Matrizes Vetores e Geometria Analítica

734 Pages·2014·3.76 MB·Portuguese

by  Reginaldo J. Santos

MATRIZES VETORES E
´
GEOMETRIA ANALITICA
Reginaldo J. Santos
Departamento de Matema´tica-ICEx
Universidade Federal de Minas Gerais
http://www.mat.ufmg.br/~regi
Marc¸o 2006
MatrizesVetoreseGeometriaAnal´ıtica
Copyright c 2006byReginaldodeJesusSantos(060403)
(cid:13)
E´ proibidaareproduc¸a˜odestapublicac¸a˜o,oupartedela,porqualquermeio,semapre´via
autorizac¸a˜o,porescrito,doautor.
Editor,CoordenadordeRevisa˜o,SupervisordeProduc¸a˜o,CapaeIlustrac¸o˜es:
ReginaldoJ.Santos
ISBN85-7470-014-2
FichaCatalogra´fica
Santos,ReginaldoJ.
S237m MatrizesVetoreseGeometriaAnal´ıtica/ReginaldoJ.Santos-Belo
Horizonte: ImprensaUniversita´riadaUFMG,2006.
1. GeometriaAnal´ıtica I.T´ıtulo
CDD: 516.3
Conteu´ do
Prefa´cio vii
1 MatrizeseSistemasLineares 1
1.1 Matrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1 Operac¸o˜escomMatrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Propriedadesda A´lgebraMatricial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.1.3 Aplicac¸a˜oaCadeiasdeMarkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
ApeˆndiceI:Notac¸a˜odeSomato´rio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.2 SistemasdeEquac¸o˜esLineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
1.2.1 Me´tododeGauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1.2.2 MatrizesEquivalentesporLinhas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.2.3 SistemasLinearesHomogeˆneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.2.4 MatrizesElementares(opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
iii
iv Conteu´do
ApeˆndiceII:UnicidadedaFormaEscalonadaReduzida . . . . . . . . . . . . . . . . 74
2 Inversa˜odeMatrizeseDeterminantes 79
2.1 MatrizInversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.1.1 PropriedadesdaInversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
2.1.2 MatrizesElementareseInversa˜o(opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.1.3 Me´todoparaInversa˜odeMatrizes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
2.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
2.2.1 PropriedadesdoDeterminante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
2.2.2 MatrizesElementareseoDeterminante(opcional) . . . . . . . . . . . . . . . 129
2.2.3 MatrizAdjuntaeInversa˜o(opcional) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
ApeˆndiceIII:Demonstrac¸a˜odoTeorema 2.11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
3 VetoresnoPlanoenoEspac¸o 150
3.1 SomadeVetoreseMultiplicac¸a˜oporEscalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
3.2 ProdutosdeVetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
3.2.1 NormaeProdutoEscalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
3.2.2 Projec¸a˜oOrtogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
3.2.3 ProdutoVetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
3.2.4 ProdutoMisto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219
4 RetasePlanos 233
4.1 Equac¸o˜esdeRetasePlanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
4.1.1 Equac¸o˜esdoPlano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
4.1.2 Equac¸o˜esdaReta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
4.2 AˆnguloseDistaˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
MatrizesVetoreseGeometriaAnal´ıtica Marc¸o2006
Conteu´do v
4.2.1 Aˆngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279
4.2.2 Distaˆncias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286
4.3 Posic¸o˜esRelativasdeRetasePlanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
5 Sec¸o˜esCoˆnicas 324
5.1 CoˆnicasNa˜oDegeneradas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
5.1.1 Elipse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324
5.1.2 Hipe´rbole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331
5.1.3 Para´bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338
5.1.4 Caracterizac¸a˜odasCoˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
5.2 CoordenadasPolareseEquac¸o˜esParame´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356
5.2.1 CoˆnicasemCoordenadasPolares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362
5.2.2 CircunfereˆnciaemCoordenadasPolares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372
5.2.3 Equac¸o˜esParame´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382
6 Superf´ıcieseCurvasnoEspac¸o 396
6.1 Qua´dricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
6.1.1 Elipso´ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396
6.1.2 Hiperbolo´ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402
6.1.3 Parabolo´ide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413
6.1.4 ConeEl´ıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424
6.1.5 CilindroQua´drico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
6.2 Superf´ıciesCil´ındricas,CoˆnicasedeRevoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
6.2.1 Superf´ıciesCil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437
6.2.2 Superf´ıciesCoˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
6.2.3 Superf´ıciesdeRevoluc¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
Marc¸o2006 ReginaldoJ.Santos
vi Conteu´do
6.3 CoordenadasCil´ındricasEsfe´ricaseEquac¸o˜esParame´tricas . . . . . . . . . . . . . 467
6.3.1 CoordenadasCil´ındricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467
6.3.2 CoordenadasEsfe´ricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474
6.3.3 Equac¸o˜esParame´tricasdeSuperf´ıcies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481
6.3.4 Equac¸o˜esParame´tricasdeCurvasnoEspac¸o . . . . . . . . . . . . . . . . . . 488
7 Mudanc¸adeCoordenadas 495
7.1 Rotac¸a˜oeTranslac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495
7.1.1 Rotac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505
7.1.2 Translac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507
7.2 Identificac¸a˜odeCoˆnicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512
7.3 Identificac¸a˜odeQua´dricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528
RespostasdosExerc´ıcios 556
Bibliografia 713
´IndiceAlfabe´tico 716
MatrizesVetoreseGeometriaAnal´ıtica Marc¸o2006
Prefa´cio
EstetextocobreomaterialparaumcursodeGeometriaAnal´ıticaministradoparaestudantesdaa´rea
deCieˆnciasExatas. Otextopode,masna˜oe´ necessa´rio,seracompanhadodoprogramaMATLAB(cid:114)∗.
Oconteu´doe´ divididoemsetecap´ıtulos. OCap´ıtulo1tratadasmatrizesesistemaslineares. Aqui
todas as propriedades da a´lgebra matricial sa˜o demonstradas. A resoluc¸a˜o de sistemas lineares e´
feitausandosomenteome´tododeGauss-Jordan(transformandoamatrizate´ queelaestejanaforma
escalonada reduzida). Este me´todo requer mais trabalho do que o me´todo de Gauss (transformando
a matriz, apenas, ate´ que ela esteja na forma escalonada). Ele foi o escolhido, por que tambe´m
e´ usado no estudo da inversa˜o de matrizes no Cap´ıtulo 2. Neste Cap´ıtulo e´ tambe´m estudado o
determinante, que e´ definido usando cofatores. As subsec¸o˜es 2.2.2 e 2.2.3 sa˜o independentes entre
si. Asdemonstrac¸o˜esdosresultadosdestecap´ıtulopodemser,acrite´riodoleitor,feitassomentepara
matrizes3 3.
×
OCap´ıtulo3tratadevetoresnoplanoenoespac¸o. Osvetoressa˜odefinidosdeformageome´trica,
∗MATLAB(cid:114)e´ marcaregistradadeTheMathworks,Inc.
vii
viii Conteu´do
assim como a soma e a multiplicac¸a˜o por escalar. Sa˜o provadas algumas propriedades geometrica-
mente. Depois sa˜o introduzidos sistemas de coordenadas de forma natural sem a necessidade da
definic¸a˜o de base. Os produtos escalar e vetorial sa˜o definidos geometricamente. O Cap´ıtulo 4 trata
de retas e planos no espac¸o. Sa˜o estudados aˆngulos, distaˆncias e posic¸o˜es relativas de retas e
planos.
O Cap´ıtulo 5 traz um estudo das sec¸o˜es coˆnicas. Sa˜o tambe´m estudadas as coordenadas po-
lares e parametrizac¸o˜es das coˆnicas. As superf´ıcies sa˜o estudadas no Cap´ıtulo 6 incluindo a´ı as
qua´dricas, superf´ıcies cil´ındricas, coˆnicas e de revoluc¸a˜o. Neste Cap´ıtulo sa˜o tambe´m estudadas as
coordenadascil´ındricas, esfe´ricas e parametrizac¸a˜o de superf´ıciese curvas no espac¸o. O Cap´ıtulo 7
trazmudanc¸adecoordenadas,rotac¸a˜oetranslac¸a˜o. Dadaumaequac¸a˜ogeralde2o grauemduasou
treˆs varia´veis, neste Cap´ıtulo, atrave´s de mudanc¸as de coordenadas e´ feita a identificac¸a˜o da coˆnica
oudaqua´dricacorrespondenteaequac¸a˜o.
Os exerc´ıcios esta˜o agrupados em treˆs classes. Os “Exerc´ıcios Nume´ricos”, que conte´m
exerc´ıcios que sa˜o resolvidos fazendo ca´lculos, que podem ser realizados sem a ajuda de um com-
putador ou de uma ma´quina de calcular. Os “Exerc´ıcios Teo´ricos”, que conte´m exerc´ıcios que reque-
rem demonstrac¸o˜es. Alguns sa˜o simples, outros sa˜o mais complexos. Os mais dif´ıceis complemen-
tam a teoria e geralmente sa˜o acompanhados de sugesto˜es. Os “Exerc´ıcios usando o MATLAB(cid:114)”,
que conte´m exerc´ıcios para serem resolvidos usando o MATLAB(cid:114) ou outro software. Os comandos
necessa´rios a resoluc¸a˜o destes exerc´ıcios sa˜o tambe´m fornecidos juntamente com uma explicac¸a˜o
ra´pida do uso. Os exerc´ıcios nume´ricos sa˜o imprescind´ıveis, enquanto a resoluc¸a˜o dos outros, de-
pendedon´ıveledosobjetivospretendidosparaocurso.
O MATLAB(cid:114) e´ um software destinado a fazer ca´lculos com matrizes (MATLAB(cid:114) = MATrix LABo-
ratory). Os comandos do MATLAB(cid:114) sa˜o muito pro´ximos da forma como escrevemos expresso˜es
alge´bricas, tornando mais simples o seu uso. Podem ser incorporados a`s rotinas pre´-definidas,
pacotes para ca´lculos espec´ıficos. Um pacote chamado gaal com func¸o˜es que sa˜o direciona-
MatrizesVetoreseGeometriaAnal´ıtica Marc¸o2006
Prefa´cio ix
das para o estudo de Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear pode ser obtido atrave´s da internet no
enderec¸o http://www.mat.ufmg.br/~regi, assim como um texto com uma introduc¸a˜o ao MA-
TLAB(cid:114) e instruc¸o˜es de como instalar o pacote gaal. Mais informac¸o˜es sobre o que o MATLAB(cid:114) e´
capaz,podemserobtidasem[5,19].
Nofimdecadacap´ıtulotemosum“TestedoCap´ıtulo”,ondeoalunopodeavaliarosseusconheci-
mentos. OsExerc´ıciosNume´ricoseosExerc´ıciosusandoo MATLAB(cid:114) esta˜oresolvidosapo´sou´ltimo
cap´ıtulo utilizando o MATLAB(cid:114). Desta forma o leitor que na˜o estiver interessado em usar o software
podeobterapenasasrespostasdosexerc´ıcios,enquantoaquelequetiveralguminteresse,podeficar
sabendocomoosexerc´ıciospoderiamserresolvidosfazendousodo MATLAB(cid:114) edopacotegaal.
O programa MATLAB(cid:114) pode ser adquirido gratuitamente na compra do livro “Student Edition of
MATLAB Version 5 for Windows” - Book and CD-ROM edition [19], por exemplo na Amazon.com
(http://www.amazon.com).
Gostaria de agradecer aos professores que colaboraram apresentando correc¸o˜es, cr´ıticas e su-
gesto˜es, entre eles Dan Avritzer, Joana Darc A. S. da Cruz, Francisco Dutenhefner, Jorge Sabatucci,
Seme Gebara, Alexandre Washington, Vivaldo R. Filho, Hamilton P. Bueno, Paulo A. F. Machado,
Helder C. Rodrigues, Flaviana A. Ribeiro, Cristina Marques, Roge´rio S. Mol, Maria Laura M. Gomes,
Maria Cristina C. Ferreira, Paulo C. de Lima, Jose´ Barbosa Gomes, Moacir G. dos Anjos e Daniel C.
deMoraisFilho.
Marc¸o2006 ReginaldoJ.Santos
x Prefa´cio
Histo´rico
Marc¸o2006 Os Cap´ıtulos 1 e 2 foram reescritos. Foi acrescentada uma aplicac¸a˜o a`s Cadeias de
Markov. Foram acrescentados va´rios exerc´ıcios aos Cap´ıtulos 3 e 4. O Cap´ıtulo 5 foi reescrito.
Foram escritas as respostas dos exerc´ıcios das Sec¸o˜es 4.3. e 6.1. Foram acrescentados
exerc´ıciosnume´ricosa`ssec¸o˜es4.3e5.1eexerc´ıciosteo´ricosa`ssec¸o˜es3.1,4.2,5.1e7.3.
Julho2004 Foiacrescentadaumaaplicac¸a˜oa` criptografia(Exemplo2.9napa´gina99). Foiacrescen-
tado um exerc´ıcio na sec¸a˜o 1.1. Foi inclu´ıda a demonstrac¸a˜o de que toda matriz e´ equivalente
porlinhasaumau´nicamatrizescalonadareduzida. EsteresultadoeraoTeorema1.4napa´gina
26 que passou para o Apeˆndice II da sec¸a˜o 1.2. O Teorema1.4 agora conte´m as propriedades
da relac¸a˜o “ser equivalente por linhas” com a demonstrac¸a˜o. No Cap´ıtulo 3 foram acrescenta-
dos2exerc´ıciosnasec¸a˜o3.1,1exerc´ıcionasec¸a˜o3.2. NoCap´ıtulo4asec¸a˜o4.1foireescrita
eforamacrescentados2exerc´ıcios.
Marc¸o2002 Criado a partir do texto ’Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear’ para ser usado numa
disciplinadeGeometriaAnal´ıtica.
Sugesta˜o de Cronograma
MatrizesVetoreseGeometriaAnal´ıtica Marc¸o2006