Table Of ContentK. Weise, W. Wöger
Meßunsicherheit und
Meßdatenauswertung
)WILEY~VCH
Messunsicherheit und Messdatenauswertung. Klaus Weise, Wolfgang Wöger
Copyright © 1999 WILEY-VCH Verlag GmbH, Weinheim
ISBN: 3-527-29610-7
Forschen - Messen - Prüfen
Monographienreihe der Physikalisch-Technischen Bundesanstalt,
herausgegeben von J. Bortfeldt, W. Hauser und H. Rechenberg
Die Monographienreihe dient der Verbreitung von Themen, die aus der Arbeit der Physi-
kalisch-Technischen Bundesanstalt erwachsen oder eng mit ihr verbunden sind. Dazu gehö-
ren nicht nur Fragen der Metrologie, sondern auch die verschiedenen Aspekte der physika-
lischen und technischen Forschung der Bundesanstalt und von Schwesterinstitutionen,
Abschnitte aus der Geschichte von Reichsanstalt und Bundesanstalt finden ebenso Berück-
sichtigung wie Leben und Leistungen ihrer bedeutenden Persönlichkeiten.
Inhalt und Form der Bände der Reihe - die in deutscher oder englischer Sprache erschei-
nen - sollen der Vielfalt der Aufgaben und Themen Rechnung tragen. Die Monographien-
reihe bildet daher die Plattform für ein großes Spektrum von Publikationen, das von lehr-
buchartigen Darstellungen bestimmter abgeschlossener Gebiete und Fragestellungen bis
zu größeren Berichten über offene Forschungsgebiete, von Biographien und Abhandlun-
gen über historische Themen bis zu Konferenz- und Symposiumsbänden reicht. Die Viel-
falt des Inhalts wird sich naturgemäß in einer Vielfalt der stilistischen Behandlung und des
Aufbaus, des Umfanges und der Bebilderung widerspiegeln. Es wird allerdings angestrebt,
der Reihe ein einheitliches Erscheinungsbild zu geben.
Die Reihenherausgeber
Bisher erschienen:
Bortfeldt, Hauser, Forschen - Messen - Prüfen. 100 Jahre
Rechenberg (Hrsg.) Physikalisch-Technische Reichsanstalt/Bundesanstalt
1887-1987
Cahan Meister der Messung. Die Physikalisch-Technische
Reichsanstalt im Deutschen Kaiserreich
Kern Forschung und Präzisionsmessung. Die Physikalisch-
Technische Reichsanstalt zwischen 1918 und 1948.
Kochsiek, Gläser (Hrsg.) Massebestimmung
Kose, Melchert Quantenmaße in der elektrischen Meßtechnik
Kramer (Hrsg.) The Art of Measurement. Metrology in Fundamental
and Applied Physics
Rechenberg Hermann von Helmholtz. Bilder seines Lebens und
Wirkens
Röthemeyer (Hrsg.) Endlagerung radioaktiver Abfälle
Meßunsicherheit und
Meßdatenauswertung
Klaus Weise
Wolf gang Wöger
)WILEY-VCH
Weinheim • New York • Chichester • Brisbane • Singapore • Toronto
Dir. u. Prof. a. D. Dr. rer. nat. Klaus Weise
Parkstraße 11
D-38179 Schwülper
(vormals Physikalisch-Technische Bundesanstalt Braunschweig)
Dr. rer. nat. Wolfgang Wöger
Physikalisch-Technische Bundesanstalt
Bundesallee 100
D-38116 Braunschweig
Das vorliegende Werk wurde sorgfältig erarbeitet. Dennoch übernehmen Autoren, Übersetzer und
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ler keine Haftung.
