Note de curs pentru Analiz˘a Matematic˘a October 11, 2013 Cristian Necul˘aescu Ovidiu Veghes

285 Pages·2013·3.21 MB·Romanian

Note de curs pentru Analiza… Matematica…
October 11, 2013
Cristian Necula…escu
Ovidiu Veghe‚s
Calea DorobanT‚i, 11(cid:150)13 (clA…direa Ciberneticii), et. 6, cam 2625, sector 1, BucureS‚ti
E-mail address: [email protected]
Calea DorobanT‚i, 11(cid:150)13 (clA…direa Ciberneticii), et. 6, cam 2625, sector 1, BucureS‚ti
URL: http://roedu4you.ro/?page_id=149
Dedicat‚iile vor (cid:133)ment‚ionate atunci c(cid:226)nd materialul va (cid:133)(cid:238)ntr(cid:150)o form…a mai apropiat…a de (cid:133)nal.
1991 Mathematics Subject Classi(cid:133)cation. MSC [2010] Primary 26(cid:150)01, 33-01, 40(cid:150)01; Secondary 26A03,
26A06, 26A09, 26A15, 26A24, 26A27, 26A36, 26A42, 26B05, 26B10, 26B12, JEL Classi(cid:133)cation: C60,
C61, Y80
Mul‚timirile vor apare atunci c(cid:226)nd materialul va (cid:133)mai aproape de (cid:133)nalizare.
Rezumat. Aceste note de curs sunt (cid:238)n forma… foarte preliminara…‚si vor (cid:133) modi(cid:133)cate (cid:238)n continuare. Am
ales, totu‚si, sa…pun pe site tot materialul [‚si nu por‚tiuni], (cid:238)n primul r(cid:226)nd pentru ca…procesul didactic nu ma…
a‚steapta…pe mine ca sa…termin tot ce cred ca…ar trebui scris,‚si deoarece informa‚tia necesara…nu este numai
la (cid:238)nceputul materialului.
Sunt recunosca…tor oricui are buna…voin‚ta de a(cid:150)mi semnala diverse gre‚seli/inadverten‚te ‚si voi face tot
posibilul sa…‚tin seama de ele.
Materialulestetehnoredactatdeautor(cid:238)nLATEX,cuajutorulprodusuluisoftware"Scienti(cid:133)cWorkPlace",
produs de Mackichan Inc. ˛n plus, s(cid:150)au folosit (sau se pla…nuie‚ste utilizarea viitoare a altor) produse, care
vor (cid:133)prezentate ulterior.
Cuprins
Prefa‚ta… ix
Partea 1. Teme pentru examen 1
Capitolul 1. S‚iruri ‚si serii numerice ‚si de func‚tii 3
1.1. Serii numerice 3
1.1.1. Introducere 3
1.1.2. Cazuri speciale 7
1.1.2.1. Serii aritmetice 7
1.1.2.2. Serii geometrice 8
1.1.2.3. Serii armonice 8
1.1.2.4. Numa…rul lui Euler e 8
1.1.2.5. Sume telescopice 10
1.1.2.6. Clasi(cid:133)ca…ri ale seriilor 12
1.1.3. Opera‚tii cu serii convergente 13
1.1.4. Teste de convergen‚ta…pentru serii cu termeni pozitivi 13
1.1.5. Teste de convergen‚ta…pentru serii oarecare 19
1.1.6. Teste de convergen‚ta…pentru serii alternante 20
1.2. S‚iruri de func‚tii [facultativ CIGID] 21
1.3. Serii de func‚tii [facultativ CIGID] 30
1.4. Serii de puteri 31
1.5. Dezvolta…ri (cid:238)n serie Taylor 32
1.5.1. C(cid:226)teva dezvolta…ri Taylor uzuale 34
iii
iv C. Necula…escu, O. Veghe‚s
Capitolul 2. Spa‚tii metrice ‚si no‚tiuni de Topologie [facultativ CIGID] 37
2.1. Spa‚tii metrice 37
2.2. Elemente de Topologie 43
2.2.1. Mul‚timi compacte 59
2.2.2. Mul‚timi conexe 60
2.2.3. Topologii liniare 61
Capitolul 3. Func‚tii reale de mai multe variabile 63
3.1. Introducere 63
3.2. Limita unei func‚tii (cid:238)ntr(cid:150)un punct [facultativ CIGID] 68
