Lineare Algebra und Analytische Geometrie in Fragen und Übungsaufgaben

138 Pages·1998·4.42 MB·German

by  Doz. Dr. rer. nat. Karl-Heinz Gärtner

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Lineare Algebra und
Analytische Geometrie
in Fragen
••
und Ubungsaufgaben
Von Doz. Dr. Karl-Heinz Gärtner
und Dr. Roland Schmieder
B. G. Teubner Stuttgart . Leipzig 1998
Das Lehrwerk wurde 1972 begründet und wird herausgegeben von:
Prof. Dr. Otfried Beyer, Prof. Dr. Horst Erfurth,
Prof. Dr. Christian Großmann, Prof. Dr. Horst Kadner,
Prof. Dr. Kar! Manteuttel, Prof. Dr. Manfred Schneider,
Prof. Dr. Günter Zeidler
Verantwortlicher Herausgeber dieses Bandes:
Prof. Dr. Karl Manteuffel
Autoren:
Doz. Dr. rer. nat. Karl-Heinz Gärtner
Dr. rer. nat. Roland Schmieder
Technische Universität Bergakademie Freiberg
Gedruckt auf chlorfrei gebleichtem Papier.
Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme
Gärtner, Karl-Heinz:
Lineare Algebra und analytische Geometrie in Fragen und
Übungsaufgaben / von Karl-Heinz Gärtner und Roland Schmieder.
[Hrsg.: Karl Manteuffel]. -
Stuttgart ; Leipzig: Teubner,1998
(Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler)
ISBN 978-3-519-00220-8 ISBN 978-3-322-96360-4 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-322-96360-4
Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung
außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages
unzulässig und strafbar. Das gilt besonders für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfil
mungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen.
© 1998 B. G. Teubner Stuttgart . Leipzig
Umschlaggestaltung : E. Kretschmer, Leipzig
Vorwort
Die vorliegende Sammlung von Fragen und Aufgaben zur Linearen Algebra und
Analytischen Geometrie stützt sich auf Erfahrungen, die die Autoren bei der
mathematischen Grundausbildung von Studenten der Natur- und Ingenieurwis
senschaften an der Technischen Universität Bergakademie Freiberg über Jahre
hinweg gesammelt haben. Das Buch soll der Festigung und Vertiefung des in den
Vorlesungen gebotenen Stoffes dienen, die Nutzer zum Selbststudium anregen
und vor allem bei der Vorbereitung auf Klausuren und mündliche Prüfungen
im Rahmen des Vordiploms Orientierung und Hilfsmittel sein.
Das Buch ist in fünf Komplexe mit entsprechenden Teilabschnitten gegliedert.
Jeder Teilabschnitt beginnt mit einer Zusammenstellung wichtiger Formeln und
Eigenschaften, die gleichzeitig als Basis für die nachfolgenden Fragen und Auf
gaben des jeweiligen Abschnitts anzusehen sind. Dem Zweck des Buches ent
sprechend wurde die Zusammenstellung knapp gehalten und erhebt keinen An
spruch auf Vollständigkeit. Für weitergehende Fragestellungen sollten bei Bedarf
die im Literaturverzeichnis angegebenen Lehrwerke genutzt werden. Am Ende
eines jeden Komplexes findet der Nutzer die Antworten zu allen gestellten Fra
gen, Lösungen und in vielen Fällen auch Ansätze sowie Lösungshinweise zu den
Aufgaben.
Vorschläge und Hinweise, die der Verbesserung und Vervollkommnung des Bu
ches dienen, nehmen die Autoren gern entgegen.
Besonderer Dank gilt den Mitarbeiterinnen Frau Dipl.-Ing.(FH) I. Gugel und
Frau M. Löscher für die sorgfältige Anfertigung der Druckvorlage und Herrn
Dipl.-Math. R. Pohlink für die Herstellung der Abbildungen. Dem Teubner
Verlag, insbesondere Herrn J. Weiß, sprechen wir für die Anregungen zu diesem
Projekt und für die konstruktive Zusammenarbeit unseren Dank aus.
Freiberg, im Juli 1998 Die Autoren
Inhalt
1 Vektoren 9
1.1 Vektorrechnung im Raum !Rn 9
Fragen zu 1.1 13
6 •••
Aufgaben zu 1.1 . . . 15
1.2 Lineare Vektorräume 18
Fragen zu 1. 2 .. 19
Aufgaben zu 1.2 . 20
Antworten zu 1 22
Lösungen zu 1 . . 28
2 Determinanten und Matrizen 34
2.1 Determinanten 34
Fragen zu 2.1 36
Aufgaben zu 2.1 37
2.2 Matrizen .... 40
Fragen zu 2.2 43
Aufgaben zu 2.2 . 44
Antworten zu 2 48
Lösungen zu 2 . . 54
3 Lineare Gleichungssysteme 61
Fragen zu 3 .. 65
Aufgaben zu 3 . 66
Antworten zu 3 70
Lösungen zu 3 . 72
4 Eigenwerte und Eigenvektoren quadratischer Matrizen 80
Fragen zu 4 .. 81
Aufgaben zu 4 . 82
Antworten zu 4 83
Lösungen zu 4 . 85
Inhalt 7
5 Analytische Geometrie 90
5.1 Gerade und Ebene im Raum . 90
Fragen zu 5.1 ........ . 95
Aufgaben zu 5.1 ....... . 96
5.2 Verschiebung und Drehung von Koordinatensystemen 100
Fragen zu 5.2 ........... . 101
Aufgaben zu 5.2. . . . . . . . . . . 102
5.3 Kurven 2. Ordnung - Kegelschnitte 104
Fragen zu 5.3 .. 109
Aufgaben zu 5.3 . 110
Antworten zu 5 114
Lösungen zu 5 120
Literatur 136
Sachwortregister 137
1 Vektoren
1.1 Vektorrechnung im Raum lRn
Schwerpunkte:
Addition und Subtraktion von Vektoren, Multiplikation von Vektoren mit einem
Skalar, Linearkombination von Vektoren, Betrag eines Vektors, Einheitsvekto
ren, Richtungskosinus, Vektoren als Pfeile (eigentlich Pfeilklassen) für n = 2
und n = 3, Skalarprodukt, Vektorprodukt, Spatprodukt
Der (Vektor-)Raum /Rn ist die Menge aller geordneten n-Tupel reeller Zahlen,
die in Spaltenform geschriebenen n-Tupel sind die Elemente von /Rn und heißen
(Spalten-)Vektoren:
(J
~
Dl" {x/x = und Xi E Dl fü<alle i = 1(I)n},
x, y, a, b, ... E /Rn Elemente von /Rn_ (Spalten-)Vektoren.
Anmerkung zur Schreibweise geordneter n-Tupel:
Der Übergang von der Spalten- zur Zeilenschreibweise (und umgekehrt) heißt
Transponieren und wird wie folgt gekennzeichnet:
Speziell gilt:
/R2 ist die Menge aller geordneten Paare reeller Zahlen,
/R3 ist die Menge aller geordneten Tripel reeller Zahlen,
of
0= (0; 0; ... ; E /Rn ist der Nullvektor von /Rn.
K.-H. Gärtner et al., Lineare Algebra und Analytische Geometrie in Fragen und Übungsaufgaben
© B. G. Teubner Stuttgart · Leipzig 1998
10 1 Vektoren
Addition
Xl) (YI) (Xl Yl)
( +
x + y = : + ::= : = z E !Rn.
n Yn n + Yn
X X
Die Summe z der Vektoren x und y existiert für alle Vektoren x, y E !Rn, ist
eindeutig bestimmt und wieder ein Element von !Rn.
Multiplikation mit einem Skalar
Das A-fache des Vektors x existiert für alle x E !Rn und alle A E !R, ist eindeutig
bestimmt und wieder ein Element von !Rn.
Entgegengesetzter Vektor
CJ CU
-X'= (-I)x= (-I) =
ist der entgegengesetzte Vektor von x.
Eigenschaften der Rechenoperationen
Für alle x, y, z E !Rn und alle A, f-l E !R gilt:
(x + y) + z = x + (y + z),
x+ 0 = 0 +x = x,
x + (-x) = (-x) + x = 0,
x+y = y+x,
(A + f-l)x = AX + f-lX,
A(X + y) = AX + Ay.
Linearkombination
b ist eine Linearkombination der Vektoren Xl, ... ,Xk mit den Koeffizienten
Ai E !R für i = l(l)k, wenn gilt
k
b = AIXI + A2X2 + ... + AkXk = 2: AiXi .
i=l
1.1 Vektorrechnung im Raum /Rn 11
Betrag eines Vektors
lxi := J xi + x~ + ... + x; = {fx:.
Einheitsvektoren
e ist ein Einheitsvektor {:? lei = 1.
Für alle x E /Rn ist XO := 1;1 . x der zugehörige Einheitsvektor in Richtung x.
Spezielle Einheitsvektoren:
G) ,
= = (~),
im /R2 1 j
G) , G) , G).
~ ~
im Hf 1 j b
auch i = el, j = e2, k = e3, so daß für /Rn eil i = 1,. .. , n spezielle Einheits
vektoren sind, mit
. {I
für k = i
=
mIt eki 0
sonst.
Jeder Vektor x E /Rn ist eine Linearkombination der speziellen Einheitsvekto
ren
(7)
t
x = = Xlel + ... + xnen = Xiei ,
,=1
Xn
Xi - Koordinaten von Xj Xiei - Komponenten von x.
Geometrisches Modell des IR? bzw. B 3
Bei gegebenem kartesischen Koordinatensystem mit dem Ursprung 0 existiert
= (~~)
eine eineindeutige Zuordnung zwischen allen Vektoren x des /R2 und al-
~
len Punkten X (x" x,) eine, Ebene bzw. zwi,chen anen Vektmen x = (::)
des /R3 und allen Punkten X = (Xt,X2,X3) des (Anschauungs-)Raumesj bei den
Fällen ordnet man die Pfeile OX zu (Abb. 1.1 und 1.2). Jeder Pfeil OX ist dabei
12 1 Vektoren
(nur) ein Repräsentant der Klasse aller Pfeile, die durch Parallelverschiebung
aus ihm hervorgehen. Zugeordnete Spaltenvektoren, Punkte und Pfeile werden
häufig identifiziert.
>q-Achse X:l-Achse
X=(XJ,xV
~+---------------
o
XI
~/-------------~
xI-Achse
Abb. 1.1 Abb. 1.2
Der Pfeil OX ist ein Repräsentant des Vektors x = (Xl, X2? bzw. x = (Xl, X2, X3?
Jeder Pfeil OX charakterisiert:
eine Richtung die Verbindungsgerade OX
eine Zahl die Länge der Strecke 0 X
einen Durchlaufsinn - vom Anfangspunkt 0 zum Endpunkt X.
Einheitsvektoren
Die speziellen Einheitsvektoren eI, e2 E IR2 bzw. eI, e2, e3 E IR3 sind die Ein
heitsvektoren in Richtung der (positiven) Koordinatenachsen.
Richtungskosinus
Die Richtungskosinus eines Vektors x E IR2 bzw. x E IR3 sind die Kosinuswerte
der Winkel zwischen dem zugeordneten Pfeil OX und den Richtungen der (po
sitiven) Koordinatenachsen, also:
cos L ( eh x) = i~il' i = 1, 2, 3.
Senkrechte Projektion des Vektors x auf den Vektor y
Xy = lxi cos L(x, y); xy = Xy . yo.
Skalarprodukt (inneres Produkt oder Punktprodukt ) für x, y E IRn
n
X . Y = XIYl + X2Y2 + ... + XnYn = 2: XiYi E IR.
i=1
Faßt man Vektoren als spezielle Matrizen auf, so muß man das Skalarprodukt in
n
der Form xT . y = 2: XiYi schreiben, wobei man zu demselben Ergebnis kommt
;=1
(vgl. S. 41).