Les algèbres de Hopf des arbres enracinés décorés [PhD thesis]

186 Pages·2002·1.05 MB·French

by  Loïc Foissy

UNIVERSITE DE REIMS CHAMPAGNE ARDENNE
UFR SCIENCES EXACTES ET NATURELLES
THESE
pour obtenir le grade de
DOCTEUR DE L’UNIVERSITE DE REIMS CHAMPAGNE ARDENNE
Discipline : Math´ematiques
pr´esent´ee et soutenue publiquement
par
M. Lo¨ıc Foissy
le 25 juin 2002
Titre :
Les alg`ebres de Hopf des arbres
enracin´es d´ecor´es
Directeur de th`ese :
M. Jacques Alev
JURY
M. G. Cauchon Professeur `a l’Universit´e de Reims examinateur
M. B. Keller Professeur `a l’Universit´e de Paris VII rapporteur
M. D. Kreimer Directeur de Recherche au CNRS rapporteur
M. T. Levasseur Professeur `a l’Universit´e de Brest rapporteur
Mme M. P. Malliavin Professeur `a l’Universit´e de Paris VI pr´esidente du jury
M. J. Alev Professeur `a l’Universit´e de Reims directeur de th`ese
Remerciements
Je tiens `a remercier toutes les personnes qui, d’une mani`ere ou d’une autre, ont aid´e
`a la r´ealisation de cette th`ese.
En premier lieu, je remercie M. Jacques Alev pour ses conseils´eclair´es, sa disponibilit´e
et le pr´ecieux soutien qu’il m’a apport´e tout au long de ces trois ann´ees.
Je tiens´egalement `a adresser mes plus sinc`eres remerciements `a M. Keller, M. Kreimer
et M. Levasseur pour avoir accept´e la lourde tˆache de rapporteur. Leurs suggestions, leurs
conseils et leurs remarques m’ont ´et´e tr`es utiles.
Je remercie mes examinateurs, Mme Malliavin et M. Cauchon, pour l’int´erˆet dont ils
ont fait preuve pour ma th`ese.
Je remercie enfin mes coll`egues doctorants, pour leur soutien et leur pr´esence, ainsi
que tous les membres du d´epartement pour m’avoir acceuilli dans ce laboratoire.
Table des mati`eres
1 Dual gradu´e d’une alg`ebre de Hopf 6
1.1 Dual gradu´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.1 Cas d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.2 Cas d’une alg`ebre de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.3 Cas des alg`ebres enveloppantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.2 R´esultats sur les cog`ebres et les alg`ebres de Hopf gradu´ees . . . . . . . . . . . . . 10
1.2.1 Filtration par deg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
p
1.2.2 Cas d’une alg`ebre de Hopf gradu´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3 Alg`ebres de Hopf gradu´ees cocommutatives ou commutatives . . . . . . . 14
1.3 El´ements primitifs d’une alg`ebre de Hopf gradu´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1 El´ements sym´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.2 Cog`ebre de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.3.3 Les cas cocommutatifs ou commutatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.4 Cas g´en´eral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.4.2 Cas d’une big`ebre gradu´ee . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Modules et comodules d’une alg`ebre de Hopf gradu´ee 25
2.1 Dualit´e modules-comodules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.1 Dual d’un C-comodule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.1.2 Dual d’un A-module . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.3 Bidualit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.4 Un exemple d’application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2 Th´eor`eme de structure des comodules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.1 Comodules injectifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.2.2 Structure des comodules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2.3 Structure des bicomodules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 Comodules de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.1 Pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.3.2 G´eom´etrie des vari´et´es de comodules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.3.3 Type d’un comodule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4 Cohomologie de Hochschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4.1 Rappels dans le cas d’une alg`ebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.4.2 Cas d’une cog`ebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3 Alg`ebre HD : construction et auto-dualit´e 43
P,R
3.1 Construction et propri´et´e universelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.1.2 Graduation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.3 Propri´et´e universelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.2 Dual gradu´e de HD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
P,R
1
3.2.1 Construction de la forme bilin´eaire (,) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.2.2 L’alg`ebre de Lie Prim(HD ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
P,R
