Mecanica Cuantica I

311 Pages·2007·1.992 MB·Spanish

by  Ferrer, Massmann

Departamento de F´ısica, Facultad de Ciencias, Universidad de Chile.
˜
Las Palmeras 3425, Nun˜oa. Casilla 653, Correo 1, Santiago
fono: 562 978 7276 fax: [phone]
e-mail: secretaria@fisica.ciencias.uchile.cl
Apuntes de un curso de
´ ´
MECANICA CUANTICA I
Rodrigo Ferrer P.
Herbert Massmann L.
V´ıctor Mun˜oz G.
Jaime R¨ossler B.
Jos´e Rogan C.

´
Indice
0. La crisis de la f´ısica cl´asica. 1
0.1. La radiaci´on del cuerpo negro. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.1.1. Teor´ıa cl´asica de Rayleigh-Jeans. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
0.1.2. Teor´ıa de Planck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.2. El efecto fotoel´ectrico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.3. Calor espec´ıfico de un gas de mol´eculas diat´omicas. . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.4. Los rayos X y el efecto Compton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
0.5. La hip´otesis de Louis de Broglie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
0.6. Principio de Complementariedad (dualidad onda-part´ıcula). . . . . . . . . . . 12
0.7. Principio de correspondencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
0.8. El ´atomo de hidr´ogeno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
0.9. La regla de cuantizaci´on de Bohr-Sommerfeld. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
0.10.El principio de incerteza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
0.11.Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1. Introducci´on matem´atica. 31
1.1. Espacio vectorial sobre el cuerpo complejo C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2. Operadores lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.3. Vectores duales y producto interno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.4. Base de un espacio vectorial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5. Espacios vectoriales de dimensi´on continua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.6. La δ de Dirac. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.7. Norma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.8. Ortonormalizaci´on de una base de dimensi´on discreta. . . . . . . . . . . . . . . 37
ˇ
1.9. Operadores de proyecci´on P. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.10.El operador identidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.11.Operadores unitarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.12.Cambio de base. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.13.Notaci´on de Dirac y la notaci´on convencional de matrices. . . . . . . . . . . . 44
1.14.Autovalores de un operador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.15.El caso de operadores autoherm´ıticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.16.Conmutadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.16.1. Propiedades de los conmutadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
1.17.Valor esperado y varianza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.18.Desigualdad de Schwartz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
iii
iv ´INDICE
1.19.Teorema: Principio de incerteza. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1.20.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2. Las ecuaciones b´asicas de la Mec´anica Cu´antica. 61
2.1. Introducci´on semicl´asica para part´ıculas libres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
2.2. Los postulados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
2.3. Conjunto completo de observables compatibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
ˇ ˇ
2.4. Los operadores ~p y~r. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
h i
ˇ ˇ
2.4.1. El conmutador ~r,~p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.4.2. El conmutador [xˇ ,xˇ ] y [pˇ ,pˇ ]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
i j i j
ˇ ˇ
2.4.3. Otras relaciones que involucran a~r y ~p. . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.5. Uso del principio de correspondencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.6. Ilustraciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
2.6.1. Teorema del virial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.6.2. Regla de suma de Thomas-Reiche-Kuhn. . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.7. Paquetes de ondas y transformada de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.7.1. Superposici´on de ondas planas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.7.2. Transformada de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
2.7.3. Teorema de Parseval. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
2.7.4. Propagaci´on de un paquete de ondas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
2.7.5. Dispersi´on de un paquete de ondas gaussiano. . . . . . . . . . . . . . . 95
2.8. Normalizaci´on de una funci´on de estado. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
2.9. La funci´on de Green para la part´ıcula libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
2.10.La ecuaci´on de onda en presencia de fuerzas externas. . . . . . . . . . . . . . . 103
2.11.Densidad y corriente de probabilidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
2.12.Propagador. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.13.Un teorema importante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
2.14.El cuadro de Heisenberg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
2.15.Part´ıcula libre en el cuadro de Heisenberg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
2.16. Leyes de conservaci´on y simetr´ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.17.Estados estacionarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.17.1. Operador de Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
2.17.2. Funciones de onda reales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
2.18.Degeneraci´on del espectro y simetr´ıas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
2.19.El Wronskiano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
2.20.Condiciones de borde. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.20.1. Continuidad de la funci´on de onda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
2.21.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3. Soluci´on de algunos problemas unidimensionales. 139
3.1. El pozo infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.1.1. Autofunciones y energ´ıas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
3.1.2. Regla de cuantificaci´on de Bohr-Sommerfeld. . . . . . . . . . . . . . . . 142
3.1.3. Ensanchamiento repentino. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
3.1.4. Ensanchamiento adiab´atico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
´INDICE v
3.1.5. Presi´on y trabajo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
3.2. Estados ligados en potenciales unidimensionales. . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
