Lições de Física de Feynman - Edição Definitiva Volume I

552 Pages·4.715 MB·Portuguese

by  Richard P. Feynman

F435l Feynman, Richard P.
Lições de física de Feynman [recurso eletrônico] : edição
defi nitiva / Richard P. Feynman, Robert B. Leighton, Matthew
Sands ; tradução Adriana Válio Roque da Silva, Kaline Rabelo
Coutinho.– Dados eletrônicos. – Porto Alegre : Bookman, 2008.
Editado também como livro impresso em 2008.
ISBN 978-85-7780-321-7 (v. 1).
1. Física. 2. Mecânica. 3. Radiação. 4. Calor. I. Leighton,
Robert B. II. Sands, Matthew. III. Título.
CDU 53
Catalogação na publicação: Mônica Ballejo Canto – CRB 10/1023.
RICHARD P. FEYNMAN
Professor Richard Chace Tolman de Física Teórica
ROBERT B. LEIGHTON
Professor de Física, California Institute of Technology
MATTHEW SANDS
Professor, Stanford University
LIÇÕES DE FÍSICA
THE FEYNMAN LECTURES ON PHYSICS
V O L U M E I
Tradução:
Adriana Válio Roque da Silva
Doutora em Astronomia pela University of California at Berkeley
Professora adjunto da Universidade Presbiteriana Mackenzie
Kaline Rabelo Coutinho
Doutora em Física pela Universidade de São Paulo
Professora da Universidade de São Paulo
Consultoria, supervisão e revisão técnica desta edição:
Adalberto Fazzio
Doutor em Física pela Universidade de São Paulo
Professor Titular da Universidade de São Paulo
Membro da Academia Brasileira de Ciências
Versão impressa
desta obra: 2008
2008
Obra originalmente publicada sob o título
The Feynman Lectures on Physics: The Defi nitive and Extended Edition, 2nd Edition
ISBN 0-8053-9045-6
Authorized translation from the English language edition, entitled THE FEYNMAN LECTURES ON PHYSICS, THE
DEFINITIVE AND EXTENDED EDITION, 2nd Edition by FEYNMAN, RICHARD P.; LEIGHTON, ROBERT B.; SANDS,
MATTHEW, published by Pearson Education, Inc., publishing as Benjamin Cummings, Copyright © 2006. All rights reserved.
No part of this book may be reproduced or transmitted in any form or by any means, electronic or mechanical, including
photocopying, recording or by any information storage retrieval system, without permission from Pearson Education, Inc.
Portuguese language edition published by Bookman Companhia Editora Ltda., a Division of Artmed Editora S.A., Copyright © 2008
Tradução autorizada a partir do original em língua inglesa da obra intitulada THE FEYNMAN LECTURES ON PHYSICS,
THE DEFINITIVE AND EXTENDED EDITION, 2ª EDIÇÃO de autoria de FEYNMAN, RICHARD P.; LEIGHTON,
ROBERT B.; SANDS, MATTHEW; publicado por Pearson Education, Inc., sob o selo de Benjamin Cummings, Copyright ©
2006. Todos os direitos reservados. Este livro não poderá ser reproduzido nem em parte nem na íntegra, nem ter partes ou sua
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A edição em língua portuguesa desta obra é publicada por Bookman Companhia Editora Ltda., uma divisão da Artmed Editora
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IMPRESSO NO BRASIL
PRINTED IN BRAZIL
Sobre Richard Feynman
Nascido em 1918 no Brooklyn, Nova York, Richard P. Feynman recebeu seu Ph.D.
de Princeton em 1942. Apesar de jovem, desempenhou um importante papel no Pro-
jeto Manhattan, em Los Alamos, durante a Segunda Guerra Mundial. Posteriormente,
lecionou em Cornell e no California Institute of Technology. Em 1965, recebeu o
Prêmio Nobel de Física, junto com Sin-Itero Tomanaga e Julian Schwinger, por seu
trabalho na área da eletrodinâmica quântica.
Feynman conquistou o Prêmio Nobel por resolver com sucesso problemas rela-
cionados à teoria da eletrodinâmica quântica. Além disso, criou uma teoria matemática
que explica o fenômeno da superfl uidez no hélio líquido. A partir daí, com Murray
Gell-Mann, realizou um trabalho fundamental na área de interações fracas, tais como
o decaimento beta. Em anos posteriores, desempenhou um papel-chave no desenvolvi-
mento da teoria dos quarks, ao elaborar seu modelo de processos de colisão de prótons
de alta energia.