3.2.3 Une formule close pour les e , l ´echelle dans H . . . . . . . . . . . . . . 54
l P,R
3.3 Relation d’ordre sur FD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
P,R
3.3.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.2 Application `a la forme bilin´eaire (,) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.3.3 Cas ou` l’ensemble des d´ecorations D est infini . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4 Relations d’ordre sur les sommets d’une forˆet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.4.1 D´efinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4.2 Expression combinatoire de (F,G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
3.4.3 Relations d’ordre totales sur les sommets de F . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.4.4 Application au calcul de l’antipode et de son inverse . . . . . . . . . . . . 63
3.5 Alg`ebres de Hopf d’arbres enracin´es associ´ees `a un espace vectoriel . . . . . . . . 65
3.5.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.5.2 Fonctorialit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.5.3 Dualit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.6 Applications des r´esultats aux alg`ebres de Hopf HD . . . . . . . . . . . . . . . . 70
R
3.6.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.6.2 Liens avec HD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
P,R
3.6.3 Primitifs de HD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
R
3.6.4 Dual gradu´e de HD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
R
3.6.5 La sous-alg`ebre HD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
ladders
4 Etude alg´ebrique de HD 79
P,R
4.1 Cog`ebre tensorielle d’un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.1 Construction et caract´erisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.2 Cas des alg`ebres de Hopf HD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
R
4.1.3 Cas de l’ab´elianis´ee de HD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
P,R
4.1.4 Bigraduation de T(V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2 Endomorphismes de HD (et de HD) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
P,R R
4.2.1 Endomorphismes de cog`ebre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.2.2 Endomorphismes de big`ebre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.3 Cohomologie de Hochschild de HD et HD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
P,R R
4.3.1 Pr´eliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.3.2 Cas de HD et de HD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
P,R R
4.4 Groupes de caract`eres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.4.1 Groupe des caract`eres de HD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
P,R
4.4.2 Groupe des caract`eres de HD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
R
4.5 Compl´ements sur les cog`ebres T(V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.5.1 Existence d’un antipode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
4.5.2 1-cocycles de T(V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.5.3 Produit de battage ∗ sur T(V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.5.4 Propri´et´es de (T(V),∗,1,∆,ε,S ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
∗
4.5.5 Filtration par deg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
p
4.5.6 Produits commutatifs sur T(V) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.5.7 Applications aux alg`ebres HD et HD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
P,R R
5 Comodules de dimension finie sur HD 107
P,R
5.1 Param´etrisation et classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1.1 Construction et param´etrisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
5.1.2 Classification . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.2 G´eom´etrie des vari´et´es de comodules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
2
5.2.1 Orbites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.2.2 Dual d’un comodule et double type d’un comodule . . . . . . . . . . . . . 113
5.2.3 Nombre de doubles types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5.3 Description de quelques C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
(c0,...,ck)
5.3.1 Comodules de type (1,n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.3.2 Comodules de type (n,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.3.3 Comodules de type (1,1,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
6 Quelques autres alg`ebres d’arbres 127
6.1 Alg`ebre de Brouder et Frabetti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.1.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
6.1.2 Alg`ebre de Hopf H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
Fr
