NOTAS DE AULA DE MAT#32 . EQUAÇnES DIFERENCIAIS ORDINARIAS

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NOTAS DE AULA DE MAT-32
.
EQUA˙(cid:213)ES DIFERENCIAIS ORDIN`RIAS
Marcos A. Botelho
26 de junho de 2009
2
SumÆrio
7 Resolu(cid:231)ªo de edo(cid:146)s por sØries 1
7.1 Introdu(cid:231)ªo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
7.2 Resolu(cid:231)ªo na vizinhan(cid:231)a de um ponto singular regular . . . . . . . . . . . 6
7.3 Equa(cid:231)ªo de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
7.3.1 Ortogonalidade e completude das fun(cid:231)ıes de Bessel. . . . . . . . . 25
7.4 Equa(cid:231)ªo de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7.5 Equa(cid:231)ªo de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
7.5.1 A equa(cid:231)ªo de Schr(cid:246)dinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7.6 Exerc(cid:237)cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3
4 SUM`RIO
Cap(cid:237)tulo 7
Resolu(cid:231)ªo de edo(cid:146)s por sØries
AtØaqui,salvoalguma(cid:135)exibilidadepermitidapelaaplica(cid:231)ªodatransformadadeLaplace
em edo(cid:146)s, as equa(cid:231)ıes de ordem 2 ou maior que pudemos desenvolver mØtodos bem
sucedidos para resolu(cid:231)ªo foram aquelas com coe(cid:133)cientes constantes. Neste cap(cid:237)tulo,
estaremos apresentando mØtodos para a resolu(cid:231)ªo de edo(cid:146)s cujos coe(cid:133)cientes nªo sªo
constantes e sim fun(cid:231)ıes da variÆvel independente apresentando certa regularidade. A
partir da(cid:237), estes mØtodos serªo utilizados na resolu(cid:231)ªo de algumas equa(cid:231)ıes notÆveis que
aparecem nos estudos de Mec(cid:226)nica Celeste e nas resolu(cid:231)ıes por separa(cid:231)ªo de variÆveis
de equa(cid:231)ıes diferenciais parciais em dom(cid:237)nios que apresentam algumas simetrias, tais
como o c(cid:237)rculo, a esfera e o cilindro.
7.1 Introdu(cid:231)ªo
MØtododeEulerpararesolveredo(cid:146)scomcoe(cid:133)cientesconstantesdaformay +by +cy = 0
00 0
, com b e c constantes:
Procurar solu(cid:231)ıes na forma y(x) = e(cid:21)x
Poss(cid:237)vel racioc(cid:237)nio que fundamenta o mØtodo:
Equa(cid:231)ıes com coe(cid:133)cientes variÆveis de nosso interesse:
1
2 CAP˝TULO 7. RESOLU˙ˆO DE EDO(cid:146)S POR S(cid:201)RIES
Equa(cid:231)ªo de Bessel de ordem p 0 x2y +xy +(x2 p2)y = 0
00 0
(cid:21) (cid:0)
Equa(cid:231)ªo de Legendre de grau p: (1 x2)y 2xy +p(p+1)y = 0
00 0
(cid:0) (cid:0)
Equa(cid:231)ªo de Hermite de ordem p: y 2xy +2py = 0
00 0
(cid:0)
Equa(cid:231)ªo de Chebyshev: (1 x2)y xy +m2y = 0
00 0
(cid:0) (cid:0)
m = 1;2;:::
Equa(cid:231)ªo de Airy: y xy = 0
00
(cid:0)
Equa(cid:231)ªo de Euler: x2y +(cid:11)xy +(cid:12)y = 0
00 0
(cid:11);(cid:12) constantes reais
Equa(cid:231)ªo HipergeomØtrica : x(1 x)y +[(cid:13) (1+(cid:11)+(cid:12))x]y +(cid:11)(cid:12)y = 0
00 0
(cid:0) (cid:0)
(ou de Gauss) (cid:11);(cid:12);(cid:13) constantes reais
Equa(cid:231)ªo de Laguerre: xy +(1 x)y +my = 0
00 0
(cid:0)
Equa(cid:231)ªo de Jacobi: x(1 x)y +[a (1+b)x]y +m(b+m)y = 0
00 0
(cid:0) (cid:0)
Generaliza(cid:231)ªo para coe(cid:133)cientes anal(cid:237)ticos
De(cid:133)ni(cid:231)ªo 1 (Fun(cid:231)ıes anal(cid:237)ticas)
Mas muitas equa(cid:231)ıes do tipo y +p(x)y +q(x)y = 0 apresentam coe(cid:133)cientes dados
00 0
por fun(cid:231)ıes que nªo sªo anal(cid:237)ticas. Um exemplo de uma destas equa(cid:231)ıes foi a equa(cid:231)ªo
de Cauchy-Euler
x2y +bxy +cy = 0
00 0
que, colocada na forma normal
bx c
y + y + y = 0 ;
00 0
x2 x2
resulta emque os coe(cid:133)cientes nªo sªo fun(cid:231)ıes anal(cid:237)ticas no ponto x = 0: Emparticular,
o
isto Ø o que acontece com muitas das equa(cid:231)ıes que serªo de nosso interesse. Este Ø o
caso das seguintes equa(cid:231)ıes:
Supor solu(cid:231)ªo formalmente representada por um sØrie de potŒncias,
1
y(x) = a (x x )n ;
n o
(cid:0)
n=0
X
tentar identi(cid:133)car os coe(cid:133)cientes a (cid:146)s e validar o resultado.
