(X, YI' Y2' ... , Y .. ), k= 1,2, ... , n (1.1.8')
schreibt oder die vektorielle Schreibweise
:~ =f(x,y) (1.1.9)
1 Handelt es sich dagegen um ein System, das auch Gleichungen hoherer
Ordnung enthalt, so kann man Transformationen vom Typus (1.1.6) vor
nehmen, um zuerst ein System mit Gleichungen von ausschlieBlich erster
Ordnung zu erhalten.
1.1 Gleichungen h6herer Ordnung und Systeme 3
verwendet, wo y undfVektoren mit den Komponenten Yl' Y2' ... ,
Yn bzw. 11,/2' ... , In bezeichnen.
Mit Riicksicht auf (1.1.6) werden die typischen Anlangsbedin
gtingen fiir ein System wie (1.1.8) durch Forderungen der Gestalt
Yl (X)o = Y(l0 ) , Y2 (X)o = Y2(0 ) , ... , Yn(Xo) = y~O) (1.1.10)
oder in vektorieller Schreibweise durch
y(Xo) = Yo (1.1.10')
a usgedriickt.
Grundlegcnd fUr die hier uns beschaftigende Theorie ist haupt
sachlich der Existenz- und Eindeutigkeitssatz, welcher im wesentli
chen aussagt, daB ein System der Gestalt (1.1.8) zusammen mit den
Anfangsbedingungen (1.1.10) "im allgemeinen" eine und nur eine
Lasung zulaBt. Die Voraussetzungen, unter welch en dieser Satz
meistens bewiesen wird, sind die folgenden:
(a) Die Funktionen Ik (x, Yl' Y2, ... , Yn) sollen in einem ge
wissen Bereich
stetige Funktionen bzgl. ihrer samtlichen Veranderlichen sein.
(b) Die Funktionen sollen im angegebenen Bereich in bezug auf
jede Veranderliche y" eine LIPSCHITz-Bedingung erfiillen, d.h. es
sollen passende positive Konstanten Ah,k derart existieren, daB im
obigen Bereich die Ungleichung
I Ik(x, Yl' ... , Y"-l' yt, Yh+ Yn) - Ik (Xl' Yl' ... , Yn) I< Au I yt-Yhl
1, ... ,
(1.1.11)
zutrifft.
Sind (a) und (b) erfiillt, so ist der Existenz- und Eindeutigkeits
satz in einem gewissen Intervall (xo, Xo + a') mit 0 < a' ;:::; a giiltig.
Es lohnt sich, den Beweis wenigstens zu skizzieren, da die hierbei
verwendete Methode auch zur numerischen Ermittlung der ent
sprechenden Lasung benutzt werden kann.
Zuerst fiihrt man das System zusammen mit den Anfangsbedin
gungen in das System der n I ntegralgleichungen
x
Yk (x) = YkO) + Ilk[~' yd~), ... , Yn(~)J d ~, k= J, 2, ... , n (1.1.12)
4 1. Gew6hnliche Differentialgleichungen
yl y1
uber. Dann definiert man sukzessive Niiherungen 1) (x), 2) (x), ...
fur Yk (x) durch die Rekursionsformeln
..
yl'" + 1) = ylO) + J f k [~, yim) (~) , ... , y~m) (~) J d ~ ,
",
k = 1, 2, ... , n ; nt = 0, 1, 2, ....
Die gewunschte Losung erhalt man endlich durch die absolut und
gleichmaBig konvergierenden Reihen
k= 1, 2, ... , n. (1.1.13)
Die praktische Bedeutung dieses Iterationsverfahrens (von E.
PICARD) besteht hauptsachlich darin, daB man auf dies em Wege eine
schon bekannte, grobe Losung des Anfangswertproblems leicht ver
bessern kann.
Den hier nur skizzierten Beweis fur den Existenz-und Eindeutig
keitssatz findet man in den meisten Lehrbuchern uber Differential
gleichungen, z. B. in TRICOMI [6J, § 1.3.
1.2 Darstellung durch Richtungs- und Vektorfelder
Den Losungen eines Differentialgleichungssystems yom Typus
(1.1.8) entsprechen gewisse Kurven des (n+l)-dimensionalen (X'Y1'
Y2' ... , Yn)-Raumes, welche man Integralkurven des Systems nennt.
Die geometrische Bedeutung des fundamentalen Existenz- und
Eindeutigkeitssatzes ist offenbar die, daB diese Kurven jeden Be
reich )8, in dem der Existenz- und Eindeutigkeitssatz gilt, schlicht
uberdecken, d. h. derart uberdecken, daB durch jeden Punkt dieses
Bereiches genau eine Integralkurve hindurchgeht. Die Richtungs
kosinus der Tangenten der Integralkurven sind zu den GroBen
... , dYn = f (1.2.1)
dx n
proportional. Mit anderen Worten: Jedem Punkt P des Bereiches)8
wird ein bestimmtes Linienelentent zugeordnet, welches die durch P
gehende Integralkurve des Systems charakterisiert. Die Gesamtheit
dieser Linienelemente nennt man das Richtungsfeld des betrachteten
Systems (oder der entsprechenden Gleichung hoherer Ordnung).