6.1.3 Isomorphisme entre H et H∗g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
P,R Fr
6.2 Sous-alg`ebre des diff´eomorphismes formels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.2.1 Rappels et compl´ements sur l’alg`ebre de Hopf H . . . . . . . . . . . . 133
CM
6.2.2 Angles, greffes et coupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
6.2.3 Construction de la sous-alg`ebre H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138
6.2.4 Isomorphisme entre (H,∆ ) et (H,∆) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Fr
6.2.5 El´ements primitifs de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
6.2.6 Groupe des caract`eres de l’alg`ebre des diff´eomorphismes formels . . . . . 144
6.3 D´eformations de H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
P,R
6.3.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.3.2 Couplage entre H et H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
q P,R
6.3.3 Propri´et´es des P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
n
6.4 Structure dendriforme sur HD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
P,R
6.4.1 Rappels et compl´ements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
6.4.2 Angles et greffes g´en´eralis´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
6.4.3 Alg`ebre des arbres binaires planaires de Loday . . . . . . . . . . . . . . . 158
6.4.4 Quotients dendriformes de HD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
P,R
6.5 Alg`ebres de Grossman-Larson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.5.1 Pr´esentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
6.5.2 Isomorphisme avec (HD)∗g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
R
6.5.3 Lien avec les alg`ebres pr´e-Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
6.6 Applications combinatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.6.1 Factorielles d’arbres enracin´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
6.6.2 Coefficients de Connes-Moscovici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
7 Appendice 171
7.1 Coproduit dans H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
P,R
7.2 Antipode dans H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
P,R
7.3 Valeurs des τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
k
7.4 Dimensions des composantes homog`enes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
7.5 Forme bilin´eaire (,) dans H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
P,R
7.6 El´ements primitifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
7.6.1 El´ements primitifs de poids ≤ 5 dans H . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
P,R
7.6.2 El´ements primitifs de poids ≤ 5 dans (H ) . . . . . . . . . . . . . . . 181
P,R ab
7.6.3 El´ements primitifs de poids ≤ 5 dans H . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182
R
Bibliographie 183
3
Introduction
Dans [9, 22, 24, 25], Connes et Kreimer introduisent une alg`ebre de Hopf des arbres
enracin´es (´eventuellement d´ecor´es) HD dans le but d’´etudier un probl`eme de renormalisation.
R
Cette alg`ebre de Hopf est gradu´ee, commutative, non cocommutative. Elle v´erifie de plus une
propri´et´e universelle en cohomologie de Hochschild. On montre que le dual gradu´e de cette
alg`ebre de Hopf est l’alg`ebre enveloppante de l’alg`ebre de Lie des arbres enracin´es LD. L’un
1
des probl`emes pos´es par Kreimer dans [4] est de trouver tous les primitifs de HD. En effet, ils
R
permettent par exemple de construire et de classifier les comodules de dimension finie ou les
endomorphismes d’alg`ebre de Hopf de HD (voir [14]).
R
Comme il ´etait sugg´er´e dans [9], nous introduisons ici une alg`ebre de Hopf des arbres enra-
cin´es plans HD , g´en´eralisant la construction de HD. Cette alg`ebre de Hopf est gradu´ee, non
P,R R
commutative, non cocommutative et v´erifie une propri´et´e universelle en cohomologie de Hoch-
schild. Nous montrons que cette alg`ebre est auto-duale. Cette propri´et´e entraˆıne l’existence d’un
couplage de Hopf non d´eg´en´er´e (,) entre HD et elle-mˆeme; en particulier, la base duale de la
P,R
base des forˆets permet de trouver une base de l’espace des primitifs de HD , puis de trouver
P,R
tous les primitifs de HD par passage au quotient.
R
Nous´etablissons´egalement le lien entre HD et d’autres alg`ebres de Hopf d’arbres telles que
P,R
l’alg`ebre des arbres binaires planaires introduites par Brouder et Frabetti dans [6] dans le cadre
de l’´electrodynamique quantique, l’alg`ebre dendriforme libre de Loday et Ronco ([26, 31, 30]), la
quantification de H de Moerdijk et van der Laan ([33, 28]), ou l’alg`ebre de Grossman-Larson
P,R
([17, 16]). Nous consid´erons ´egalement la cohomologie de Hochschild de HD et montrons que
P,R
pour tout bicomodule B, Hn(HD ,B) = (0) si n ≥ 2.