Além desses feitos, Feynman introduziu no universo da física técnicas com-
putacionais e notações novas e básicas, sobretudo os onipresentes diagramas de
Feynman, que, talvez mais que qualquer outro formalismo na história científi ca re-
cente, mudaram a maneira como os processos físicos básicos são conceitualizados
e calculados.
Feynman foi um educador notadamente efi caz. De todos os seus numerosos prê-
mios, orgulhava-se especialmente da Medalha Orsted de Ensino, que ganhou em
1972. As Lições de Física de Feynman, originalmente publicado em 1963, foi descri-
to por um resenhista da Scientifi c American como “difícil, mas nutritivo e cheio de
sabor. Passados 25 anos, é ainda o guia para os professores e os melhores estudantes
principiantes”. Procurando facilitar a compreensão da física entre o público leigo,
Feynman escreveu The Character of Physical Law e Q.E.D.: The Strange Theory
of Light and Matter. Ademais, foi autor de uma série de publicações avançadas que
se tornaram uma referência clássica e de livros-texto destinados a pesquisadores e
estudantes.
Richard Feynman foi um homem público dotado de espírito construtivo. Seu tra-
balho na comissão do Challenger é notório, especialmente sua famosa demonstração
da suscetibilidade dos O-rings ao frio, uma elegante experiência que exigiu nada mais
que um copo com água gelada. Menos conhecidos foram seus esforços no California
State Curriculum Committee, na década de 1960, onde protestou contra a mediocrida-
de dos livros-texto.
Uma exposição de suas inumeráveis realizações científi cas e educacionais não
capta adequadamente a essência do homem. Como sabe qualquer leitor até mesmo
de suas publicações mais técnicas, a personalidade viva e multifacetada de Feynman
brilha através de sua obra. Além de físico, foi por vezes restaurador de rádios, colecio-
nador de cadeados, artista, dançarino, tocador de bongô e mesmo decifrador de hieró-
glifos maias. Eternamente curioso de seu mundo, foi um empírico exemplar.
Richard Feynman morreu em 15 de fevereiro de 1988, em Los Angeles.
Prefácio à Edição Definitiva
Mais de 40 anos se passaram desde que Richard Feynman ministrou o curso de in-
trodução à física que deu origem a estes três volumes, Lições de Física de Feynman.
Nessas quatro décadas, nossa compreensão do mundo físico mudou signifi cativamen-
te, mas as Lições de Feynman sobreviveram. Graças aos insights sobre física e à pe-
dagogia singulares de Feynman, elas permanecem hoje tão vigorosas quanto o foram
em sua primeira publicação. De fato, as Lições têm sido estudadas no mundo inteiro
tanto por físicos principiantes quanto experientes e foram vertidas para no mínimo
12 línguas, com 1,5 milhão de exemplares impressos só no idioma inglês. Possivel-
mente nenhuma outra coleção de livros de física tenha exercido impacto tão grande
e duradouro.
Esta Edição Defi nitiva das Lições de Física de Feynman difere das anteriores
sob dois aspectos: todos os erros conhecidos foram corrigidos e com ela está sendo
publicado um quarto volume inédito, Dicas de Física de Feynman. Esse suplemen-
to contém materiais adicionais do curso de Feynman: três palestras sobre solução
de problemas e uma quarta dedicada à orientação inercial, além de exercícios e res-
postas preparados pelos colegas de Feynman Robert B. Leighton e Rochus Vogt.
Como Nasceu esta Edição
Os três volumes originais de As Lições de Feynman foram produzidos com extrema
rapidez por Feynman e seus co-autores, Robert B. Leighton e Matthew Sands, traba-
lhando a partir de gravações de áudio e ampliando fotos dos quadros-negros usados
por Feynman em suas palestras de 1961-631. Inevitavelmente, os erros foram surgin-
do. Nos anos subseqüentes, Feynman acumulou longas listas de reclamações nesse
sentido – erros identifi cados por estudantes e professores do Caltech, bem como por
leitores do mundo todo. Nos anos 1960 e início dos 1970, ele reservou um tempo de
sua vida intensa para verifi car a maior parte dos equívocos alegados dos Volumes I e
II, corrigindo-os nas impressões subseqüentes. Entretanto, seu senso de dever jamais
superou o prazer das novas descobertas a ponto de fazê-lo reparar os erros do Volu-
me III2. Assim, após sua morte prematura, em 1988, listas de erros que não haviam
sido verifi cados foram depositadas nos arquivos do Caltech, onde permaneceram
esquecidas.