n
7.1. INTRODU˙ˆO 3
(cid:151)(cid:151) Exerc(cid:237)cio 7.1 (cid:151)(cid:151)(cid:151)(cid:151)
Resolva o sistema
Resolu(cid:231)ªo:
(cid:151)(cid:151)(cid:151)(cid:151) (cid:151)(cid:151)
(cid:6)
A SEGUIR, VERSˆO PRELIMINAR DO CAP˝TULO:
§. CLASSIFICA˙ˆO DOS PONTOS DO DOM˝NIO DA EDO:
Lembramos dos cursos de cÆlculo que dizemos que uma fun(cid:231)ªo f Ø anal(cid:237)tica em um
ponto x se existir um raio de convergŒncia (cid:26) > 0 tal que vale a convergŒncia
o
f(x) = 1 a (x x )n = 1 f(n)(xo)(x x )n ; x x < (cid:26)
n o o o
(cid:0) n! (cid:0) j (cid:0) j
n=0 n=0
X X
De(cid:133)ni(cid:231)ªo 1. Um ponto x Ø ponto ordinÆrio da equa(cid:231)ªo
o
y (x)+p(x)y (x)+q(x)y(x) = 0
00 0
se p(.) e q(.) sªo fun(cid:231)ıes anal(cid:237)ticas em x . Caso contrÆrio, dizemos que x Ø um ponto
o o
singular.
AlØm disto, x Ø chamado de ponto singular regular se x nªo Ø um ponto ordinÆrio e
o o
as fun(cid:231)ıes dadas por (x x )p(x) e (x x )2q(x) sªo anal(cid:237)ticas em x . Se x nªo Ø um
o o o o
(cid:0) (cid:0)
ponto ordinÆrio e pelo menos uma destas fun(cid:231)ıes nªo for anal(cid:237)tica em x , diremos que
o
ele Ø um ponto singular irregular.
No caso da equa(cid:231)ªo com coe(cid:133)cientes polinomiais, esta de(cid:133)ni(cid:231)ªo pode ser reformulada
de maneira mais espec(cid:237)(cid:133)ca como:
De(cid:133)ni(cid:231)ªo 2.
Considere
P(x)y (x)+Q(x)y (x)+R(x)y(x) = 0
00 0
onde P(:);Q(:) e R(:) sªo polin(cid:244)mios.
(i) x Ø um ponto singular da equa(cid:231)ªo acima se P(x ) = 0:
o o
(ii) Um ponto singular x Ø dito regular se existem os limites
o
Q(x) R(x)
lim(x x ) e lim(x x )2
o o
x xo (cid:0) P(x) x xo (cid:0) P(x)
! !
4 CAP˝TULO 7. RESOLU˙ˆO DE EDO(cid:146)S POR S(cid:201)RIES
(iii) Se um ponto singular nªo Ø regular, dizemos que ele Ø um ponto singular irregular.
§. RESOLU˙ˆO NA VIZINHAN˙A DE UM PONTO ORDIN`RIO
Se os coe(cid:133)cientes sªo anal(cid:237)ticos, procurar solu(cid:231)ªo anal(cid:237)tica em torno de um ponto or-
dinÆrio x , ou seja: Supor solu(cid:231)ªo formalmente representada por uma sØrie de potŒncias
o
1
y(x) = a (x x )n
n o
(cid:0)
n=0
X
e tentar identi(cid:133)car os coe(cid:133)cientes a (cid:146)s e validar o resultado.
n
Exemplo
CB
Resolver a equa(cid:231)ªo de Airy
y00 xy = 0 ; x R
(cid:0) 2
fazendo expansªo em sØrie de potŒncias na vizinhan(cid:231)a de x = 1:
o
Temos:
1
y(x) = a (x 1)n
n
(cid:0)
n=0
X
1 1
y (x) = na (x 1)n 1 = (n+1)a (x 1)n
0 n (cid:0) n+1
(cid:0) (cid:0)
n=1 n=0
X X
1 1
y (x) = n(n 1)a (x 1)n 2 = (n+2)(n+1)a (x 1)n
00 n (cid:0) n+2
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
n=2 n=0
X X
Substituindo na equa(cid:231)ªo,
1 1
(n+2)(n+1)a (x 1)n x a (x 1)n = 0
n+2 n
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
n=0 n=0
X X
Fazendo x = 1+(x 1), que Ø a sØrie de Taylor de f(x) = x em torno de x = 1,
o
(cid:0)
1 1
(n+2)(n+1)a (x 1)n [1+(x 1)] a (x 1)n = 0
n+2 n
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
n=0 n=0
X X
1 1 1
(n+2)(n+1)a (x 1)n a (x 1)n + a (x 1)n+1 = 0
n+2 n n
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0)
!