∗ P,R
Les deux premiers chapitres sont consacr´es `a des r´esultats g´en´eraux sur les alg`ebres de
Hopf gradu´ees. Nous pr´ecisons tout d’abord la notion de dual gradu´e, que nous utilisons pour
d´emontrerleth´eor`emedeCartier-Milnor-Moore-Quillen(th´eor`eme17).Nous´etablissonsensuite
desliensentrel’alg`ebredeLiedesprimitifsd’unealg`ebredeHopfgradu´eeconnexeA,sacog`ebre
de Lie, et l’alg`ebre de Lie des primitifs de son ab´elianis´ee A .
ab
Nous´etudions´egalementlesliensentrelacat´egorieCMdescomodulesd’unecog`ebregradu´ee
C etlacat´egorie Mdesmodulessurl’alg`ebreA = C∗g;enparticulier,nousmontronsl’existence
A
de deux foncteurs ∗ : CM −→ M et ∗g : M −→ CM tels que (∗g)◦(∗) soit naturellement
A A
´equivalent au foncteur identit´e. Nous utilisons ce r´esultat pour donner un th´eor`eme de structure
sur les C-comodules (proposition 52), et pour d´efinir le type d’un C-comodule de dimension finie.
Le chapitre 3 est d´evolu `a la construction de HD et `a la propri´et´e d’auto-dualit´e. Nous
P,R
montrons que HD v´erifie une propri´et´e universelle en cohomologie de Hochschild, que nous
P,R
utiliserons pour construire le couplage (,). Nous montrons que la base duale (e ) de la base des
F
forˆets est une Z-base du sous-anneau de HD engendr´e par les arbres plans enracin´es, et nous
P,R
donnons une expression combinatoire de (F,G) pour F,G deux forˆets. De plus, nous explicitons
la relation entre HD et HD. Nous montrons que la surjection canonique Φ : HD −→ HD
P,R R P,R R
v´erifie Φ(Prim(HD )) = Prim(HD) et nous donnons une description du dual gradu´e de HD
P,R R R
comme sous-alg`ebre de HD .
P,R
Dans le chapitre 4, nous montrons que HD , (HD ) et HD sont des cog`ebres tensorielles;
P,R P,R ab R
ceci nous permet de construire et classifier les endomorphismes de cog`ebre et d’alg`ebre de Hopf
de HD . De plus, nous montrons que les groupes de cohomologie de Hochschild H∗(HD ,B)
P,R n P,R
introduite dans [9] sont nuls pour tout bicomodule B si n ≥ 2. Nous d´emontrons ´egalement
plusieurs r´esultats sur les cog`ebres tensorielles; appliqu´es `a H , ils permettent de retrouver les
R
r´esultatsde[25]etdemontrerquelesalg`ebresdeHopfdesarbresd´ecor´esparunensembleD fini
oud´enombrable(voir[24])sonttoutesisomorphes.Nousmontrons´egalementquelesalg`ebresde
LieL etPrim(H )sontdesalg`ebresdeLielibres,etnousd´ecrivonslesgroupesdecaract`eres
1 P,R
de HD et H .
P,R R
4
Le chapitre 5 est consacr´e aux HD -comodules de dimension finie. Nous les construisons et
P,R
les param´etrons par certaines familles d’´el´ements primitifs de HD , puis nous les classifions `a
P,R
l’aide d’actions de certains groupes paraboliques. Nous mettons en ´evidence une stratification
de la vari´et´e des comodules de dimension n +1 en utilisant les notions de type et de double
type, et nous d´ecrivons l’ensemble des comodules de type (n,1), (1,n) et (1,1,1).
NouscomparonsHD `ad’autresalg`ebresdeHopfd’arbresdanslechapitre6.Lapremi`ereest
P,R
Hγ, alg`ebre de Hopf sur les arbres binaires planaires introduite par Brouder et Frabetti dans [6]
danslecadredel’´electrodynamiquequantique.NousmontronsqueH etHγ sontisomorphes.
