Ingenieurmechanik 3: Dynamik

277 Pages·2005·2.595 MB·German

by  Mahir B. Sayir, Stephan Kaufmann (auth.)

Mahir B. Sayir, Stephan Kaufmann
Ingenieurmechanik 3
Dynamik
Mahir B. Sayir, Jürg Dual, Stephan Kaufmann
Ingenieurmechanik
Ingenieurmechanik 1
Grundlagen und Statik
Grundlagen: Bewegung eines materiellen Punktes – Geschwindigkeit –
Zur Kinematik starrer Körper – Kräfte – Leistung
Statik: Äquivalenz und Reduktion von Kräftegruppen – Parallele Kräfte und
Schwerpunkt – Ruhelage und Gleichgewicht – Lagerbindungen und
Lagerkräfte – Statik der Systeme – Statisch bestimmte Fachwerke –
Reibung – Seilstatik – Beanspruchung
Ingenieurmechanik 2
Deformierbare Körper
Spannungen – Verzerrungen – Linear elastisches Stoffverhalten –
Spezielle Biegung prismatischer Balken – Numerische Methoden –
Allgemeine Biegeprobleme – Torsion – Arbeit und Deformationsenergie –
Energiesätze und -verfahren – Stabilitätsprobleme, Knickung – Plastizität –
Bruchmechanische Grundlagen – Zeitabhängiges Materialverhalten
Ingenieurmechanik 3
Dynamik
Beschleunigung – Bewegungsgleichungen – Energiesatz – Relativbewegung –
Kinetik starrer Körper – Schwingungen mit Freiheitsgrad eins –
Schwingungen mit höherem Freiheitsgrad – Dynamik einfacher kontinuierlicher Strukturen –
Grundlagen der analytischen Dynamik – Axiomatisches über den Drallsatz – Gravitation –
Elemente der Speziellen Relativitätstheorie
Mahir B. Sayir, Stephan Kaufmann
Ingenieurmechanik 3
Dynamik
Mit 154 Abbildungen, 34 Aufgaben
und zahlreichen Beispielen
Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek
Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie;
detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über <http://dnb.ddb.de> abrufbar.
Mahir B. Sayir, geb. 1940, studierte an der Abteilung Maschinenbau der TU Istanbul. Er doktorierte
an der ETH Zürich bei Professor Ziegler und wurde am 1. Januar 1969 zum Assistenzprofessor für
Mechanik gewählt. 1972 wurde er zum ausserordentlichen und 1976 zum ordentlichen Professor
befördert. Im Jahre 1985 war er „Lady Davis Visiting Professor“ am Technion in Haifa, Israel, und
1987 wurde er als „Russel Springer Honour-Professor“ des „Department of Mechanical Enginee-
ring“ der University of California nach Berkeley eingeladen. Von 1988 bis 2003 war er einer der drei
Rektoren von CISM (International Center for Mechanical Studies) in Udine (Italien). Seine anfängliche
theoretische Forschung begann er 1976 auch mit experimentellen Aspekten zu ergänzen und vor
allem auf dynamische Probleme zu richten.
Stephan Kaufmann, geb. 1954, studierte theoretische Physik an der ETH Zürich. Für das Doktorat
bei Professor Brauchli wechselte er an das Institut für Mechanik der Abteilung Maschinenbau. Heute
ist er wissenschaftlicher Adjunkt und Dozent am Zentrum für Mechanik ETH. Seine Arbeitsschwer-
punkte sind verschiedene Aspekte des Computereinsatzes in Forschung und Unterricht.
1. Auflage August 2005
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© B.G.Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2005
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jedermann benutzt werden dürften.
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Druck und buchbinderische Verarbeitung: Strauss Offsetdruck, Mörlenbach
Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier.
Printed in Germany
ISBN 3-519-00511-5
Vorwort
Dieser dritte Band rundet die Einführung in die Ingenieurmechanik mit der Dynamik
ab. Inhaltlich entspricht er einer Vorlesung der Autoren für verschiedene Studiengän-
ge im dritten Semester an der ETH Zürich. Stoffauswahl und Aufbau sind auf eine
Leserschaft ausgerichtet, die neben Studierenden des Maschinenbaus an technischen
Universitäten auch solche anderer Ingenieurbereiche umfasst. Deshalb können bei
Bedarf einige Kapitel übersprungen oder in anderer Reihenfolge bearbeitet werden.
Wie schon im ersten und zweiten Band basiert auch hier die Axiomatik konsequent
aufdem Prinzip der virtuellen Leistungen. Durch Einbezug der Trägheitskräfte erge-
ben sich mit den schon aus der Statik bekannten Methoden sofort die Bewegungs-
gleichungen. Der Energiesatz und die am Schluss des Buches behandelten Lagrange-
schen Differentialgleichungen sind ebenfalls einfach ableitbare Sätze, genauso wie
die mit finiten Elementen diskretisierten Gleichungen kontinuierlicher Systeme.