3.3. Continuitate [facultativ CIGID] 70
3.4. Derivate par‚tiale 73
3.5. Derivate par‚tiale de ordin superior 78
3.6. Proprieta…‚ti ale func‚tiilor diferen‚tiabile 80
3.7. Principiul contrac‚tiei [facultativ CIGID] 89
3.8. Func‚tii de(cid:133)nite implicit [facultativ CIGID] 89
3.9. Polinoame Taylor de mai multe variabile [facultativ CIGID] 91
3.10. Valori extreme ale func‚tiilor reale de mai multe variabile 93
3.11. Optimizare locala…necondi‚tionata… 98
3.12. Optimizare locala…condi‚tionata… 102
3.12.1. Procedura…pentru func‚tii de doua…variabile: 103
3.13. Metoda celor mai mici pa…trate 108
Capitolul 4. Calcul integral 115
4.1. Integrale pe domeniu necompact 115
4.1.1. Integrale pe un domeniu nema…rginit 116
4.2. Integrale dependente de un parametru [facultativ CIGID] 120
4.3. Func‚tiile lui Euler 125
Analiza… v
Partea 2. Recapitula…ri ‚si completa…ri [facultativ CIGID] 127
Capitolul 5. Litere grece‚sti 129
Capitolul 6. Mul‚timi ‚si no‚tiuni adiacente 131
6.1. Mul‚timi 131
6.1.1. Apartenen‚ta…: 131
6.1.2. Incluziune: 132
6.1.3. Egalitatea a doua…mul‚timi: 132
6.1.4. Incluziune stricta…: 132
6.1.5. Familia submul‚timilor: 133
6.1.6. Opera‚tii cu mul‚timi: 133
6.2. Rela‚tii binare 134
Capitolul 7. Elemente de Logica… 137
7.1. Logica…binara… 137
7.2. Predicate logice 143
Capitolul 8. Mul‚timi numerice uzuale 145
8.1. O scurta…prezentare 145
8.1.1. Structura zecimala…a numerelor: 145
8.2. Mul‚timea numerelor naturale 147
8.3. Mul‚timea numerelor ra‚tionale 147
8.4. Mul‚timea numerelor reale 151
8.5. Mul‚timea Rn 158
8.6. Cardinalitatea mul‚timilor uzuale de numere 158
8.7. Ordinalitatea mul‚timilor 162
8.7.1. Minoran‚ti, majoran‚ti 162
8.8. Func‚tii 162
8.9. Func‚tii uzuale 167
vi C. Necula…escu, O. Veghe‚s
8.9.1. Func‚tii elementare 167
8.9.1.1. Func‚tia polinomiala…de grad n 168
8.9.1.2. Func‚tii ra‚tionale 168
8.9.1.3. Func‚tii exponen‚tiale 168
Capitolul 9. Sume (cid:133)nite ‚si elemente de combinatorica… 173
Capitolul 10. S‚iruri 175
10.1. Proprieta…‚ti ale ‚sirurilor convergente 176
10.2. Puncte(cid:150)limita…ale unui ‚sir 183
10.3. C(cid:226)teva limite standard 186
10.4. S‚iruri de(cid:133)nite prin recuren‚ta… 187
Capitolul 11. Func‚tii de o singura…variabila…reala… 193
11.1. Limite 193
11.2. Continuitate 194
11.3. Derivata 207
11.3.1. Rezumat de formule de derivare 217
11.3.1.1. Reguli de derivare: 217
11.3.1.2. Tabel de derivate: 217
11.3.2. Teoreme 218
11.3.3. Diferen‚tiala 223
11.3.4. Derivate de ordin superior 226
11.4. Extreme 226
11.5. Metode elementare de integrare 226
11.5.1. Formule de integrare directa… 226
11.5.2. Integrarea prin pa…r‚ti 227
11.5.3. Schimbarea variabilei de integrare in integrala de(cid:133)nita 228
Capitolul 12. Clase speciale de func‚tii de o singura…variabila… 231
Analiza… vii
12.1. Func‚tii semicontinue 231
12.2. Func‚tii monotone 231
12.3. Func‚tii absolut continue 233
12.4. Func‚tii convexe 233
Capitolul 13. C(cid:226)teva inegalita…‚ti importante 237
Anexa A. Aplica‚tii (cid:238)n Economie 241