P,R
Ladeuxi`emeestlad´eformationH `adeuxparam`etresdeMoerdijketvanderLaan([33,28]).
(q1,q2)
Nous montrons que H est isomorphe `a H lorsque le rapport des deux param`etres n’est
(q1,q2) P,R
pas un entier alg´ebrique. La troisi`eme est l’alg`ebre dendriforme libre H `a un g´en´erateur de
L
Loday et Ronco ([26, 31]). Nous montrons que la base duale (e ) permet de munir H d’une
F P,R
structure dendriforme la rendant isomorphe `a H , cette construction se g´en´eralisant au cas des
L
alg`ebres HD . Nous d´ecrivons ´egalement la structure d’alg`ebre brace induite sur Prim(HD ).
P,R P,R
La derni`ere est l’alg`ebre sur les arbres enracin´es de Grossman-Larson HD ([17, 16]). Nous
GL
montrons qu’elle est isomorphe `a U(LD). Nous en d´eduisons un nouvelle preuve de la formule
1
pour les coefficients de Connes-Moscovici donn´ee dans [23]. De plus, nous construisons une sous-
alg`ebre de H jouant le mˆeme rˆole que la sous-alg`ebre de Connes-Moscovici dans le cas de H
P,R R
(voir [9, 12]). Nous consid´erons pour cela les ´el´ements suivants :
X
v = t.
n
poids(t)=n
Nous montrons qu’ils engendrent une sous-alg`ebre de Hopf de H dont l’ab´elianis´ee est iso-
P,R
morphe `a l’alg`ebre de Connes-Moscovici. Nous utilisons pour ceci la notion d’angle d’un arbre
([7, 21]), et la notion de greffe d’une forˆet sur un arbre. Nous montrons de plus que le groupe
des caract`eres de cette alg`ebre de Hopf est isomorphe au groupe des s´eries formelles de la
X
forme x+ a xn+1 muni de la composition, ce qui justifie l’appellation de sous-alg`ebre des
n
n≥1
diff´eomorphismes formels.
5
Chapitre 1
Dual gradu´e d’une alg`ebre de Hopf
Introduction
Ce chapitre est consacr´e `a l’exposition de r´esultats pr´eliminaires sur les alg`ebres de Hopf
gradu´ees. Les r´esultats des deux premiers paragraphes sont des ´enonc´es classiques ou des adap-
tations de r´esultats classiques pour les alg`ebres de Hopf de dimension finie : voir par exemple
[1, 13, 20, 27, 32]. Dans le premier paragraphe, nous pr´ecisons les notions d’alg`ebre de Hopf
gradu´ee et de dual gradu´e. Le deuxi`eme paragraphe est consacr´ee la filtration par deg d’une
p
alg`ebre de Hopf gradu´ee, notion utilis´ee par Kreimer dans [25]. Nous l’utilisons pour donner
une preuve du th´eor`eme de Cartier-Milnor-Moore-Quillen (th´eor`eme 17), dont nous donnons
´egalement une forme duale (corollaire 19).
Le troisi`eme paragraphe est consacr´e `a de nouveaux r´esultats explorant les relations entre
les ´el´ements primitifs d’une alg`ebre de Hopf, sa cog`ebre de Lie, et les ´el´ements primitifs de son
ab´elianis´ee. En particulier, la proposition 31 sera utilis´ee dans le chapitre 3 pour montrer que
les ´el´ements primitifs de HD se d´eduisent des ´el´ements primitifs de HD .