Em 2002, Ralph Leighton (fi lho do falecido Robert Leighton e compatriota de
Feynman) informou-me desses antigos erros e de uma nova lista compilada por seu
amigo Michael Gottlieb. Leighton propôs ao Caltech que produzisse a Edição Defi ni-
tiva das Lições de Feynman com todos os erros corrigidos e a publicasse juntamente
com o volume suplementar que ele e Gottlieb preparavam. Além disso, procurou meu
auxílio para certifi car-se de que não havia erros de física na transcrição editada por
Gottlieb das quatro palestras do Dicas de Física e para obter o consentimento do Calte-
ch para sua publicação ofi cial juntamente com esta Edição Defi nitiva dos três volumes
originais.
Richard Feynman foi meu herói e amigo íntimo. Tão logo deparei com as listas de
erros e o conteúdo do Dicas, prontamente concordei em ajudar. Por sorte eu conhecia
a pessoa ideal para examiná-los: o Dr. Michael Hartl.
Hartl concluíra recentemente seu Ph.D. em física no Caltech, onde obtivera o
“prêmio de realização vitalícia por excelência em ensino” jamais concedido a um es-
tudante de pós-graduação do Caltech por nossos alunos de graduação. Hartl, um pro-
fundo conhecedor de física, está entre os físicos mais meticulosos que já conheci e, a
exemplo de Feynman, é um notável pedagogo.
1 Para descrições sobre a gênese das palestras de Feynman e destes três volumes, ver o Prefácio Espe-
cial, o Prefácio de Feynman e a Apresentação contidos neste volume e nos que o acompanham, além
da seção Memória, de Matt Sands, no Dicas de Física.
2 Em 1975, Feynman pôs-se a checar os erros do Volume III, mas acabou se distraindo com outras
coisas e jamais concluiu a tarefa, de modo que nenhuma correção foi feita.
viii
Então fechamos negócio: Ralph Leighton e Michael Gottlieb prepararam o Di-
cas de Física (e o fi zeram admiravelmente bem), com a autorização dos fi lhos de
Feynman Carl e Michelle, a quem pertencem as quatro conferências do Suplemento,
bem como de Rochus Vogt e do próprio Leighton para seus exercícios e respostas.
Leighton, Gottlieb e os Feynman cederam-me autoridade fi nal sobre o conteúdo do
Suplemento. O Caltech (isto é, Tom Tombrello, Cátedra de Física, Matemática e As-
tronomia) concedeu-me permissão de supervisionar a nova Edição Defi nitiva dos três
volumes originais, em companhia da qual consentiu que o Suplemento fosse publicado.
Ademais, todos concordaram que Michael Hartl atuaria em meu nome, examinando
cuidadosamente os erros da Edição Defi nitiva e editando o conteúdo de física e o estilo
do Suplemento. Quanto a mim, caberia fazer uma rápida checagem do trabalho de
Hartl e aprovar a versão fi nal dos quatro volumes, enquanto a editora Addison-Wesley
concluiria o projeto.
Para minha satisfação, tudo fl uiu tranqüilamente! Feynman fi caria satisfeito e or-
gulhoso do resultado, não tenho dúvida.
A Errata
A errata corrigida nesta edição provém de três fontes: cerca de 80%, de Michael Got-
tlieb; outra grande parte, de uma lista elaborada por um estudante anônimo e submeti-
da a Feynman, no início da década de 1970, por intermédio da editora; e o restante, de
pequenas listas dispersas entregues a Feynman ou a nós por vários leitores.
Os erros corrigidos são basicamente de três tipos: (i) erros tipográfi cos contidos no
texto; (ii) aproximadamente 150 erros tipográfi cos e matemáticos em equações, tabelas
e fi guras – erros de sinal, números incorretos (p. ex., 5 em lugar de 4) e ausência, nas
equações, de subscritos, sinais de adição, parênteses e termos; (iii) aproximadamente
50 referências cruzadas incorretas a capítulos, tabelas e fi guras. Erros dessa espécie,
embora não sejam graves para um físico experiente, podem frustrar e confundir os
estudantes, público que Feynman pretendia atingir.
