Integralgleichungen und Gleichungen mit unendlich vielen Unbekannten

313 Pages·1989·16.196 MB·German

by  David Hilbert, Erhard Schmidt (auth.), Albrecht Pietsch (eds.)

ISBN 978-3-211-95844-5 ISBN 978-3-7091-9535-2 (eBook)
00110.1007/978-3-7091-9535-2
D. Hilbert· E. Schmidt
Integralgleichongen
ODd
Gleichnngen mit nnendlich
vielen Unbekannten
Herausgegeben und mit einem Nachwort versehen
von
A.PIETSCH
Dieser Band enthiHt fotomechanische Nachdrucke der entscheidenden Originalarbei
ten uber "Lineare Integralgleichungen und Gleichungen mit unendlich vielen Unbe
kannten", die DAVID HILBERT und sein SchUler ERHARD SCHMIDT in der Zeit von 1904 bis
1910 publiziert haben. Ein von ALBRECHT PIETSCHverfaBtes Nachwort wurdigt diese Lei
stungen, die ein Meilenstein in der Geschichte der linearen Funktionalanalysis waren.
Anhand einiger wichtiger Beispiele wird der EinfluB der klassischen Resultate und Me
thoden auf die Entwicklung moderner Theorien beschrieben. Fotos und unveroffent
lichte Archivalien komplettieren den Band. Diese Edition soUte sowohl fur Mathema
tikhistoriker als auch fur forschende Mathematiker von Interesse sein.
LEIPZIC
BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft, Leipzig
Distributed by Springer-Verlag Wien New York
This volume contains photomechanical reproductions of the most important original
papers on "Linear integral equations and equations in infinitely many variables" pub
lished by DAVID HILBERT and his student ERHARD SCHMIDT between 1904 and 1910. An
appendix, written by ALBRECHT PIETSCH, presents an appreciation of these achieve
ments which were a milestone in the history of linear functional analysis. The influence
of the classical results and methods on the development of modern theories is described
by means of some important examples. The book is completed by photographs and un
published archive material. The edition should be of interest not only for historians but
also for research workers in the field of mathematics.
Ce volume contient des reproductions photomecaniques des travaux originaux sur "les
a
equations integrales lineaires et les equations une infinite des variables" publies par
DAVID HILBERT et son eleve ERHARD SCHMIDT entre 1904 et 1910. Un appendice ecrit par
ALBRECHT PIETSCH met en valeur ces travaux qui constituent une etape marquante de
l'histoire de l'analyse fonctionnelle lineaire. L'influence des resultats et des methodes
classiques sur Ie developpement des theories modernes est mis en evidence par quel
ques exemples choisis parmi les plus importants. L'ouvrage est complete par des photo
graphies et des archives non encore publiees. Cette edition doit etre interessante tout
autant pour l'historien des mathematiques que pour Ie mathematicien chercheur.
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Vorwort
Ich hatte es oft schmerzlich empfunden,
daB bei der Schnelligkeit
der Entwicklung unserer Wissenschaft
die Zeit voriiber ist,
wo wir die griiBte Weisheit
in den altesten Buchern fan den
und so das GlUck genieBen konnten,
das BewuBtsein der Belehrung
mit dem GefUhl der Pietii.t
fUr das Ehrwurdige zu verbinden.
ERHARD SCHMIDT, 1919
Dieser Band des "TEUBNER-ARCHIVs zur Mathematik" enthalt die entscheiden
den Arbeiten uber "Lineare Integralgleichungen und Gleichungen mit unendlich vielen
Unbekannten", die DAVID HILBERT und sein Schuler ERHARD SCHMIDT in der Zeit von
1904 bis 1910 publiziert haben. HILBERTS Mitteilungen "Grundzuge einer allgemeinen
Theorie der linearen Integralgleichungen" sind in seinen "Gesammelten Abhandlun
gen" nicht enthalten, weil sie 1912 bei B. G. TEUBNER in Buchform erschienen (vgl. Foto
S. 278); im vorliegenden Band findet der Leser fotomechanische Nachdrucke der
Gottinger Erstveroffentlichungen. AuBerdem wird diese Edition auch deshalb von
Interesse sein, weil "Gesammelte Abhandlungen" von ERHARD SCHMIDT bisher nicht
vorliegen.
Fur die Erteilung der Abdruckgenehmigungen sei der Akademie der Wissenschaften
zu Gottingen und der Redaktion der Rendicondi del Circolo Matematico di Palermo
gedankt.
Das Staatsarchiv des Kantons Zurich, die Archive der Universitaten in Bonn und
Gottingen sowie der Deutschen Akademie der Naturforscher Leopoldina in Halle/
Saale, die Deutsche Fotothek Dresden und die Kustodie der Akademie der Wissen
schaften der DDR haben durch die Bereitstellung von Fotos bzw. Kopien ganz wesent
lich zur Komplettiening dieser Edition beigetragen. Fur die Unterstutzung bei der Be
reitstellung des Bildmaterials danke ich neben den genannten Institutionen vor allem
den Herren WIELAND BERG, Halle, HANS HADAN, Berlin, STEFAN HILDEBRAND, Bonn,
HANS JARCHOW, Zurich, MARTIN KNESER, Gottingen, HANS-GEORG KREY, Berlin, und
RUDOLF QUERFURTH, Leipzig.
SchlieBlich mochte ich mich bei den Herren GOTTFRIED KOTHE, FrankfurtIMain, und
WERNER LINDE, Jena, fur ihre Vorschlage zur Verbesserung des Nachworts bedanken.
Besonders wertvoll waren fur mich die Hinweise von Herrn REINHARD SIEGMUND
SCHULTZE, Berlin, der mein Manuskript aus der Sicht des Mathematikhistorikers ge
lesen hat. Nicht zuletzt danke ich Herrn JORGENWEISS yom BSB B. G. Teubner Verlags
gesellschaft, Leipzig, fur die sehr gute Zusammenarbeit.
Jena,Mail988 ALBRECHT PIETSCH
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Gut.achten DAVID HILBERTS zur Dissertation von ERHARD SCHMIDT, 1905
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Inhalt
D. Hilbert: Grundziige einer allgemeinen Theorie der linearen Integral
gleichungen
Erste Mitt. (Nachr. Wiss. Gesell. Gott., Math.-phys. Kl. (1904),49-91) 8
Vierte Mitt. (Nachr. Wiss. Gesell. Gott., Math.-phys. Kl. (1906),157-227) . 51
Fiinfte Mitt. (Nachr. Wiss. Gesell. Gott., Math.-phys. Kl. (1906),439-462) 122
Sachlich geordnete Inhaltsiibersicht der sechs Mitteilungen (Nachr. Wiss.
Gesell. Gott., Math.-phys. Kl. (1910),595-618) . . . . . . . . . . . . . .. 146
D. HUbert: Wesen und Ziele einer Analysis der unendlichvielen unabhangigen
Variabeln (Rend. Circ. Mat. Palermo 27 (1909), 59-74) .......... 172
E. Schmidt: ZurTheorie der linearen und nicht linearen Integralgleichungen.
I. Teil: Entwicklung willkiirlicher Funktionen nach Systemen vorgeschriebener
(Math. Ann. 63 (1907),433-476) . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . .. 190
E. Schmidt: Zur Theorie der linearen und nicht linearen Integralgleichungen.
Zweite Abhandlung: Auflosung der allgemeinen linearen Integralgleichung
(Math. Ann. 64 (1907), 161-174) ....................... 234
E. Schmidt: Uber die Auflosung linearer Gleichungen mit unendlich vielen
Unbekannten (Rend. Circ. Mat. Palermo 25 (1908),53-77) ......... 250
Nachwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 279
Literatur .................................... 305
NameD-uDd SachverzeichDis .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 314
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Na chrichten
von der
KonigI. Gesellsebaft der Wissenschaften
zu Gottingen.
Mathematisch· physikalische Klasse
aus dem Jahre 1904.
Gottingen,
CommissioDSverlag der Dieterich'schen Universitlitsbuchhandlung
Liider Horstmann.
1904.
Grundziige einer allgemeinen Theorie
der linearen Integralgleichungen.
(Erste Mitteilung.)
Von
David IDlbert in Gottingen.
Vorgelegt in der Sitzung yom 5. Marz
Es sei K (s, t) eine Funktion der reellen Veriinderlichen s, t;
f(s) sei eine gegebene Funktion von s und q; (s) werde als die zu
bestimmende Funktion von s angesehen; jede der Veranderlichen
s, t moge sich in dem Intervalle a bis b bewegen: dann heilie
f(s) = Jb K(s, t)q;(t)dt
a
eine I nt egralg le ichun 9 er st er Art und
b
f(s) = q;(s)-AJ K(s, t)q;(t)dt
a
eine lntegralgleichung sweiter Art; dabei bedeutet A einen
Parameter. Die Funktion K(s, t) heiBe der Kern derlntegral-
9 1e ichu ng en.