Für viele Studierende ist die spezifische Ausbildung in technischer Mechanik nach
drei Semestern abgeschlossen. Ihnen soll ein geeignetes Rüstzeug auf den Weg geben
werden. Dazu gehören auch die Behandlung von Schwingungsphänomenen, insbe-
sondere Schwingungen von Systemen mit höherem Freiheitsgrad, sowie die Grundla-
gen von Wellenausbreitung und Schwingungen in einfachen kontinuierlichen Struktu-
ren.
Der Stoffaufbau basiert auf der Diskussion der Geschwindigkeiten im zweiten Kapitel
des ersten Bandes Ingenieurmechanik. Darauf aufbauend wird vorerst die Beschleu-
nigung eingeführt und in verschiedenen Koordinatensystemen sowie im begleitenden
Dreibein berechnet und erörtert. Es schließt sich das axiomatisch zentrale Kapitel an
mit der Verallgemeinerung des Prinzips der virtuellen Leistungen auf die Dynamik
durch Einführung der d’Alembertschen Trägheitskräfte. Daraus folgen der Impuls-
und der Drallsatz (bezüglich inertialer Punkte) und aus Ersterem wiederum der Mas-
senmittelpunktsatz und das Newtonsche Bewegungsgesetz für Massenpunkte. Eben-
falls direkt aus dem Prinzip der virtuellen Leistungen kann im nächsten Kapitel der
Energiesatz hergeleitet werden.
Die weitere Abfolge mit Kapiteln über die Relativbewegung und die Kinetik starrer
Körper, inklusive einer Einführung in Stöße, entspricht dem üblichen Aufbau im Stu-
dium des Maschinenbaus. Falls diese Themen in einem zeitlich knapp bemessenen
Ausbildungsgang, z.B. für Bauingenieure, weniger Priorität genießen, so können sie
auch übersprungen oder auf später verschoben werden.
Es folgt eine Diskussion von freien und erzwungenen Schwingungen, zuerst im ein-
dimensionalen Fall, dann für Systeme mit höherem Freiheitsgrad, inklusive Diskreti-
sierung kontinuierlicher Systeme. Diese Phänomene und Lösungsmethoden sind in
6
allen Ingenieurbereichen von zentraler Wichtigkeit. Eng verbunden mit den Schwin-
gungen ist der Begriff der Stabilität, dessen Grundkonzepte für den Freiheitsgrad eins
erläutert werden. Für Maschinen- und Bauingenieure ebenfalls unabdingbar ist ein
Grundverständnis von Schwingungen und Wellenausbreitung in kontinuierlichen
Strukturen. Diese Themen schließen sich an die endlichdimensionalen Schwingungen
an.
Den Abschluss des Hauptteils bildet eine Einführung in die analytische Dynamik mit
der Herleitung der Lagrangeschen Differentialgleichungen. Drei Appendizes enthal-
ten eine kritische Betrachtung der Axiomatik des Drallsatzes, die klassische Diskus-
siondes Zweikörperproblems in der Himmelsmechanik und eine kurze Einführung in
die Spezielle Relativitätstheorie.
Am Ende jedes Kapitels sind Übungsaufgaben, deren Lösungen im Internet auf der
Adresse http://www.zfm.ethz.ch/mechanik-buecher/ publiziert sind.
Wirdanken den Studierenden, Assistierenden und Kollegen für die vielen interessan-
ten Diskussionen und nützlichen Anregungen. Dem Teubner Verlag danken wir für
die erneut reibungslose Zusammenarbeit und die schöne Ausstattung des Buches un-
ter Bewahrung eines günstigen Preises. Den Leserinnen und Lesern wünschen wir
eine lehrreiche Lektüre und hoffen, dass sie anschließend über die nötigen Werkzeuge
verfügen, um Probleme der technischen Mechanik systematisch, effizient und mit
Freude zu lösen.
