Invitation à la topologie algébrique tome 1 Homologie

301 Pages·2014·26.65 MB·French

by  Alain Jeanneret

MASTER - DOCliORA"F - RECHERCHE
INVITATION
À LA TOPOlOCIE
,
ALGEBRIQUE
Tome/
Homologie
'
Alain Jeanneret
Daniel Unes
Cépaduès
ÉDITIONS
Invitation à la
topologie algébrique
Tome I
Homologie
Alain Jeanneret - Daniel Lines
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Dépôt légal : Août 2014
Table des matières du Tome 1
Avant-propos 11
1 Compléments de topologie 25
1.1 Topologie générale .......................................... 25
1.2 Quelques espaces topologiques .............................. 27
1.3 Quelques homéomorphismes ................................ 28
1.4 Topologie quotient et recollements .......................... 30
1.5 Actions de groupes ......................................... 36
1.6 Homotopie ................................................. .40
1. 7 Groupe fondamental ........................................ 42
1.8 Revêtements ................................................ 45
1.9 Variétés topologiques ....................................... 50
1.10 Espaces projectifs ........................................... 52
1.11 Surfaces .................................................... 55
1.12 Exercices ................................................... 58
2 Compléments d'algèbre 63
2.1 Produit libre de groupes .................................... 64
2.2 Modules .................................................... 64
2.3 Module des homomorphismes ............................... 68
2.4 Applications bilinéaires ..................................... 71
2.5 Produit tensoriel ............................................ 74
2.6 Extension des coefficients et adjonction ..................... 79
2. 7 Catégories et foncteurs ...................................... 80
2.8 Exercices ................................................... 83
4 Table des matières du Tome I
Première partie : Homologie 85
3 Complexes simpliciaux 89
3.1 Définition des complexes simpliciaux ........................ 89
3.2 Topologie des complexes simpliciaux ........................ 95
3.3 Subdivisions ................................................ 99
3.4 Exercices .................................................. 102
4 Homologie simpliciale 105
4.1 Définition de l'homologie simpliciale ....................... 105
4.2 La Question de l'invariance topologique de l'homologie
simpliciale ................................................. 120
4.3 Exercices .................................................. 121
5 Complexes de chaînes algébriques 1 123
5.1 Suite exacte longue en homologie .......................... 124
5.2 Complexes de chaînes augmentés .......................... 130
5.3 Exercices .................................................. 131
6 Propriétés de l'homologie simpliciale 133
6.1 Suite de Mayer-Vietoris .................................... 134
6.2 Suite exacte longue d'une paire et d'un triple .............. 137
6.3 Excision ................................................... 138
6.4 Exercices .................................................. 139
7 Homologie singulière 141
7.1 Définition de l'homologie singulière ........................ 142
7.2 Groupe fondamental et premier groupe d'homologie
singulière .................................................. 148
7.3 Homologie singulière relative ............................... 151
7.4 Exercices .................................................. 155
8 Invariance homotopique de l'homologie singulière 157
8.1 Modèles acycliques ........................................ 158
8.2 Invariance d'homotopie .................................... 163
8.3 Exercices .................................................. 165
5
9 Méthodes de calcul des groupes d'homologie singulière 167
9.1 Excision ................................................... 167
9.2 Suite de Mayer-Vietoris .................................... 175
9.3 Attachement de cellules .................................... 182
9.4 Exercices .................................................. 190
10 Applications de l'homologie 193
10.l Théorèmes de Brouwer et de Jordan ....................... 194
10.2 Degrés des applications entre sphères ...................... 199
10.3 Homologie locale ........................................... 204
10.4 Exercices .................................................. 206
11 Homologie des polyèdres 209
11.1 Complexes simpliciaux et homologie singulière ............. 210
11.2 Approximations simpliciales ............................... 219
11.3 Polyèdres .................................................. 224
11.4 Exercices .................................................. 231
12 Complexes de chaînes algébriques II 235
12.1 Produit tensoriel de complexes de chaînes .................. 236
12.2 Résolutions ................................................ 237
12.3 Théorème de Künneth, cas algébrique ...................... 244
12.4 Extension des coefficients .................................. 248
12.5 Exercices .................................................. 250
13 Homologie à coefficients 251
13.1 Définitions ................................................. 252
13.2 Propriétés de l'homologie singulière et simpliciale à
coefficients ................................................ 254
13.3 Coefficients universels, cas topologique ..................... 256
13.4 Caractéristique d'Euler et nombre de Lefschetz ............ 263
13.5 Exercices .................................................. 270
14 Homologie d'un produit d'espaces 273
14.1 Le Cas absolu ............................................. 274
14.2 Le Cas relatif .............................................. 281
14.3 Exercices .................................................. 283
6 Table des matières du Tome I
Supplément à la première partie 285
Bibliographie du Tome 1 289
Index du Tome 1 291
Table des matières du Tome II
Introduction au Tome II 7
Deuxième partie : Cohomologie 13
15 Définitions et exemples de cohomologies 17
15.l Complexes de cochaînes algébriques ....................... 18
15.2 Coefficients universels en cohomologie ..................... 21
15.3 Cohomologies singulière et simpliciale ..................... 27
15.4 Deux théorèmes de Hopf .................................. 35
15.5 Exercices .................................................. 44
16 Produits en cohomologie 49
16.l Produit cross en cohomologie .............................. 50
16.2 Produit cup ............................................... 52
16.3 Produit cap ............................................... 61
16.4 Produit slant .............................................. 64
16.5 Exercices .................................................. 71
Supplément à la deuxième partie 73
Troisième partie : Variétés 75
17 Structures sur les variétés 79
17.l Variétés topologiques ...................................... 79
17.2 Variétés différentiables .................................... 98
8 Table des matières du Tome II
17.3 Variétés triangulables .................................... 102
17.4 Exercices ................................................. 103
18 Orientation et homologie des variétés 107
18.1 Orientation des variétés topologiques ..................... 108
18.2 Orientation des variétés différentiables .................... 145
18.3 Orientation des variétés triangulables ..................... 149
18.4 Exercices ................................................. 154
19 Dualités de Poincaré, d'Alexander et de Lefschetz 159
19.1 Classe d'orientation ...................................... 161
19.2 Dualité de Poincaré ...................................... 166
19.3 Applications de la dualité de Poincaré .................... 176
19.4 Dualité d'Alexander ...................................... 186
19.5 Applications bilinéaires d'intersection .................... 188
19.6 Dualité de Lefschetz ...................................... 196
19.7 Exercices ................................................. 204
20 Prolongements 209
20.1 Variétés PL .............................................. 211
20.2 Sommes connexes orientées ............................... 213
20.3 Variétés de dimensions 1 et 2 ............................. 217
20.4 Variétés de dimension 3 .................................. 219
20.5 Variétés de dimension 4 .................................. 223
20.6 La Conjecture de Poincaré ............................... 229
20. 7 Variétés de grandes dimensions ............................ 235
20.8 Triangulations non combinatoires des variétés ............ 237
20.9 Structures PL et DIFF sur les espaces euclidiens ......... 240
20.10 Plongements de variétés .................................. 241
20.11 Groupes et anneaux de bordismes ........................ 242
Supplément à la troisième partie 249
9
Annexe A : Limites algébriques directes 253
Annexe B : Formes bilinéaires 267
Bibliographie du Tome II 279
Index des Tomes 1 et II 287