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Weise, Klaus:
Meßunsicherheit und Meßdatenauswertung : [mit 2 Tabellen] / Klaus Weise ; Wolfgang Wöger. -
Weinheim ; New York ; Chichester ; Brisbane ; Singapore ; Toronto : Wiley-VCH, 1999
ISBN 3-527-29610-7
© WILEY-VCH Verlag GmbH, D-69469 Weinheim (Federal Republic of Germany), 1999
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier
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Druck: betz-druck, D-64291 Darmstadt
Bindung: Wilh. Osswald, D-67433 Neustadt
Printed in the Federal Republic of Germany
Inhaltsverzeichnis
Vorwort und Übersicht l
1 Grundbegriffe des Messens 7
1.1 Größe, spezielle Größe 8
1.2 Größenwert 9
1.3 Messen 10
1.4 Einheiten von Größen 11
1.5 Meßprinzip, Meßmethode, Meßverfahren 15
1.6 Meßabweichungen und ihre Ursachen 16
1.6.1 Bemerkungen zum Meßprozeß 16
1.6.2 Parameter 18
1.6.3 Begriff der Meßabweichung 19
1.6.4 Zufällige Meßabweichung, Erwartungswert, Ausgabe 21
1.6.5 Systematische Meßabweichung, Einflußgrößen 26
1.6.6 Ergänzende Bemerkungen zur Meßabweichung 33
2 Grundlagen der Meßdatenauswertung 37
2.1 Die wichtigsten Auswertungsprobleme 38
2.2 Verfahren für die Meßdatenauswertung 39
2.2.1 Wahl eines Auswerteverfahrens 40
2.2.2 Arten von Auswerteverfahren 41
2.3 Information und Wahrscheinlichkeit 42
2.3.1 Mathematische Wahrscheinlichkeitstheorie und ihre Anwen-
dung 42
2.3.2 Statistische und nichtstatistische Information 43
2.4 Konventionelle Statistik 45
2.4.1 Statistische Wahrscheinlichkeit und der Schluß auf eine Meß-
größe 45
2.4.2 Vertrauensintervall und Vertrauensniveau 46
2.4.3 Vertrauensintervall für den Erwartungswert einer Normalver-
teilung 49
2.5 Bayessche Statistik 51
vi Inhaltsverzeichnis
2.5.1 Klassische Wahrscheinlichkeit und der Schluß auf eine Meß-
größe 51
2.5.2 Vereinheitlichung der Behandlung zufälliger und systemati-
scher Meßabweichung 53
2.5.3 Information, Wahrscheinlichkeitsverteilung und Zufallsgröße . 54
2.5.4 Bester Schätzwert 56
2.6 Prinzip der Maximalen Informations-Entropie 58
2.6.1 Vorurteilsfreie Verteilung 59
2.6.2 Formulierung des PME (diskreter Fall) 61
2.6.3 PME und relative Häufigkeiten 63
2.7 Bayes-Theorem 65
2.8 Eine Anwendung des Bayes-Theorems 69
2.8.1 Lage- und Skalenparameter einer Normalverteilung von Meß-
werten 69
2.8.2 Nichtinformative Priori-Verteilung 72
2.8.3 Student-Verteilung des Lageparameters 73
2.8.4 Vergleich mit der konventionellen Statistik 76
2.9 Meßgröße 77
2.10 Schätzer, Meßergebnis, (wahrer) Wert der Meßgröße . . . . . . . . . 78
2.11 Unabhängige und abhängige Schätzer 80
2.12 Kovarianz und Korrelation 82
3 Meßunsicherheit 87
3.1 Genauigkeit und Meßunsicherheit, Präzision 87
3.2 Unsicherheit als Parameter einer Verteilung 88
3.3 Standardunsicherheit 90
3.4 Erweiterte Meßunsicherheit 94
3.5 Meßabweichung und Unsicherheit 97
3.5.1 Unsicherheit der Meßabweichung 98
3.5.2 Unsicherheit als abgeschätzter Meßabweichungsbetrag . . . .100
3.6 Mehrmalige direkte Messung 106
3.6.1 Modell 107
3.6.2 Schätzer und Modell 108
