Table Of ContentLecture Notes ni
Mathematics
Edited by .A Dold dna .B Eckmann
Series: Scuola Superiore, Normale Pisa
Adviser: .E Vesentini
735
Bernard Aupetit
Propriet6s Spectrales des
Algebres ed Banach
SCIHTE BH-HTE
,88256100000100.
1 1 1 1 1 1 1 1 1 l l u l lIlIllllill lll l lllIli l lUll
galreV-regnirpS
Berlin Heidelberg York New 1979
Author
Prof. Dr. Bernard Aupetit
Departement de Mathematiques
Universit6 Laval
Quebec G1K 7P4
Canada
AMS Subject Classifications (1970): Primary: 46 H xx, 46 J xx, 46 Kxx
Secondary: 31Axx, 46 Lxx, 43A20, 47-XX
ISBN 3-540-09531-4 Springer-Verlag Berlin Heidelberg NewYork
ISBN 0-387-09531-4 Springer-Verlag NewYork Heidelberg Berlin
emhanfualetitzruK-PIC red Bibliothek Deutschen
Aupetit, :dranreB
set6irporP spectrales sed algebres ed hcanaB /
dranreB - Aupetit. Heidelberg, Berlin, weN : Springer, York .9791
erutceL( notes ni scitamehtam 735) Vol. ;
NBSI Heidelberg, (Berlin, 3-540-09531-4 )kroY weN
NBSI Berlin) Heidelberg, York, (New 0-387-09531-4
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© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1979
Printed in Germany
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2141/3140-543210
A la m6moire de mon p~re
Marcel AUPETIT (1903-1964),
humble travailleur. Avec toute
ma reconnaissance et toute mon
admiration.
TABLE DES MATIERES
- Introduction. vii
- Notations et mode d'emploi, xi
- Chapitre .i Propri6t6s g6n6rales du spectre. 1
§ .i Propri6t~s classiques. 1
§ .2 Sous-harmonicit6 du spectre. 9
§ .3 Quelques applications de la sous-harmonicit6
du spectre. 20
§ .4 Pseudo-continuit6 du spectre plein. 32
§ .5 Exemples de discontinuit~ spectrale. 34
- Chapitre .2 Oaract~risation des alg~bres de Banach commutatives 42
§ .i Caract~risation par la norme et le spectre. 42
§ .2 Deux probl~mes de Hirschfeld et Zelazko. 53
§ .3 Quelques cas particuliers de commutativit~. 56
- Chapitre .3 Caract6risation des alg~bres de Banach de dimension finie. 63
§ .I Sur la raret~ des op~rateurs de spectre fini. 64
§ .2 Caract6risation des alg~bres de Banach de
dimension finie. 69
§ .3 Caract6risation des alg~bres modulaires armihilatrices. 78
§ .4 Applications ~ la th~orie des alg~bres de Banach. 88
§ .5 Applications ~ la th6orie des alg~bres de fonctions. 99
- Chapitre .4 Caract~risation des alg~bres de Banach sym~triques. 107
IV
§ .I R6sultats fondamentaux sur les alg~bres de
Banach involut ires. 108
§ .2 Mg~bres de Banach sym~triques. 113
.3 Alg~bres stellaires. 121
§ .4 Alg~bres de groupes. 131
- Chapitre .5 Cont~nuit6 et uniforme continuit6 du spectre. 137
§ .i Continuit~ du spectre. 137
§ .2 G~n~ralisation du second th~or~me de Newburgh. 141
§ .3 Uniforme continuit6 du spectre darts les alg~bres
de Banach involutives. 146
- Appendice .I Th~orie de al representation. 157
- Appendice .fI Fonctions sous-harmoniques et capacit6. 164
- Bibliographie. 177
Remarques additionelles. 188
Index des sujets. 190
Alors que ce livre ~tait termin~, quelques remarques concernant les pages
2,15,20,21,35 ont ~t~ ajout~es. On les trouvera apr~s la bibliographie.
INTRODUCTION
Cet ouvrage est une synth~se de tousles r6sultats obtenus jusqu'~
maintenant sur les propri6t~s du spectre des 61~ments d'une alg~bre de Banach.
Bien qu'une grande partie de ce travail soit constitu6e par nos r~sultats personnels
publi~s dans diverses revues 12 ~ 273, nous avons voulu presenter au lecteur ayant
une connaissance des textes classiques de la th~orie des alg~bres de Banach E45,85,
156,177,231, mais non au courant des d~veloppements r6cents de ce domaine, un tout
qui se tienne et qui soit ais6ment lisible. Aussi nous n'avons pas h6sit~ ~ intro-
duire, malgr~ l'embonpoint qui en r6sulte, tousles anciens r6sultats et exe~ples
n6cessaires ~ la comprehension, ainsi que les nouvelles presentations de vieux th~o-
r~mes, qui se distinguent par leur simplicit~ (voir chapitre .)4 Afin d'aider le
lecteur, dans l'appendice ,I nous avons rappel~ les remarquables th~or~mes de .N
Jacobson, B.E. Johnson et .I Kaplansky, et, dans l'appendice ,II les propri6t~s des
fonctions sous-harmoniques et de la capacit~ qui sont souvent peu connues par les
analystes modernes.
Historiquement les premieres ~tudes des propri~t~s du spectre sont
li~es aux op~rateurs int~graux - au d~but du si~cle avec H. Weyl, .R Courant, .F
Rellich. Dans la direction des op~rateurs sur un espace de Hilbert ou des op6ra-
teurs diff~rentiels, la th6orie a 6t~ depuis tr~s d~velopp~e (voir par exemple
135 et l'article de .T Kato Scattering theory and perturbation of continuous spec-
tra snalc les Actes du Congr~s international des math~matidensde 1970, tome ,I pp.
135-140). Mais dans la direction g6n6rale des op6rateurs sur un espace de Banach
quelconque, le probl~me des propri~t~s spectrales a ~t6 peu 6tudi6. C'est J.D.
Newburgh qui, en 1951, a obtenu les premiers r~sultats et depuis personne n'a sem-
bl~ vouloir les am~liorer.
A l'origine nos recherches sur ces questions avaient commenc~ sur
deux sujets qui semblaient peu voisins: la g~n~ralisation des r6sultats de J.D.
IIIV
Newburgh sur la continuit~ du spectre et la g~n~ralisation du th~or~me de R.A.
Hirschfeld et W. Zelazko sur la caract~risation des alg~bres cormnutatives. Les m~-
thodes du premier, bien que calculatoires, ~taient purement ~l~mentaires, celles du
second avaient n6cessit~ l'introduction des fonctions sous-harmoniques. Cependant,
par la suite, ces deux ~tudes se rejoignirent de fa~on surprenante, puis l~-dessus
vient se greffer notre travail sur la caract~risation des alg~bres de dimension fi-
hie, o~ les r~sultats les plus profonds de la th~orie du potentiel classique ~taient
utilis~s. C'est tout cela qui nous donna l'id~e d'~crire un texte o~ l'utilisation
sed fonctions sous-harmoniques donnerait sed r~sultats int~ressants dans aZ th6orie
sed op6rateurs, voie nouvelle qui jusqu'~ pr6sent n'avait ~t~ exploit6e que de fa-
~on tr~s rudimentaire par E. Vesentini. Nous sommes maintenant convaincus que la
th6orie dupotentiel a un r61e important ~ jouer dans l'analyse fonctionnelle et
nous pensons que les r~sultats qui suivent n'en sont que les pr~mices. Pour per-
suader ceux qui en doutent li suffit de savoir que lam~thode d6velopp~e dans le
chapitre 3 a permis, selon une remarque de .J Wermer, de fortement am~liorer le
th~or~me d'E. Bishop sur la structure analytique du spectre des alg~bres de fonc-
tions donc, en particulier, de simplifier les d~monstrations de .G Stolzenberg,
.H Alexander et J.-E. Bj~rk sur l'approximation polynomiale dans ~n .