É incrível que a errata incluísse apenas dois erros de física: no Volume I, página
45-4, agora se lê “Quando um elástico é esticado, sua temperatura aumenta”, e não
“diminui”, como escrito nas edições anteriores; e no Volume II, página 5-9, agora se lê
“... nenhuma distribuição estática de cargas dentro de um condutor aterrado fechado
é capaz de produzir quaisquer campos [elétricos] do lado de fora” (a palavra aterra-
do fora omitida nas edições anteriores). Esse segundo erro foi apontado a Feynman
por numerosos leitores, entre os quais Beulah Elizabeth Cox, estudante do College of
William and Mary, que se valera dessa passagem equivocada ao prestar um exame. À
Sra. Cox, Feynman escreveu em 19753: “Seu professor acertou em não lhe dar nenhum
ponto, pois sua resposta estava errada, conforme ele demonstrou usando a lei de Gauss.
Em ciência, devemos acreditar na lógica e em argumentos deduzidos cuidadosamente,
não em autoridades. De mais a mais, você leu o livro corretamente e o compreendeu.
Acontece que cometi um erro, de modo que o livro também está errado. Provavelmente
eu pensava numa esfera condutora aterrada, ou então no fato de que deslocar as cargas
em diferentes locais no lado de dentro não afeta as coisas do lado de fora. Não sei ao
certo como, mas cometi um erro crasso. E você também, por ter acreditado em mim”.
Feynman estava desconfortavelmente ciente desse e de outros equívocos. Em
correspondência à editora em 1975, ele menciona “erros de física nos Volumes II e
III que são mais que apenas tipográfi cos”. Não conheço os outros erros. Encontrá-los
será um desafi o para os futuros leitores! Em vista disso, Michael Gottlieb está crian-
do um website, www.feynmanlectures.info, no qual serão listados todos os equívocos
corrigidos desta Edição, juntamente com outros encontrados por futuros leitores.
1 Páginas 288-289 de Perfectly Reasonable Deviations from the Beaten Track, The Letters of Richard
P. Feynman, ed. Michelle Feynman (Basic Books, New York, 2005).
ix
O Suplemento
As Dicas de Física de Feynman é o fascinante quarto volume desta coleção. Seu desta-
que está nas quatro palestras mencionadas por Feynman em seu Prefácio aos volumes
originais: “Embora no primeiro ano eu tenha dedicado três palestras sobre como resol-
ver problemas, elas não estão incluídas aqui”, escreveu ele. “Além disso, havia uma
conferência sobre orientação inercial que certamente aconteceu após a palestra sobre
sistemas rotacionais, mas que, infelizmente, foi omitida”.
Michael Gottlieb preparou a versão escrita dessas quatro palestras contidas no
Suplemento, trabalhando com Ralph Leighton a partir de gravações de áudio das apre-
sentações de Feynman, bem como de fotografi as dos quadros-negros por ele utiliza-
dos, de maneira muito semelhante à que o pai de Ralph e Matthew Sands haviam
preparado os três volumes originais 40 anos antes, mas sem a pressão do tempo. A
única coisa que faltou foi o próprio Feynman examinar o manuscrito. Matthew Sands
desempenhou esse papel, dando a Gottlieb respostas e conselhos, e depois Hartl e eu
procedemos à avaliação fi nal. Felizmente, Gottlieb transpos as quatro palestras para
as páginas escritas de tal forma excelente que nossa tarefa acabou sendo fácil. Essas
quatro “novas” palestras são um prazer de ler, especialmente as passagens em que
Feynman aconselha os leitores sobre como lidar com a situação de ocuparem a metade
do fundo da classe.
As “novas” conferências são acompanhadas, no Suplemento, pela igualmente pra-
zerosa seção Memória, escrita por Matthew Sands – reminiscências, 43 anos depois, da
gênese e da criação de As Lições de Feynman –, e por um seleto conjunto de problemas
e respostas, preparados em meados da década de 1960 por Robert Leighton e Rochus
Vogt para acompanhamento de As Lições de Feynman. Vários de meus colegas físicos
que superaram esses problemas como estudantes do Caltech relatam-me o quanto eles
são primorosos e úteis.