R P,R
Dans le dernier paragraphe de ce chapitre sont expos´es quelques r´esultats sur l’alg`ebre de
convolution L(A) d’une big`ebre A. En particulier, si A est gradu´ee et connexe, nous donnons
un sens `a certaines s´eries dans L(A), ce qui permet, dans le cas ou` A est cocommutative, de
construireunprojecteursurles´el´ementsprimitifsdeA(proposition36);cedernierr´esultat´etait
d´ej`a d´emontr´e dans [34] de mani`ere tr`es diff´erente. Enfin, nous donnons une version duale de ce
r´esultat (corollaire 37) qui sera utilis´ee dans le chapitre 3 pour d´ecrire les ´el´ements primitifs de
H .
ladders
1.1 Dual gradu´e
1.1.1 Cas d’un espace vectoriel
Soit V un espace vectoriel sur un corps commutatif K. On suppose V muni d’une gra-
duation (Vn)n∈N, telle que dim(Vn) soit finie pour tout n. Pour tout x ∈ V, x 6= 0, on pose
poids(x) = min{n/x ∈ V ⊕...⊕V }.
0 n
On identifie V∗ avec {f ∈ V∗/f(V ) = (0) si k 6= n} ⊆ V∗ et on pose V∗g = LV∗ = {f ∈
n k n
V∗/∃ n ,f(V ) = (0) si n ≥ n }; V∗g est un espace gradu´e, avec (V∗g) = V∗.
0 n 0 n n
Les quatres lemmes suivants sont des adaptations de lemmes classiques pour des espaces de
dimension finie; nous les d´emontrons ici pour la commodit´e du lecteur.
6
Lemme 1 Soit (e ) une base de V form´ee d’´el´ements homog`enes. Pour i ∈ I, on d´efinit
i i∈I
f ∈ V∗ par f (e ) = δ , ou` δ est le symbole de Kronecker. Alors (f ) est une base de V∗g.
i i j i,j i i∈I
Preuve : si e ∈ V , on a f ∈ V∗. Soit J = {j ∈ I/e ∈ V }. Il suffit alors de montrer que
i k i k k j k
(f ) est une base de V∗. Comme V est de dimension finie, c’est imm´ediat. 2
j j∈Jk k k
Lemme 2 Soient V et W deux espaces gradu´es et soit γ : V −→ W, homog`ene de degr´e k ∈ Z.
Alors il existe une unique application γ∗g : W∗g −→ V∗g, telle que :
γ∗g(f)(x) = f(γ(x)) ∀f ∈ W∗g, ∀x ∈ V.
De plus, γ∗g est homog`ene de degr´e −k.
Preuve :
Unicit´e : soit γ∗ : W∗ −→ V∗ la transpos´ee de γ. On a alors γ∗g = γ∗ .
|W∗g
Existence : il faut montrer que γ∗(W∗g) ⊆ V∗g. Soit f ∈ W∗. Soit x ∈ V , i 6= n−k.
n i
γ∗(f)(x) = f(γ(x)) = 0 car γ(x) ∈ W , i+k 6= n. Donc γ∗(W∗) ⊆ V∗ . 2
i+k n n−k
X
On munit V ⊗V d’une graduation donn´ee par (V ⊗V) = V ⊗V .
n k l
k+l=n
Lemme 3 On consid`ere l’application suivante :
θ : V∗g ⊗V∗g −→ (V ⊗V)∗g
V
(cid:26)
V ⊗V −→ K
f ⊗g −→
x⊗y −→ f(x)g(y).
Alors θ est un isomorphisme d’espaces gradu´es.
V
Preuve : classiquement, θ est injectif (voir [20]). Soit f ∈ V∗, g ∈ V∗, x ∈ V , y ∈ V , avec
V m n k l
k+l 6= m+n. θ (f ⊗g)(x⊗y) = f(x)g(y) = 0 car k 6= m ou l 6= n. Donc θ est homog`ene de
V V
degr´e 0. De plus,
X
dim((V∗g ⊗V∗g) ) = dim(V∗)dim(V∗)
n k l
k+l=n
X
= dim(V )dim(V )
k l
k+l=n
= dim((V ⊗V)∗).
n
Donc θ est ´egalement surjectif. 2
V
Soit V un espace gradu´e, et W un sous-espace de V. On dira que W est un sous-espace
+∞
M
gradu´e de V si W = (W ∩V ).
n
n=0
Lemme 4 Soit W un sous-espace gradu´e de V.