~me si les contenus des chapitres sont comment,s au d~but de chacun
d'eux, peut-~tre est-il bon d'expliquer ici rapidement ce qu'ils englobent.
Le chapitre 1 contient toutes les nouvelles propri~t~s de sous-har-
monicit~ du spectre, en particulier le th~or~me de variation holomorphe des points
isol6s du spectre et le th~or~me de pseudo-continuit~ qui permet d'avoir des ren-
seignements sur le spectre d'un ~l~ment limite d'61~ments de spectre connu, m~me
si la fonction spectre est discontinue. Nous y incorporons ~galement de tr~s nom-
breuses applications et de r~cents exemples de discontinuit~ spectrale.
Le chapitre 2 am~liore de fa~on d~finitive toutes les caract~risa-
tions des alg~bres de Banach commutatives en en donnant ~me purement spectrale ~(
savoir l'uniforme continuit~ de la fonction spectre), de cette propri~t~ alg6bri-
que. II contient un contre-exemple ~ une conjecture de R.A. Hirschfeld et W. Ze-
lazko et quelques g~n6ralisationsdu th~or~me de H. Behncke et A.S. Nemirovski~ sur
la commutativit~ des alg~bres de groupes.
straD le chapitre 3 le r~sultat fondamental est celui sur la raret~
des op~rateurs de spectre fini sur un arc analytique. Cosine corollaires on obtient
des caract~risations pure~nt spectrales et locales des alg~bres r6elles et des al-
g~bres involutives de dimension finie. Les importants travaux de B.A. Barnes sur
les alg~bres modulaires annihilatrices y sont fortement am~lior6s. On y trouve
~galement des applications de diverses sortes pour les alg~bres de Banach (en par-
XI
ticulier la r~solution d'un cas particulier de la conjecture de Pe~czy~ski) et les
alg~bres de fonctions, notarmaent les g~n~ralisations des th6or~mes de structure
analytique de E. Bishop et .R Basener.
Le chapitre 4 ne sert surtout que pour rappeler les propri6t~s nou-
velles, dues ~ J.W.M. Ford, .S Shirali et .V Pt~k, des alg~bres sym6triques, les
tr~s belles caract6risations donn~es r6ce~ent des alg~bres stellaires et les r6-
sultats les plus nouveaux sur la sym~trie de L2(G) . En particulier on y d~velop-
pe la remarquable m~thode analytique de L.A. Harris qui permet de d~montrer non
spatialement le th~or~me de Russo-Dye et de prouver, sans utiliser l'image num~ri-
que, le th~or~me de Vidav-Palmer. Notre contribution personnelle s'y r~duit ~ la
g~n~ralisation du th~or~me de Russo-Dye dans certains cas o~ l'involution n'est pas
continue.
Le chapitre 5 utilise ce qui precede pour prouver l'unifoTme conti-
nuit~ de la fonction spectre sur l'ensemble des ~l~ments normaux des alg~bres stel-
laires, des alg~bres sym6triques (donc de certaines alg~bres de groupes), des al-
g~bres involutives ~ rayon spectral sous-multiplicatif sur l'ensemble des ~l~ments
normaux. Les techniques utilis~es sont tr~s simples, mais les r~sultats obtenus
sont enti~rement nouveaux.
Dans tout ce travail nous ne nous so~m~s pas int~ress~s ~ l'exten-
sion de ces r~sultats ~ des categories d'alg~bres plus g~n~rales, par exe~ple
certaines alg~bres topologiques ou bornologiques, ou bien aux alg~bres de Banach-
Jordan, o~ subsiste cependant une grosse difficult~ li~e au radical qui n'est pas
l'intersection des noyaux des representations irr6ductibles (voir 152,~633). Ce-
pendant nous so~es certains qu'un bon nombre d'entre eux s'y g~n~ralisent sans dif-
ficultY, par exe~ple dans le cas des alg~bres de Banach alternatives.