n=0 n=0 n=0
X X X
1 1 1
(n+2)(n+1)a (x 1)n a (x 1)n + a (x 1)n = 0
n+2 n n 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) (cid:0) !
n=0 n=0 n=1
X X X
7.1. INTRODU˙ˆO 5
Igualando os coe(cid:133)cientes de mesma potŒncia de (x 1), obtemos
(cid:0)
2a = a
2 o
(3 2)a = a +a
3 1 o
(cid:1)
(4 3)a = a +a
4 2 1
(cid:1)
(5 4)a = a +a
5 3 2
(cid:1)
.
.
.
o que fornece a seguinte f(cid:243)rmula de recorrŒncia (equa(cid:231)ªo indicial):
(n+2)(n+1)a = a +a ; n 1
n+2 n n 1
(cid:0) (cid:21)
Resolvendo para os primeiros a em termos de a e a , resulta
n o 1
y(x) = a y (x)+a y (x)
o 1 1 2
onde
(x 1)2 (x 1)3 (x 1)4 (x 1)5
y (x) = 1+ (cid:0) + (cid:0) + (cid:0) + (cid:0) +
1
2 6 24 30 (cid:1)(cid:1)(cid:1)
(x 1)3 (x 1)4 (x 1)5
y (x) = (x 1)+ (cid:0) + (cid:0) + (cid:0) +
2
(cid:0) 6 12 120 (cid:1)(cid:1)(cid:1)
(cid:218)nico senªo: estamos em di(cid:133)culdade para estabelecer (cid:151) atravØs do critØrio da razªo,
por exemplo (cid:151) a convergŒncia das sØries, pois nªo temos uma f(cid:243)rmula geral para os
a (cid:146)s. Isto, porØm, (cid:133)ca resolvido por causa do chamado teorema de Fuchs.
n
.
CB
Teorema 1 (Teorema de existŒncia, de Fuchs)
Se p(.) e q(.) sªo fun(cid:231)ıes anal(cid:237)ticas em x , entªo a solu(cid:231)ªo geral de
o
y (x)+p(x)y (x)+q(x)y(x) = 0
00 0
Ø dada por
1
y = a (x x )n = a y (x)+a y (x) ;
n o o 1 1 2
(cid:0)
n=0
X
onde a e a sªo constantes arbitrÆrias e y = y (x) e y = y (x) sªo duas solu(cid:231)ıes em
o 1 1 1 2 2
sØries linearmente independentes que sªo anal(cid:237)ticas em x :
o
AlØm disto, o raio de convergŒncia para cada uma das solu(cid:231)ıes em sØries y e y Ø no
1 2
m(cid:237)nimo igual ao menor dos raios de convergŒncia das sØries de p(.) e q(.).
Prova. (v. ref.).
(cid:4)
6 CAP˝TULO 7. RESOLU˙ˆO DE EDO(cid:146)S POR S(cid:201)RIES
Exerc(cid:237)cio 1 Analisar, sob o ponto de vista do teorema 2.1, a equa(cid:231)ªo
y +(senx)y +(1+x2)y = 0
00 0
Este teorema nos motiva a proceder (cid:224) seguinte generaliza(cid:231)ªo da de(cid:133)ni(cid:231)ªo de pontos
ordinÆrios e singulares:
Exerc(cid:237)cio 2 Analisar a equa(cid:231)ªo
x2y 2y = 0
00
(cid:0)
7.2 Resolu(cid:231)ªo na vizinhan(cid:231)a de um ponto singular
regular
Conforme desenvolvida no curso MAT-31, a resolu(cid:231)ªo de equa(cid:231)ªo de Cauchy-Euler pode
ser assim resumida:
Para a resolu(cid:231)ªo equa(cid:231)ªo de Cauchy-Euler
x2y +(cid:11)xy +(cid:12)xy = 0
00 0
em qualquer intervalo que nªo contenha a origem, procuramos solu(cid:231)ªo na forma y = xr,
para r conveniente. A(cid:133)nal, nªo seria este o tipo de fun(cid:231)ªo que se poderia esperar de
maneira que a soma dela e suas derivadas, multiplicadas por polin(cid:244)mios, desse zero?
Seguindo este procedimento, pudemos obter que a solu(cid:231)ªo geral da EDO Ø determinada
pelas ra(cid:237)zes r e r da equa(cid:231)ªo algØbrica
1 2
r(r 1)+(cid:11)r+(cid:12) = 0
(cid:0)
Se as ra(cid:237)zes sªo reais e distintas, entªo a solu(cid:231)ªo geral Ø dada por
y = c x r1 +c x r2
1 2
j j j j
Se as ra(cid:237)zes sªo reais iguais, entªo
y = (c +c ln x ) x r1
1 2
j j j j