1. Soit Wn = W ∩Vn et soit Wn⊥n l’orthogonal de Wn dans la dualit´e entre Vn et Vn∗. Alors
dans la dualit´e entre V et V∗g, on a :
+∞
M
W⊥ = W⊥n.
n=0
2. De plus, W⊥⊥ = W.
Preuve : On a W⊥ = (LWn)⊥ = T(Wn⊥). Or Wn⊥ = Li6=nVi∗ ⊕Wn⊥n, donc W⊥ = LWn⊥n.
Comme Wn⊥n⊥n = Wn, on a les r´esultats annonc´es. 2
7
1.1.2 Cas d’une alg`ebre de Hopf
Soit (A,m,η,∆,ε,S) une alg`ebre de Hopf gradu´ee sur un corps commutatif K, c’est-`a-dire
qu’il existe une graduation (An)n∈N de l’espace vectoriel A, avec :
m(A ⊗A ) ⊆ A , ∀n,m ∈ N, (1.1)
n m n+m
X
∆(A ) ⊆ A ⊗A , ∀n ∈ N. (1.2)
n k l
k+l=n
(C’est-`a-dire que m et ∆ sont homog`enes de degr´e 0).
Th´eor`eme 5 A∗g est muni d’une structure d’alg`ebre de Hopf gradu´ee donn´ee par :
1. ∀f,g ∈ A∗g, ∀x ∈ A, (fg)(x) = (f ⊗g)(∆(x));
2. 1 = ε;
A∗g
3. ∀f ∈ A∗g, ∀x,y ∈ A, ∆(f)(x⊗y) = f(xy);
4. ∀f ∈ A∗g, ε(f) = f(1);
5. ∀f ∈ A∗g, ∀x ∈ A, (S(f))(x) = f(S(x));
6. (A∗g) = A∗.
n n
Preuve : m, η, ∆, ε, S sont homog`enes de degr´e 0 (K ´etant muni de la graduation triviale). En
utilisant les lemmes 2 et 3, on consid`ere :
θ−1
m∗g : A∗g −→ (A⊗A)∗g −A→ A∗g ⊗A∗g ;
η∗g : A∗g −→ K ;
∆∗g : A∗g ⊗A∗g −θ→A (A⊗A)∗g −→ A∗g ;
ε∗g : K −→ A∗g ;
S∗g : A∗g −→ A∗g.
Classiquement, (A∗g,∆∗g,ε∗g,m∗g,η∗g,S∗g) est une alg`ebre de Hopf v´erifiant 1−5 (voir [20]).
Comme ∆∗g et m∗g sont homog`enes de degr´e 0, 6 est v´erifi´ee. 2
On suppose de plus :
(C ) A est connexe, c’est-`a-dire dim(A ) = 1;
1 0
(C ) les A sont de dimension finie.
2 n
L
On a alors A = (1). D’apr`es [2], proposition III.3.5, on a Ker(ε) = A .
0 n≥1 n
Proposition 6 1. (A∗g)∗g et A sont isomorphes comme alg`ebres de Hopf gradu´ees.
2. Soit M l’id´eal d’augmentation de A, c’est-`a-dire M = Ker(ε). Soit Prim(A∗g) = {f ∈
A∗g/∆(f) = 1⊗f +f ⊗1}. Alors dans la dualit´e entre A et A∗g,
Prim(A∗g)⊥ = (1)⊕M2,
(cid:0)(1)⊕M2(cid:1)⊥ = Prim(A∗g).
Preuve :
1. Soit i : A −→ (A∗)∗
n n n
(cid:26) A∗ −→ K
x −→ n
f −→ f(x).
Comme A est de dimension finie, i est un isomorphisme d’espaces vectoriels; par suite,
n n
i : A −→ (A∗g)∗g d´efini par i = i est un isomorphisme d’espaces vectoriels gradu´es. On
|An n
8