A.1. O problema…de (cid:238)nca…lzire 241
A.2. O lista…scurta…de trucuri ‚si erori retorice 241
A.3. Exemplu (cid:238)n Microeconomie 244
A.4. Exemplu de utilizare a seriilor (cid:238)n Macroeconomie 248
A.5. Paradoxul lui Zenon: Achile ‚si Broasca T‚estoasa… 250
A.6. Realitatea ‚si condi‚tiile de separabilitate 251
A.7. Func‚tii de produc‚tie 251
A.7.1. Examples of usual production functions (from Economics): 252
A.8. Elasticita…‚ti 254
A.8.1. Elasticity for single(cid:150)variable functions 254
A.8.2. Elasticity for many(cid:150)variables functions 255
A.9. Func‚tii liniare (cid:238)n Economics 256
A.9.1. Linear functions 256
A.9.1.1. Linear production function 256
A.9.1.2. Linear demand function 257
A.9.1.3. Linear cost of purchasing of a commodity 258
A.9.1.4. Linear amount of commodity consumed at (cid:133)xed price 258
A.9.1.5. Linear total national consumption at (cid:133)xed national income 258
A.9.1.6. Linear total national savings at (cid:133)xed national income 258
A.10. Applications for Series (and (cid:133)nite di⁄erence equations) 259
A.11. Applications for functions of several variables 259
viii C. Necula…escu, O. Veghe‚s
A.12. Applications for EODE 259
A.13. Applications for integrals 259
A.14. A note about economic terminology [Some stupid questions for Economics :)] 259
A.14.1. Quantity 259
A.14.2. Output 260
A.14.3. Producer 260
A.14.4. Cost 260
A.14.5. Value 260
A.14.6. Worth 261
A.14.7. Total Costs 261
A.14.8. Long Run 261
A.14.9. Short Run 262
A.14.10. Alternatives 262
Anexa B. Aplica‚tii (cid:238)n Computer Science 263
B.1. Database applications for Logic, Sets, Relations and functions 263
Anexa C. Informa‚tii educa‚tionale 265
C.1. Materiale ‚si loca‚tii disponibile legal 265
Anexa D. Simboluri 267
Anexa E. Note despre Teoria Economica… 269
E.1. Quantity 269
E.2. Worth 271
Anexa. Bibliogra(cid:133)e 273
Prefa‚ta…
Punctul de plecare al acestor note de curs este nivelul de cuno‚stin‚te al unui bacalaureat cu Matematica…
M2. Acest nivel include:
Logica…binara…[clasa IX]
(cid:15)
Mul‚timi ‚si mul‚timi uzuale [clasa IX]
(cid:15)
Algebra elementara…(cid:150)Precalculus [clasele V, VI, VII, VIII, IX, X]
(cid:15)
Geometria ‚si Trigonometria [clasele VI, VII, VIII, IX, X]
(cid:15)
Geometria Analitica…[clasele X, XI]
(cid:15)
Algebra Liniara…de liceu [clasa XI]
(cid:15)
Algebra Abstracta…(cid:150)structurile algebrice de baza…(cid:150)monoizi, grupuri, inele, corpuri [clasa XII]
(cid:15)
Analiza…(cid:150)limite, continuitate, derivabilitate, gra(cid:133)ce de func‚tii, etc [clasa XI]
(cid:15)
Analiza…(cid:150)metode elementare de integrare [clasa XII].
(cid:15)
Manualele de liceu sunt printre primele materiale care ar trebui sa… (cid:133)e folosite. Printre anexele de la
sf(cid:226)r‚sit pot (cid:133)ga…site rezumate‚si completa…ri ale unora dintre aceste topici. Pe parcursul (cid:238)nt(cid:226)lnirilor (cursuri,
seminarii, consulta‚tii) sunt binevenite (cid:238)ntreba…rile ‚si/sau comentariile.
ix