3.6.3 Schätzer für die Ausgabe 109
3.6.4 Fall weniger ausgegebener Meßwerte 112
3.6.5 Schätzer für die systematische Abweichung 116
3.6.6 Vollständiges Meßergebnis 118
3.6.7 Erneut: Meßabweichung 121
3.7 Fortpflanzung von Unsicherheiten in einfachen Fällen 122
3.7.1 Einzelne Ergebnisgröße 122
3.7.2 Einzelne Ergebnisgröße, unabhängige Eingangsgrößen . . . .125
3.7.3 Einzelne Ergebnisgröße, korrelierte Eingangsgrößen 127
3.7.4 Zwei Ergebnisgrößen, gemeinsame unabhängige Eingangs-
größen 128
Inhaltsverzeichnis vii
4 Meßdatenauswertung bei mehreren beteiligten Meßgrößen 131
4.1 Allgemeines zur Meßdatenauswertung 131
4.1.1 Einleitung 131
4.1.2 Ziel der Messung und Begriffe 132
4.1.3 Verfahren für die Meßdatenauswertung 133
4.1.4 Grundlegende Ideen der Unsicherheitstheorie 135
4.1.5 Vier Schritte einer Meßdatenauswertung 137
4.2 Modellbildung 138
4.2.1 Eingangsgrößen und Ergebnisgrößen 139
4.2.2 Mathematische Formulierung des Modells 140
4.2.3 Ableitungen der Modellfunktionen 142
4.2.4 Linearisierung des Modells 144
4.2.5 Modellbeispiele 145
4.3 Vorbereitung der Eingangsdaten 150
4.3.1 Individuelle und gemeinsame Komponenten der Meßunsi-
cherheit, Unsicherheitsmatrix 150
4.3.2 Mehrmals gemessene Größen 155
4.3.3 Einzelne oder wenige Werte 156
4.3.4 Anzahlen, Zählraten 157
4.3.5 Einflußgrößen 158
4.3.6 Korrelationen 160
4.3.7 Größen mit geringer Auswirkung 160
4.4 Berechnung der Meßergebnisse und der Fortpflanzung der Unsicher-
heiten 161
4.4.1 Meßergebnis 161
4.4.2 Iterationsverfahren 162
4.4.3 Fortpflanzung der Unsicherheiten 164
4.4.4 Numerische Berechnung der Unsicherheitsmatrix 169
4.4.5 Berechnung bei gemeinsamen Messungen 170
4.4.6 Höhere Näherungen 172
4.5 Mitteilung der Meßergebnisse und Unsicherheiten 175
4.6 Vertrauensbereiche 177
4.6.1 Vertrauensintervall für eine einzelne Meßgröße 177
4.6.2 Gemeinsamer Vertrauensbereich für mehrere Ergebnisgrößen 178
4.6.3 Kritisches zum Vertrauensbereich 179
4.7 Konsistenz 180
4.8 Vergleich der Güte von Experimenten 183
5 Ausgleichende Auswertung 185
5.1 Allgemeines zur Ausgleichsrechnung 185
5.1.1 Ziel der Ausgleichung 185
5.1.2 Die Methode der kleinsten Quadrate 185
5.1.3 Ergänzungen, andere Ausgleichsmethoden 187
5.2 Einführendes Beispiel: Lineare Kurvenanpassung 189
5.3 Durchführung der Ausgleichung 192
viii Inhaltsverzeichnis
5.3.1 Erweiterung des Modells 192
5.3.2 Linearisierung des erweiterten Modells 193
5.3.3 Fortpflanzung der Unsicherheiten 196
5.4 Kurvenanpassung 198
5.4.1 Nichtlineare Kurvenanpassung und Entfaltung 198
5.4.2 Lineare Kurvenanpassung 199
5.5 Verträglichkeit 204
5.5.1 Chiquadrat-Kriterium 204
5.5.2 Andere Kriterien 206
5.6 Beispiele zur Ausgleichsrechnung 208
5.6.1 Messung der Winkel im Dreieck 208
5.6.2 Vergleichsmessungen (Ringversuche) 212
5.6.3 Nichtlineare Ausgleichung 216
5.6.4 Fourier-Approximation 217
5.6.5 Modellfreie Kurvenausgleichung 220
5.6.6 Korrelationsanalyse zur Modelluntersuchung 223
6 Die Bayessche Theorie der Meßunsicherheit 225
6.1 Einleitung 225
6.2 Die Theorie der Unsicherheit 227
6.2.1 Schätzer für Meßgrößen 227
