O problema de Kepler, uma solu¸c˜ao coreogr´afica para o problema de trˆes corpos e alguns resultados sobre configura¸c˜oes centrais Antonio Carlos Fernandes Dissertac¸a˜o apresentada ao Instituto de Matema´tica e Estat´ıstica da Universidade de Sa˜o Paulo para obtenc¸a˜o do t´ıtulo de Mestre em Ciˆencias Programa: Matem´atica Aplicada Orientador: Prof. Dr. Clodoaldo Grotta Ragazzo Durante o desenvolvimento deste trabalho o autor recebeu aux´ılio financeiro da FAPESP Bolsa 2007/58037-6 S˜ao Paulo, Julho de 2009 O problema de Kepler, uma solu¸c˜ao coreogr´afica para o problema de trˆes corpos e alguns resultados sobre configura¸c˜oes centrais Este exemplar corresponde `a redac¸˜ao final da dissertac¸˜ao devidamente corrigida e defendida por (Antonio Carlos Fernandes) e aprovada pela Comiss˜ao Julgadora. Banca Examinadora: Prof. Dr. Clodoaldo Grotta Ragazzo(orientador) - IME-USP. • Prof. Dr. Luis Fernando de Os´orio Mello - DMC-UNIFEI. • Prof. Dr. Eduardo Shirlipe Goes Leandro - DMAT-UFPE. • Agradecimentos Primeiramente, agradec¸o muito ao Professor Clodoaldo pela amizade, orientac¸˜ao e pelos ensi- namentos sobre Mecˆanica. Agradec¸o ao Professor Luis Fernando pela motivac¸˜ao matem´atica de algumas das id´eias aqui colocadas. Agradec¸o `a Tatiane e ao Guilherme, por estarem junto a mim nesta empreitada. Por fim, agradec¸o aos meus familiares e amigos que direta ou indiretamente contribu´ıram para a realizac¸˜ao deste trabalho. i ii Resumo No presente trabalho apresentamos algumas soluc¸˜oes cl´assicas para o problema de dois e trˆes corpos. Uma soluc¸˜ao memor´avel para o problema de trˆes corpos, na qual os corpos perfazem uma coreografia em forma de Oito, esta soluc¸˜ao foi encontrada em 2000 por Montgomery e Chenciner. Por fim abordamos um pouco do problema cl´assico de n-Corpos e suas soluc¸˜oes particulares. Palavras-chave: Problema de Kepler, Soluc¸˜ao Coreogr´afica, Configurac¸˜ao Central. iii iv Abstract In this work we present some classical solutions for the Newtonian problem with two and three bodies. A remarkable solution for the three body problem, found by Montgomery and Chenciner, in which each body has an eight-shaped orbit is presented. Finally some particular solutions of the n-body problem and the so called central configurations, are presented and discussed. Keywords: Kepler problem, Choreographic Solution, Central Configurations. v vi Sum´ario Lista de Figuras ix 1 Introduc¸˜ao 1 1.1 Noc¸˜oes Preliminares da Mecˆanica Newtoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Noc¸˜oes Preliminares da Mecˆanica Lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 O Problema de Kepler 11 2.1 Leis de Kepler e a Gravitac¸˜ao de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.2 Alguns Aspectos Geom´etricos do Problema de Kepler . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Regularizac¸˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Problemas de Trˆes Corpos 39 3.1 Problema Newtoniano de 3-corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.2 Uma Soluc¸˜ao Memor´avel para o Problema de Trˆes Corpos . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2.1 Construc¸˜ao do Espac¸o de Triˆangulos Orientados. . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.2.2 A Construc¸˜ao da O´rbita em Forma de ”Oito”. . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 3.2.3 A O´rbita em Oito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 4 O Problema de n-Corpos 71 4.1 N˜ao-Integrabilidade do Problema de n-corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.2 Alguns resultados do problema geral de n-corpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5 Configurac¸˜oes Centrais 81 5.1 Definic¸˜oes e Resultados da Literatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 5.2 Resultados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Referˆencias Bibliogr´aficas 111 ´Indice Remissivo 114 vii viii SUMA´RIO
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