3.2.1. An´alisis dimensional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149
3.2.2. Potenciales singulares. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
3.2.3. Potenciales sim´etricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.2.4. Ejemplo ilustrativo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153
3.2.5. Consideraciones semicl´asicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3.2.6. An´alisis num´erico de la ecuaci´on de Schr¨odinger. . . . . . . . . . . . . . 159
3.2.7. Resultados num´ericos para algunos pozos. . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.3. Part´ıcula ligada a un potencial delta. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
3.3.1. Estado ligado en la representaci´on de coordenadas. . . . . . . . . . . . 166
3.3.2. Estado ligado en la representaci´on de momentos. . . . . . . . . . . . . . 168
3.3.3. Cambio brusco de la intensidad V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
0
3.3.4. Relaci´on de completitud. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
3.3.5. Transformaci´on de Galileo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
3.3.6. Ionizaci´on tras una aceleraci´on repentina. . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
3.4. Resonancias y decaimiento exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
3.4.1. Estados estacionarios y resonancias. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
3.4.2. La f´ormula de Breit-Wigner. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
3.4.3. Decaimiento exponencial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183
3.4.4. Energias complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
3.4.5. Consideraciones semicl´asicas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
3.5. Scattering sobre barreras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
3.5.1. La matriz de transferencia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
3.5.2. El caso de dos barreras. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
3.5.3. Transmisi´on resonante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
3.6. Potenciales periodicos unidimensionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
3.6.1. Teorema de Bloch. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
3.6.2. Modelo de Kroning-Penney. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
3.7. Efecto Aharonov-Bohm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
3.7.1. Part´ıcula en movimiento circular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202
3.7.2. Potencial vectorial magn´etico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
3.7.3. Part´ıcula cargada movi´endose en un campo potencial magn´etico. . . . . 204
3.8. Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
4. El oscilador arm´onico. 209
4.1. Resultados aproximados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4.1.1. Energ´ıa de punto cero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
4.1.2. Regla de Cuantizaci´on de Bohr-Sommerfeld. . . . . . . . . . . . . . . . 210
4.2. Los operadores aˇ, aˇ† y nˇ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
4.3. Funci´on de onda del estado fundamental. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
4.4. Estados excitados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
4.5. Polinomios de Hermite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
4.6. Funci´on de Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
4.7. Representaci´on matricial de los operadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226
vi ´INDICE
4.8. Evoluci´on cl´asica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
4.9. Cuadro de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
4.9.1. Ecuaciones de movimiento. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
4.9.2. Interpretaci´on del cuadro de Heisenberg. . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
4.9.3. Descomposici´on de Ψ (ξ) en autoestados del oscilador arm´onico. . . . 234
H
4.10.Estados coherentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235
4.10.1. Definici´on. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
4.10.2. Valores promedios de algunos operadores. . . . . . . . . . . . . . . . . . 237
4.10.3. Forma expl´ıcita para |αi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
4.10.4. Evoluci´on temporal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240
4.10.5. Comentarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241
4.10.6. Ilustraci´on 1: fuerza externa constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242
4.10.7. Ilustraci´on 2: l´aser. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
4.11.El oscilador armonico en tres dimensiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245
4.12.Problemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
5. Momento angular. 251
5.1. Operadores de rotaci´on en el espacio de Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
5.2. Momento angular orbital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255
5.3. Invariancia rotacional. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256
5.4. Autovalores y autovectores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
5.5. Autofunciones del momento angular orbital. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266
5.5.1. Los operadores de momento angular en la representaci´on de coordenadas.268
5.6. Los autovectores en la representaci´on de coordenadas. . . . . . . . . . . . . . . 271
5.6.1. Evaluaci´on de Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
00
5.6.2. Evaluaci´on de Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272
‘‘
5.6.3. Evaluaci´on de Y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
‘m
5.6.4. Armonicos esfericos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
6. Problemas con simetria esferica 277
6.1. El problema de dos cuerpos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
6.2. Ecuacion radial de Schr¨odinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
6.2.1. Propiedades Asint´oticas de la Ecuaci´on Radial de Schr¨odinger. . . . . . 283
6.3. La particula libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
6.3.1. Funciones de Bessel esf´ericas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284
6.3.2. Funci´on de onda para la part´ıcula libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
6.4. Particula en una caja esferica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
6.4.1. Inclusi´on de un carozo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
6.5. La funcion hipergeometrica confluente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
6.6. Oscilador arm´onico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292
6.6.1. Operadores de subida y bajada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296
6.7. El atomo de hidrogeno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
6.7.1. Degeneraci´on accidental del ´atomo de hidr´ogeno. . . . . . . . . . . . . 304
Cap´ıtulo 0
La crisis de la f´ısica cl´asica.