6.2.2 Verteilung der Schätzer, Meßergebnisse und Unsicherheits-
matrix, Vertrauensbereich 228
6.2.3 Modellbeziehungen und Modellprior 229
6.2.4 Eingangsdaten und Datenprior 231
6.2.5 Prinzip der Maximalen Entropie 232
6.2.6 Verträglichkeit 235
6.2.7 Vertrauensbereiche 237
6.2.8 Bericht über die Ergebnisse einer Auswertung 237
6.3 Basisaufgaben 238
6.3.1 Mehrmalige Messungen 239
6.3.2 Einflußgrößen 240
6.3.3 Kombination von Unsicherheiten 241
6.3.4 Zählende Messungen 242
6.4 Andere Anwendungen 243
6.4.1 Unsichere Grenzen einer Einflußgröße 243
6.4.2 Lineare und linearisierte Modellgleichungen 244
6.4.3 Ausgleichungen 245
6.4.4 Wenigkanal-Spektrumsentfaltung 246
6.4.5 Kritischer Vergleich zweier vollständiger Meßergebnisse . . . 247
6.5 Vergleich mit der Methode der kleinsten Quadrate 251
6.5.1 Allgemeiner Vergleich 251
6.5.2 Vergleichsbeispiel 252
Inhaltsverzeichnis ix
6.5.3 Vergleich bei der Wenigkanal-Spektrumsentfaltung 252
6.6 Konsistenz 254
6.7 Schlußbemerkungen 256
Anhänge 257
A Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 257
A.l Versuch und Ereignisse 257
A.2 Wahrscheinlichkeit 258
A.2.l Statistische Wahrscheinlichkeit 258
A.2.2 Klassische Wahrscheinlichkeit 258
A.2.3 Eigenschaften der Wahrscheinlichkeit 259
A.2.4 Bedingte Wahrscheinlichkeit 260
A.3 Zufallsvariable und ihre Verteilung 260
A.4 Erwartungswerte und andere Parameter 263
A.5 Vertrauensbereich, Hypothesentest 264
A.6 Spezielle Verteilungen 265
B Grundlagen der Matrizenrechnung 269
B.l Matrixdefinition 269
B.2 Spezielle Matrizen 270
B.3 Rechenoperationen 270
B.4 Inversion 271
B.5 Spur, Norm 271
B.6 Determinante 272
B.7 Rang 272
B.8 Definitheit 273
B.9 Diagonalisierung, Eigenwerte, Hauptachsentransformation 274
B.10 Kovarianzmatrizen 275
B.11 Differentiation 277
C Wichtige Methoden 279
C.l Variationsmethode von Lagrange 279
C.l.l Maximierung bei endlich vielen Variablen 279
C.l.2 Maximierung eines Funktionais 280
C.2 Einführung und Maximierung der Entropie 280
C.2.1 Endlich viele mögliche Zustände 280
C.2.2 Grenzübergang zur Wahrscheinlichkeitsdichte 282
C.3 Monte-Carlo-Methode 284
D Nebenrechnungen 287
D.l Nebenrechnungen zu ausgleichenden Auswertung 287
D. 1.1 Überlegungen zur Ausgleichsmethode 287
D. 1.2 Unsicherheiten zu ausgeglichenen Werten 289
D.1.3 Chiquadrat-Kriterium 291
Inhaltsverzeichnis
D.2 Nebenrechnungen zur Bayesschen Theorie 293
D.2.l Regularisierung einer singulären Unsicherheitsmatrix zu den
Eingangsdaten 293
D.2.2 Mehrmalige gemeinsame Messung mehrerer Meßgrößen . . . 293
E Rechenprogramme für die Meßdatenauswertung 297
E.l Mehrmalige gemeinsame indirekte Messung mehrerer Meßgrößen . . 298
E.2 Lineare Ausgleichung 298
E.3 Nichtlineare Ausgleichung 299
E.4 Quellcodes und Ausgabeprotokolle 301
E.4.1 Quellcode des Programms WIEDER 301
E.4.2 Ausgabe des Programms WIEDER 307
E.4.3 Quellcode des Programms NSPEKT 308
E.4.4 Ausgabe des Programms NSPEKT 319
E.4.5 Quellcode des Programms DAMPF 321
E.4.6 Ausgabe des Programms DAMPF 333
Literaturverzeichnis 335
Stichwortverzeichnis 341