A Estrutura desta Edição
Esta Edição Defi nitiva começa com um material introdutório, paginado em algarismos
romanos, que foi criado em “tempos modernos”, muito tempo depois da publicação
da Primeira Edição; constitui-se deste Prefácio, de uma breve Biografi a de Feynman
e de um Prefácio Especial escrito em 1989, por Gerry Neugebauer (que participou da
preparação dos três volumes originais) e David Goodstein (criador do curso e da série
de fi lmes The Mechanical Universe). O material subseqüente, paginado em algarismos
arábicos (1, 2, 3...), é idêntico à Primeira Edição original, exceto pela correção da
errata.
Recordações das Palestras de Feynman
Estes três volumes constituem um completo e independente tratado pedagógico. Cons-
tituem também um registro histórico das palestras proferidas por Feynman no período
de 1961 a 1963, curso exigido a todos os calouros e secundaristas do Caltech, indepen-
dentemente de suas especializações.
Os leitores talvez se perguntem, como eu mesmo faço, de que modo as pales-
tras de Feynman afetavam os estudantes. Feynman, em seu Prefácio a estes volumes,
apresenta uma visão um tanto negativa: “Não acho que tenha me saído bem com os
estudantes”. Goodstein e Neugebauer, em seu Prefácio Especial de 1989, expressam
uma visão confusa, enquanto Sands, em sua “Memória” constante do novo Suplemen-
to, manifesta uma opinião bem mais otimista. Por curiosidade, na primavera de 2005
enviei e-mails ou conversei com um grupo quase aleatório de 17 estudantes (de cerca
de 150) daquela classe de 1961-63 – alguns que enfrentaram enormes difi culdades com
as aulas e outros que as superaram com facilidade; especialistas em biologia, química,
engenharia, geologia, matemática e astronomia, assim como em física.
É possível que os anos intervenientes tenham revestido suas lembranças com
matizes de euforia, mas a verdade é que quase 80% deles recordam as palestras de
x
Feynman como o ponto alto de seus anos acadêmicos. “Era como ir à igreja.” As pa-
lestras eram “uma experiência transformacional”, “a experiência de uma vida, prova-
velmente a coisa mais importante que recebi do Caltech”. “Minha especialização era
em biologia, mas as palestras de Feynman sobressaíram como o ponto alto de minha
experiência como estudante de graduação... embora eu deva admitir que naquela épo-
ca eu não conseguia fazer o dever de casa e mal conseguia entender alguma coisa.”
“Eu estava entre os estudantes menos promissores do curso, mas mesmo assim jamais
perdia uma palestra... Lembro e ainda posso sentir a alegria da descoberta no rosto
de Feynman... Suas palestras tinham um... impacto emocional que provavelmente se
perdeu na versão impressa.”
Em contrapartida, vários estudantes guardam lembranças negativas, devido em
grande parte a duas questões: (i) “Não se podia aprender a fazer o dever de casa sim-
plesmente freqüentando as palestras. Feynman era muito engenhoso – conhecia os
truques e as aproximações que podiam ser feitas, além de ter uma intuição baseada
na experiência e um gênio que um aluno principiante não possui”. Feynman e seus
colegas, cientes dessa falha no curso, enfrentaram-na em parte com os materiais hoje
incorporados ao Suplemento: os problemas e as repostas de Leighton e Vogt e as pales-
tras de Feynman dedicadas à solução de problemas. (ii) “A insegurança de não saber o
que seria discutido na palestra seguinte, a falta de um livro-texto ou de uma referência
que estabelecesse alguma ligação com o material preletivo e nossa conseqüente inca-
pacidade de avançar na leitura eram extremamente frustrantes... No auditório, as pa-
lestras me pareciam estimulantes e compreensíveis, mas fora dali [quando eu tentava
remontar os detalhes] eram sânscrito”. Esse problema foi, evidentemente, solucionado
por estes três volumes, a versão escrita de As Lições de Física de Feynman. Eles passa-
ram a ser o livro-texto com o qual os alunos do Caltech estudariam a partir daí, e hoje
sobrevivem como um dos maiores legados de Feynman.