versi´on8mayo2007
Enesteprimercap´ıtulomencionaremoslosprincipaleshechosquecondujeronaldesarrollo
de la Mec´anica Cu´antica.
AfinesdelsigloXIXsehizocadavezm´asevidentequelaf´ısicadesarrolladahastaentonces
era completamente incapaz de dar cuenta de varios hechos experimentales. El estudio de
estos problemas llev´o a un conjunto de principios y descripciones, a veces bastante forzados,
conocidos hoy en d´ıa con el nombre de Mec´anica Cu´antica antigua. En el presente cap´ıtulo
analizaremos algunos de estos problemas.
0.1. La radiacio´n del cuerpo negro.
Consideremos una cavidad cerrada con s´olo un pequen˜o agujero y cuyas paredes se man-
tienen a una temperatura constante T. La energ´ıa emitida por las paredes en equilibrio
termodin´amico llenar´a la cavidad. Una porci´on despreciable de la radiaci´on escapa al exte-
rior por el agujero. La radiaci´on emitida por este agujero se denomina radiaci´on del cuerpo
negro1.
Experimentalmente se encuentra que el espectro emitido por el agujero s´olo depende de
la temperatura T y no del material de la que est´a hecho la caja.
Veamosbrevementeconqu´edificultadesseencontr´olaexplicaci´oncl´asicadeestefen´omeno.
0.1.1. Teor´ıa cl´asica de Rayleigh-Jeans.
Consideremos una caja de paredes met´alicas y de taman˜o L , L , L (ver figura 1).
x y z
¿Cu´ales son los modos electromagn´eticos posibles dentro de esta cavidad? Para respon-
der a esta pregunta, consideremos el campo el´ectrico de la radiaci´on. Que las paredes sean
conductoras significa que el campo el´ectrico paralelo a la superficie debe anularse. Al interior
1Se denota cuerpo negro a cualquier cuerpo que absorbe toda la radiaci´on que choca contra ´el. Toda la
radiaci´on que incide desde el exterior sobre el agujero de la caja penetrar´a al interior, no siendo reflejado
nada.
1
´ ´ ´
2 CAPITULO 0. LA CRISIS DE LA FISICA CLASICA.
z^
Lz
y^
0
Ly
Lx
x^
Figura 1: Caja met´alica usada para analizar la radiaci´on del cuerpo negro.
de la cavidad el campo el´ectrico satisface la ecuaci´on de ondas libres
1 ∂2
∇2E~ − E~ = 0 .
c2∂t2
Busquemos soluciones del tipo
~
E = E (x,y,z,t)xˆ+E (x,y,z,t)yˆ+E (x,y,z,t)zˆ ,
x y z
con
E (x,y,z,t) = cos(k x) sen(k y) sen(k z)eiωt ,
x x y z
E (x,y,z,t) = sen(k x) cos(k y) sen(k z)eiωt ,
y x y z
E (x,y,z,t) = sen(k x) sen(k y) cos(k z)eiωt .
z x y z
El campo debe satisfacer las siguientes condiciones de borde
E (x,y,0,t) = E (x,y,L ,t) = 0 ∀x,y,t
x x z
E (x,0,z,t) = E (x,L ,z,t) = 0 ∀x,z,t
x x y
E (0,y,z,t) = E (L ,y,z,t) = 0 ∀y,z,t
y y x
E (x,y,0,t) = E (x,y,L ,t) = 0 ∀x,y,t
y y z
E (0,y,z,t) = E (L ,y,z,t) = 0 ∀y,z,t
z z x
y
E (x,0,z,t) = E (x,L ,z,t) = 0 ∀x,z,t
z z y
~
Estas ecuaciones se satisfacen si elegimos k de manera que
sen(k L ) = 0 ,
x x
sen(k L ) = 0
y y
´
0.1. LA RADIACION DEL CUERPO NEGRO. 3
y
sin(k L ) = 0 .
z z
En otras palabras, los vectores de onda k (i = x,y,z) no son arbitrarios, sino que deben
i
satisfacer
n π
k = i , n ∈ N∗ . (1)
i i
L
i
Sea k2 = k2 +k2 +k2 el m´odulo al cuadrado del vector de onda. La relaci´on entre el vector
x y z
de onda k y la frecuencia angular ω de la onda electromagn´etica es
ω2
k2 = (relaci´on de dispersi´on) .
c2
¿Cu´antos modos hay que poseen un vector de onda con magnitud entre k y k+∆k? A partir
de la ecuaci´on (1) se deduce que, para cada componente, la separaci´on entre vectores de onda
contiguos es
π π π
∆k = , ∆k = , ∆k = ,
x y 2
L L L
x y z
ya que ∆n = 1 (n , n y n pueden variar s´olo en un entero). Luego cada modo de oscilaci´on
i x y z
electromagn´etico “ocupa” en el espacio k un “volumen”
π3 π3
∆k ∆k ∆k = = .
x y z
L L L V
x y z
k
z
∆k
(cid:0)(cid:1)k(cid:0)(cid:1)
0
k
y
k
x
Figura 2: Cascar´on esf´erico en el espacio k.
Para encontrar el nu´mero de modos con vector de onda entre k y k+∆k basta calcular el
volumen de la c´ascara esf´erica mostrada en la figura 2 y dividirlo por el volumen que ocupa
cada modo. En la figura 2 se considera s´olo un octante de la esfera, ya que n s´olo toma
i
valores enteros positivos. Sea n(k) ∆k el nu´mero de modos con vector de onda entre k y
k +∆k, entonces se tiene que
14πk2∆k Vk2∆k
n(k)∆k = 2 = . (2)
8 π3/V π2
´ ´ ´
4 CAPITULO 0. LA CRISIS DE LA FISICA CLASICA.
~
El factor 2 que aparece en la ecuaci´on anterior se debe a que, para cada k, existen dos
~
estados de polarizaci´on. (Una vez elegido k = (k ,k ,k ), quedan s´olo dos grados de libertad
x y z
~ ~
para el campo el´ectrico ya que E necesariamente debe ser perpendicular a k.) A partir de
(2) y usando las relaciones
∆k
n(ω) = n(k)
∆ω
y
∆k 1
= ,
∆ω c
se obtiene, para la densidad de modos de frecuencia ω
Vk21 (cid:16)ω(cid:17)2 V
n(ω) = = .
π2 c c π2c
Para encontrar la densidad de energ´ıa u(ω) hay que multiplicar la densidad de modos n(ω)
¯
por la energ´ıa promedio E que posee un modo con frecuencia ω:
ω
¯
u(ω) = n(ω)E .
ω
Segu´n la teor´ıa estad´ıstica cl´asica, la probabilidad de que un oscilador tenga la energ´ıa entre
E y E +dE, si la temperatura es T, viene dada por
exp(−E/k T)dE
B
. (Distribuci´on de Boltzmann)
R∞
exp(−E0/k T) dE0
0 B
Usando este resultado podemos evaluar el valor promedio de la energ´ıa para el modo ω. Se
obtiene
R∞E exp(−E/k T) dE d (cid:20) Z ∞ (cid:21)
E¯ = 0 B = − log e−β(cid:15) d(cid:15)
ω R∞exp(−E0/k T) dE0 dβ
0 B 0
d 1 1
= − log = ,
dβ β β
donde β ≡ (k T)−1 y k es la Constante de Boltzmann. Con este resultado se obtiene para
B B
la densidad de energ´ıa la expresi´on
ω2Vk T
B
u(ω) = . F´ormula de Rayleigh-Jeans (3)
π2c3
La energ´ıa interna total U de la radiaci´on al interior de la caja se obtiene integrando la
densidad u(ω)
Vk T Z ∞
U = B ω2 dω = ∞ ,
π2c3
0
resultado obviamente absurdo. La ecuaci´on (3) no puede ser correcta. Esto se observa con
mayor claridad en la figura 3, donde se grafica la densidad de energ´ıa en funci´on de la
frecuenciaω.Parapequen˜osvaloresdeω elresultadodelateor´ıadeRayleigh-Jeansconcuerda
bastante bien con los datos experimentales. Para valores grandes de ω la teor´ıa est´a en
completo desacuerdo con los datos experimentales: Rayleigh-Jeans diverge, mientras que
experimentalmente se encuentra que la densidad de energ´ıa tiende exponencialmente a cero.
Esta dificultad se conoce con el nombre de “cat´astrofe ultravioleta”.