Durch die Randwertaufgabe in der Potentialtheorie wurde
zuerst G a u B auf eine besondere Integralgleichung gefiihrt; die
Benennung »Integralgleichung" hat bereits P. duB 0 is-R e y
m 0 nd 1) angewandt. Die erste Methode zur Auf losung der Inte
gralgleichung zweiter Art riihrt von C. N e u man n 2) her: dieser
Methode zufolge erscheint die Function q; (s) direct als eine unend-
1) Bemerkungen iiber as = O. Journ. f. Math. Bd. lOS (1888).
2) Ueber die Methode des arithmetischen Mittels. Leipz. Abh. Bd. IS (1887).
X,I. Gas. d. Wiu. Nachrichtea. Math.·ph),s. Kluae lV04. Heft 1. 4
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50 David Hilbert,
liche Reihe, die nach Potenzen des Parameters 1 fortschreitet und
deren Coefficienten gewisse durch mehrfache Integrale definirte
Funktionen von s sind. Eine andere Formel zur Auflosung der
Integralgleichung zweiter Art fand F red hoI m 1) , indem es ihm
gelang, r:p (8) als Bruch darzustellen, dessen Zahler eine bestandig
convergente Potenzreihe in 1 mi t gewissen von s abhangigen Coeffi
cienten ist, wahrend als N enner eine bestandig convergente Potenz
reihe in 1 mit numerischen Coefficienten auftritt. Den directen
Nachweis der Uebereinstimmung der Formeln von C. Neumann
und Fredholm erbrachte auf meine Anregung hin Kellogg').
In dem besonderen FaIle gewisser Randwertaufgaben in der
e
Potentialtheorie hat Poi n car 3) als der Erste den Parameter 1
eingefdhrt und ihm gelang es auch zuerst nachzuweisen, dafi die
Losung notwendig als Quotient zweier bestandig convergenter
Potenzreihen in 1 darstellbar sein muB. Eine dritte Methode zur
Losung der Integralgleichung zweiter Art, die auch zugleich auf
die Integralgleichung erster Art anwendbar ist, werde ich in einer
spateren Note in diesen Nachrichten auseinandersetzen. DieAuflosung
besonderer Integralgleichungen gelang V 0 I te rra 4). Ingewissen
Fallen laBt sich die Integralgleichung erster Art auf die zweiter
Art nach einer von mir angegebenen Methode 5) zuriickfdhren.
Dienahere Beschaftigung mit dem Gegenstande fiihrte mich
zu der ErkenntniB, dafi der systematische Aufbau einer allgemeinen
Theorie der linear en Integralgleichungen fiir die gesamte Ana
lysis, insbesondere fiir die Theorie der bestimmten Integrale und
die Theorie der Entwickelung willkiirlicher Funktionen in unend
liche Reihen, ferner fdr die Theorie der linearen Differentialglei
chungen sowie fdr die Potentialtheorie und Variationsrechnung
von Mchster Bedeutung ist. Ich beabsichtige in einer Reihe von
Mitteilungen die Frage nach der Losung der Integralgleichungen
von neuem zu behandeln, vor Allem aber den Zusammenhang und
die aUgemeinen Eigensohaften der Losungen aufzusuchen, wobei ioh
meist die fiir meine Resultate wesentliche Voraussetzung mache,
1) Sur une classe d'equations fonctionnelles. Acta mathematica Bd.27 (1908).
und die daselbst citirte Abhandlung tiber denselben Gegenstand aus dem Jahre 1899.
2) Zur Theorie der Integralgleichungen. Gott. Nachr. 1902.
8) Sur les equations de Is. physique mathematique. Rendieonti del circolo di
Palermo t. 8 (1894). La methode de Neumann et Ie probleme de Dirichlet. Acta
mathematica Bd. 20 (1896-97).
4) Sopra alcune questioni di inversione di integrali definiti. Annali di mate
matica 8. 2 t. 25 (1897).
5) Vg l. K e 11 0 g g, Zur Theorie der Integralgleichungen. Inaugural-Disser
tation, Gottingen 1902, sowie Math. Ann. Bd. 58.
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