Agradecimentos
Esta Edição Defi nitiva das Lições de Física de Feynman não teria sido possível sem o
impulso inicial de Ralph Leighton e Michael Gottlieb, bem como o notável trabalho de
Michael Hartl com a errata. Agradeço a Gottlieb e aos leitores anônimos pelas listas
de erros nas quais foram baseadas as correções e também a Tom Tombrello, Rochus
Vogt, Gerry Neugebauer, James Hartle, Carl e Michelle Feynman e Adam Black por
seu apoio, sábios conselhos e contribuição para este esforço.
Kip S. Thorne
Professor Feynman de Física Teórica
California Institute of Technology
Maio de 2005
As Lições de Física de Feynman
Prefácio Especial
Perto do fi m da vida, a fama de Richard Feynman transcendera as fronteiras da comu-
nidade científi ca. Suas proezas como integrante da comissão encarregada de investigar
as causas do desastre do ônibus espacial Challenger lhe renderam ampla exposição;
da mesma forma que um best-seller sobre suas aventuras picarescas transformou-o
num herói folclórico quase das proporções de Albert Einstein. Mas já em 1961, antes
mesmo que o Prêmio Nobel lhe aumentasse a visibilidade junto ao grande público,
Feynman era mais que simplesmente famoso entre os membros da comunidade cien-
tífi ca – era uma fi gura lendária. Não há dúvida de que o extraordinário poder de seu
ensino contribuiu para disseminar e enriquecer a lenda de Richard Feynman.
Feynman foi de fato um grande professor, talvez o maior de sua era e da nossa.
Para ele, o auditório era um teatro e o palestrante, um ator, responsável por oferecer
à platéia tanto drama e arrebatamento quanto fatos e números. Andando de lá para cá
diante da classe, os braços agitados, ele era “a combinação impossível do físico teórico
e do pregoeiro circense, todo movimento corporal e efeitos sonoros”, escreveu The
New York Times. Quer se dirigisse a uma platéia de estudantes e colegas, quer ao públi-
co em geral, o fato é que para os bastante afortunados em assistir em pessoa a uma de
suas palestras a experiência costumava ser nada convencional e sempre inesquecível,
como o próprio homem.
Feynman era o mestre da grande arte dramática, especialista em prender a atenção do
público de qualquer auditório. Muitos anos atrás, ele ministrou um curso sobre mecânica
quântica avançada para uma ampla classe composta de uns poucos estudantes de pós-
graduação inscritos e, na maior parte, de professores de física do Caltech. Durante uma
palestra, ele se pôs a explicar como representar certas integrais complexas diagramatica-
mente: tempo neste eixo, espaço naquele, linha ondulada para esta linha reta, etc. Após
descrever o que o mundo da física conhece como diagrama de Feynman, voltou-se para a
classe e, sorrindo maliciosamente, anunciou: “E isto aqui é chamado O diagrama!” Feyn-
man chegara ao desfecho, e o auditório prorrompeu em aplausos espontâneos.
Por muitos anos depois de proferidas as palestras que redundaram neste livro, Feyn-
man atuou ocasionalmente como conferencista convidado do curso de introdução à físi-
ca do Caltech. Naturalmente, a fi m de que houvesse lugar no auditório para os estudantes
inscritos, suas aparições tinham de ser mantidas em sigilo. Em uma dessas palestras, o
tema era o espaço-tempo curvo, e Feynman foi caracteristicamente brilhante. Mas o mo-
mento mais inesquecível se deu no início da conferência: a supernova de 1987 acabara
de ser descoberta, e por conta disso Feynman mostrava enorme entusiasmo. Disse ele:
“Tycho Brahe teve sua supernova, e Kepler, a sua. Depois disso, não houve outra por
400 anos. Mas agora tenho a minha”. A platéia silenciou, e ele prosseguiu: “Existem 1011
estrelas na galáxia. Isso costumava ser um número imenso. Mas são apenas cem bilhões.
Menos do que o defi cit nacional! Costumávamos chamá-los de números astronômicos.
Agora deveríamos chamá-los de números econômicos”. A classe caiu na gargalhada, e
Feynman, tendo cativado a audiência, seguiu em frente com sua palestra.
Dotes dramáticos à parte, a técnica pedagógica de Feynman era simples. Um resu-
mo de sua fi losofi a de ensino foi encontrado entre seus papéis nos arquivos do Caltech,
em uma nota que rabiscara para si mesmo quando de sua estada no Brasil, em 1952: