Table Of ContentHubert Weber, Helmut Ulrich
Laplace-Transformation
Grundlagen –Fourierreihen und Fourierintegral –Anwendungen
Hubert Weber, Helmut Ulrich
Laplace-Transformation
Grundlagen – Fourierreihen und
Fourierintegral – Anwendungen
8. Auflage
Mit 142 Abbildungen, 72 Beispielen und
64 Aufgaben mit Lösungen
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Prof. Hubert Weber, Fachhochschule Regensburg
Prof. Dr. rer. nat. Helmut Ulrich,Fachhochschule Regensburg
1. Auflage 1976
2. Auflage 1978
3. Auflage 1981
4. Auflage 1984
5. Auflage 1987
6. Auflage 1990
7. Auflage 2003
8. Auflage März 2007
Alle Rechte vorbehalten
© B.G.Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2007
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Druck und buchbinderische Verarbeitung: Strauss Offsetdruck, Mörlenbach
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
Printed in Germany
ISBN 978-3-8351-0140-1
Vorwort
Das vorliegende Buch ist eine leicht zugangliche Einfuhrung in die Laplace
TransformationmitzahlreichenAnwendungen.
Die Laplace-Transformation ist eine Funktionaltransformation, das heiJ3t einer
Funktion fit) des reellen Zeitbereiches wird eine Bildfunktion F(s) einer
komplexen Variablens zugeordnet. Diese Transformation ermoglicht es, den oft
schwierigen Differentiationen und Integrationen des Zeitbereiches einfacher zu
handhabende algebraische Operationen im Bildbereich zuzuordnen. So werden
beispielsweise lineare Differentialgleichungen des Zeitbereiches zu linearen
GleichungendesBildbereiches.
Die Verwendung von Korrespondenzen und Transformationsregeln erOffnen
eineneinfachenWeg, eineBildfunktioninTerme zuzerlegenundgliedweiseauf
die zugehOrigeZeitfunktionzuriickzutransformieren.
Da die L-Transformation eine lineare Transformation ist, stellt sie geradezu ein
ideales Werkzeug dar, urn lineare, zeitinvariante Systeme zu beschreiben und zu
berechnen.
Durch diesen Vorteil erlangte die Laplace-Transformation ihre Bedeutung auf
vielen Gebieten, wie beispielsweise der Elektrotechnik, der Signalverarbeitung,
derInformationstechnikundderRegelungstechnik.
Dieses Buch will an die Prinzipien und Methoden der Laplace-Transformation
heranfiihren. Es ist als Grundlage besonders geeignet fur Studierende
ingenieurwissenschaftlich, technischer Studiengange im Hinblick auf
Anwendungen von RCL- Filterschaltungen, oder die Behandlung von Signalen
undSystemen.
Die Herleitungen sind ausfiihrlich erlautert und wo es moglich war, wurden
graphische Darstellungen zur Veranschaulichung mit eingesetzt. Die groJ3e Zahl
von Beispielen und Aufgaben sollen einen nachhaltigen Lemerfolg bei den
Studierendensichem.
Allen Lesem, die in der letzten Auflage aufDruckfehler hingewiesen haben, sei
herzlichgedankt.
VI Vorwort
Als Koautor fUr diesesBuchistProf. Dr. HelmutUlrichvonderFachhochschule
Regensburg hinzugekommen. Er hat an mehreren Stellen Vorschlage
eingebracht, aber besonders mit Abschnitt 5.5 Erweiterungen im Hinblick auf
SignalverarbeitungundRegelungstechnikhinzugefiigt.
Wir danken dem Teubner Verlag, insbesondere Herrn Dr. Feuchte, fUr die
freundliche Unterstiitzungund dass dieses Buchnun inder 8. Auflage erscheinen
kann.
Regensburg, imJanuar2007 HelmutUlrich
HubertWeber
INHALT
1 FOURIERREffiEN
1.1 EINFUHRUNG 1
1.2 REELLEFOURIERRElliE 2
1.2.1 Grundbegriffe 2
1.2.2 BerechnungderFourierkoeffizienten 3
1.2.3 Amplitudenspektrum 8
1.3 KOMPLEXEFOURIERRElliE 12
1.3.1 Grundlagen 12
1.3.2 BerechnungderkomplexenFourierkoeffizienten 13
2 FOURIERINTEGRAL
2.1 UBERGANGVONDERFOURIERRElliEZUMFOURIERINTEGRAL 17
2.2 EIGENSCHAFTENDESFOURIERINTEGRALS 19
3 FOURIERTRANSFORMAnON
3.1 DEFINITION DER FOURIERTRANSFORMATION 26
3.2 DISKRETE FOURIERTRANSFORMATION(DFT)UNDSCHNELLE
FOURIERTRANSFORMATION(FFT) 29
4 LAPLACE-TRANSFORMATION
4.1 DEFINITIONDERLAPLACE-TRANSFORMATION 30
4.2 INVERSELAPLACE-TRANSFORMATION 34
4.3 TRANSFORMATTONSREGELN 47
4.3.1 Laplace-TransformierteelementarerZeitfunktionen .48
4.3.2 Additionssatz 53
4.3.3 Verschiebungssatz 56
4.3.4 Dirac'scheDeltafunktion 64
4.3.5 Dampfungssatz 69
4.3.6 Partialbruchzerlegungen 72
4.3.7 Pol-Nullstellenplaneinerechtgebrochenrationalen
Bildfunktion 84
4.3.8 Faltungssatz 88
4.3.9 InverseLaplace-TransformationdurchReihenentwicklung
derBildfunktion 91
4.3.10 Integrationssatzfur dieOriginalfunktion 96
4.3.11 Differentiationssatzfur die Originalfunktion l01
4.3.12 Differentiationssatzfur dieverallgemeinerteAbleitung
einerZeitfunktion 104
4.3.13 Grenzwertsatze l08
4.3.14 Differentiationssatzfur dieBildfunktion 111
4.3.15 Integrationssatzfur dieBildfunktion 114
VIII INHALT
5 ANWENDUNGENDERLAPLACE-TRANSFORMATION
5.1 LbsEN VON LINEARENDlFFERENTIALGLEICHUNGEN MIT KONSTANTEN
KOEFFIZIENTEN 118
5.2 LbsEN VON SYSTEMEN GEWbHNLICHER LINEARER DlFFERENTIAL-
GLEICHUNGEN MITKONSTANTENKOEFFIZIENTEN 126
5.3 RCL-NETZWERKE 135
5.4 UBERTRAGUNGSVERHALTEN VON NETZWERKEN 153
5.4.1 Grundbegriffe 153
5.4.2 ImpulsantwortundSprungantwort 154
5.4.3 Ubertragungsfunktion 155
5.4.4 Pol-NullstellenplaneinerUbertragungsfunktion 167
5.4.5 StabilitatvonLTI-Systemen 169
5.4.6 UbertragungsfunktionundFrequenzgang 170
5.4.7 BerechnungdesstationarenAnteilsdesAusgangssignalsbei
nichtsinusfOrmigenperiodischenErregungen 176
5.5 ZUSAMMENSCHALTUMG VON LTI-SYSTEMEN 185
5.5.1 Reihen-Schaltung 185
5.5.2 Parallel-Schaltung 188
5.5.3 Riickgekoppelte Systeme 189
5.5.4 ElementareUbertragungsglieder 191
5.6 ARBEITENMITBLOCKDIAGRAMMEN 194
5.6.1 VonderNetzwerkgleichungzumBlockdiagramm 194
5.6.2 VomBlockdiagrammzurUbertragungsfunktionund
Netzwerkgleichung 196
5.6.3 StabilisierungdurchRiickkopplung 200
5.6.4 VersetzenvonStrukturelementeninBlockschaltbildem 203
6 ANHANG
6.1 LbSUNGEN DERUBUNGSAUFGABEN .
6.2 EIGENSCHAFTEN DER DELTAFUNKTION .
6.3 SATZE DER LAPLACE-TRANSFORMATION .
6.4 KORRESPONDENZEN DER LAPLACE-TRANSFORMATION .
6.5 LITERATUR .
6.6 LISTE DER VERWENDETENFORMELZEICHEN .
6.7 SACHWORTVERZEICHNIS .
1. Fourierreihen
1.1 Einfiihrung
InvielenBereichenderNaturwissenschaftenund derTechniketwainderPhysik
oder in der E1ektrotechnik, haben harmonische Schwingungen, die durch eine
Sinusfunktion
f(t) = Asin(o.1t+qJ) (Ll)
beschriebenwerdenkonnen, einegroBeBedeutung. Hierbei ist A die Amplitude,
OJ die Kreisfrequenz und qJ der Nullphasenwinke1 der harmonischen
Schwingung.