Pour conclure, disons que plusieurs des consequences obtenues dans
cet ouvrage paraitront peut-~tre quelque peu artificielles au lecteur peu familier
avec le domaine, mais, ~ notre avis, ce qui les sauve c'est, d'une part l'~tonnan-
te harmonie qui se d~gage de leurs ~nonc~s, d'autre part l'utilisation assez sur-
prenante de m~thodes aussi belles que celles de la th~orie des fonctions analytiques
et de la th~orie du potentiel dans leurs d~monstrations.
Aussi nous souhaitons que cette contribution ~ la toujours aussi vi-
vante th6orie invent~e par I.M. Gelfand en 1939 n'aura pas ~t~ vaine.
Bien rits de nombreuses personnes contribu~rent directement ou indi-
rectement ~ ce texte, par leurs lettres, leurs conversations, leurs travaux non pu-
bli~s qu'ils nous envoy~rent, les remarques qu'ils firent sur le brouillon de ce
livre. La liste de ces coll~gues est longue aussi il nous est i~ossible de la
donner in extenso, mais que ceux-ci sachent que nous les remercions tr~s sinc~re-
ment de leur aide pr~cieuse.
Tout sp~cialement nous exprimons notre reconnaissance ~ John Wermer
et Jean-Pierre Kahane pour leurs encouragements, ~ Vlastimil Pt~k pour son invita-
tion dans la merveilleuse ville de Prague et ~ Wies~aw Zelazko pour son hospitali-
t~ g~n~reuse lors du semestre de th~orie spectrale organis~ au Centre inte~atio-
nal de math6matiques Stefan Banach de Varsovie, de septembre ~ d~cembre 1977. Nous
remercions aussi Edoardo Vesentini de nous avoir invit~ pendant ce mois de mai ~ la
Scuola Normale Superiore de Pise et de nous avoir encourag6 ~ publier ce travail
dans les Lectures Notes in Mathematics de Springer-Verlag. Enfin nous rendons
grace au Conseil National de Recherches du Canada, auMinist~re de l'Education de
la Province de Quebec et ~ l'Universit~ Laval de Quebec pour leurs multiples aides
p~cuniaires qui nous ont permis un grand nombre de rencontres et de voyages sans
lesquels cet ouvrage n'aurait jamais vule jour.
Quebec, fin mai 1978.
SNOITATON TE MODE D~IPLOI
ensemble des entiers positifs ou nuls
anneau des entiers positifs, n6gatifs, ou nuls
corps des nombres r~els
corps des nombres complexes
corps des quaternions
moins de precision contraire, c'estu ne alg~bre de Banach complexe
c'est A si elle a une unit6, sinon c'est l'alg~bre avec unit~
construite ~ partir de A
II II norme compl~te de l'alg~bre
~d A radical de Jacobson de A
s(~ ensemble des 61~ments non inversibles de A
x(~ ensemble des caract~res de A si A est commutative
~x spectre de x , quand il sera n~cessaire de pr~ciser par rapport
la sous-alg~bre B on ~crira SPB x
o(x) spectre plein de x (voir chapitre ,I § )2
(x) p rayon spectral, quand il sera n6cessaire de pr~ciser par rapport
la sous-alg~bre B on ~crira ~B(X)
(x) diam~tre spectral de x , quand il sera n~cessaire de pr6ciser par
rapport ~ la sous-alg~bre B on ~crira 6B(X )
n 6 (x) n-i~me diam~tre spectral de x (voir chapitre ,i § )2
c (x) capacit~ spectrale de x
C+ - C capacit~ ext~rieure, capacit~ int~rieure