Bei der Uberlagerung derartiger harmonischer Schwingungen sind zwei Falle zu
unterscheiden:
1. Uberlagert man harmonische Schwingungen der gleichen Frequenz, so
erhaltmanwiedereineharmonische SchwingungdieserFrequenz.
Vondieser Tatsachewird inderE1ektrotechnikstandigGebrauchgemacht.
Durch Uberlagerung von sinusfOrmigen Wechse1spannungen der gleichen
Frequenz, etwa der Netzfrequenz 50 Hz erhalt man wieder eine sinus
fOrmige Wechse1spannungderFrequenz50Hz.
2. Uberlagert man harmonische Schwingungen verschiedener Frequenzen,
so erha1t man einen zwar periodischen, im Allgemeinen jedoch keinen
sinusfdrmigenVorgang.
DieUberlagerungvonharmonischenSchwingungendergleichenFrequenzergibt
wieder eine harmonische Schwingung dieser Frequenz. Durch Uber1agerung
harmonischer Schwingungen verschiedener Frequenzen kann man periodische
Funktionenerzeugen,die imAllgemeinennichtsinusfdrmigsind.
EsstelltsichjetztdieFrage, obmanauchumgekehrt"jedebeliebige"periodische
Funktionalseine Summevon harmonischen Schwingungendarstellenkann.
Diese Frage wurde von dem franzosischen Mathematiker Jean Baptiste Joseph
Fourier(1768 - 1830)positivbeantwortet.
Die genauen Bedingungen hierfilr wurden von dem deutschen Mathematiker
PeterGustavDirichlet(1805 -1858)angegeben.
2 1.Fourierreihen
1.2. Reelle Fourierreihen
1.2.1. Grundbegriffe
Definition 1.1
Bine Funktion f(t) heiJ3t T-periodiseh (periodisch mit der Periode T), wenn
furalleZeitpunktetdesDefinitionsbereichsgilt:
f(t+T)=f(t) (1.2)
Definition 1.2
Bine T-periodischeFunktion f(t) geniigtdenDirichletbedingungen,wenn
1. f(t) beschranktist,
2. f(t) imIntervall [0,T]hochstensendlichvieleUnstetigkeitsstellenhat,
3. dieAbleitung f'(t)imIntervall [0,T]bisaufhOchstensendlichviele
Stellenstetigist.
Eine T-periodische Funktion f(t), die den Dirichletbedingungen geniigt, kann
innerhalb einer Periodendauer T in endlich viele Teilintervalle zerlegt werden,
auf denenf(t) monoton und stetig verlauft. An Unstetigkeitsstellen treten nur
endliche SprunghOhenauf.
Diese Voraussetzungen sind bei den in den Anwendungen auftretenden
periodischenZeitfunktionenimAllgemeinenerfiillt.
Satz 1.1
Eine T-periodische Funktion, welche den Dirichletbedingungen geniigt, lasst
sichalsFourierreihe
f(t)=ao +~)akcos(ktq)t)+bksin(ktq)t)] (1.3)
k=l
darstellen,wobei 0)0 = 21t die Grundkreisfrequenzist.
T
Gl. (1.3) lasstsichfolgendermaJ3enphysikalischinterpretieren:
Jeder periodische Vorgang kann in eine Summe von harmonischen
Schwingungen zerlegt werden. Dabei konnen neben der Grundfrequenz nur
ganzzahlige Vielfache dieser Frequenz auftreten. Man spricht in diesem
ZusammenhangdaherauchvonFourieranalyse,bzw. harmoniseherAnalyse.