Zürich, im Juni 2005 Mahir B. Sayir, Stephan Kaufmann
Inhaltsverzeichnis
IV Dynamik...........................................................................................9
28 Beschleunigung.................................................................................11
28.1 Definition der Beschleunigung, Hodograph 11
28.2 Darstellung im begleitenden Dreibein 13
28.3 Weitere Komponentendarstellungen der Beschleunigung 21
29 Bewegungsgleichungen....................................................................25
29.1 Masse und Trägheitskraft 26
29.2 Das Postulat der virtuellen Leistungen in der Kinetik 29
29.3 Bewegungsgleichungen eines materiellen Systems: Impuls- und
Drallsatz 36
29.4 Massenmittelpunktsatz und Newtonsches Bewegungsgesetz für
Massenpunkte 40
30 Energiesatz.......................................................................................53
30.1 Virtuelle Leistung bei der wirklichen Bewegung 53
30.2 Kinetische Energie und Energiesatz 54
30.3 Zerlegung der kinetischen Energie 56
30.4 Energiesatz für konservative Systeme 60
31 Relativbewegung..............................................................................72
31.1 Definitionen zur Kinematik der Relativbewegung 73
31.2 Additionssatz für Geschwindigkeiten 76
31.3 Additionssatz für Beschleunigungen 81
31.4 Ergänzungen zu den Additionssätzen 86
31.5 Bewegungsgesetze bei Relativbewegung 89
31.6 Die Erde als Fahrzeug 101
31.7 Inertialsysteme 105
32 Kinetik starrer Körper..................................................................109
32.1 Drall eines starren Körpers bezüglich des Massenmittelpunktes 110
32.2 Trägheitsmomente und Trägheitstensor 112
32.3 Drallsatz bezüglich C im Hauptachsensystem 121
32.4 Dynamik des Kreisels 126
32.5 Stoß mit starren Körpern 135
33 Schwingungen mit Freiheitsgrad eins..........................................145
33.1 Ungedämpfte freie Schwingung mit Freiheitsgrad eins 146
33.2 Freie gedämpfte Schwingung mit Freiheitsgrad eins 149
8 Inhaltsverzeichnis
33.3 Erzwungene Schwingung mit Freiheitsgrad eins 153
33.4 Stabilität einer Ruhelage 163
34 Schwingungen mit höherem Freiheitsgrad..................................168
34.1 Ungedämpfte freie Schwingungen mit Freiheitsgrad zwei 169
34.2 Verallgemeinerung auf höheren Freiheitsgrad 177
34.3 Diskretisierung kontinuierlicher Systeme, finite Elemente 180
34.4 Erzwungene Schwingungen mit höherem Freiheitsgrad 187
35 Dynamik einfacher kontinuierlicher Strukturen.........................196
35.1 Längswellen in dünnen Stäben 198
35.2 Längsschwingungen in dünnen Stäben 212
35.3 Biegewellen und Biegeschwingungen in schlanken Balken 220
36 Grundlagen der analytischen Dynamik........................................230
36.1 Definitionen und Ableitungsregeln 231
36.2 Virtuelle Leistungen bei zulässigen virtuellen Bewegungen 234
36.3 Die Lagrangeschen Bewegungsdifferentialgleichungen 238
36.4 Bedeutung der Lagrangeschen Funktion, Ausblick 241
Anhang 1: Axiomatisches über den Drallsatz................................................245
Anhang 2: Gravitation......................................................................................249
Anhang 3: Elemente der Speziellen Relativitätstheorie................................257
Literaturverzeichnis..........................................................................................269
Sachwortverzeichnis..........................................................................................271
IV Dynamik
In der Einleitung zum ersten Band [1] wurde die Dynamik als „Synthesevon Kine-
matik und Kinetik“ definiert. Während in der Kinematik die „Geometrie der Bewe-
gung“ im Vordergrund steht, befasst sich die Kinetik mit der Verbindung zwischen
Kräften und Bewegungen materieller Systeme.
Einen Teil der kinematischen Grundlagen haben wir bereits im ersten Teil von Band 1
behandelt. So stellten wir in Kapitel 1 die Bewegung eines materiellen Punktes mit
Hilfe der Vektorfunktion
(cid:0)
t rrrr=ffff(t)
dar, d.h. der Zuordnung von Ortsvektoren rrrr zur skalaren Variablen Zeitt. Eineerste
charakteristische Größe dieser Bewegung ist die Geschwindigkeit,welche als Ablei-
tung der Funktion ffff definiert wird und sowohl über die Richtungder Bewegung als
auch über ihre SchnelligkeitAuskunft gibt.
Die physikalische Erfahrung zeigt, dass die Geschwindigkeiten der einzelnen mate-
riellen Punkte mit Hilfe von Kräften verändert werden können. Um die entsprechende
Verbindung formelmäßig herzustellen, brauchen wir also eine neue kinematische
Größe, welche die Veränderung der Geschwindigkeit charakterisiert; wir nennen sie
Beschleunigung. Das erste Kapitel des vorliegenden Teils ist demzufolge der Einfüh-
rung und Vertiefung des Begriffs „Beschleunigung“ gewidmet. Im anschließenden
Kapitel 29 wird dann das in Kapitel 8, Band 1 formulierte Postulat Prinzip der vir-
tuellen Leistungen (PdvL) auf bewegte materielle Systeme verallgemeinert. Aus die-
sem verallgemeinerten PdvL lassen sich die Grundgleichungen der Dynamik, nämlich
der Impuls- und Drallsatz herleiten. Das 1687 von Isaac Newton (1642-1727) pos-
tulierte Bewegungsgesetz für Massenpunkte ist ein Spezialfall des Impulssatzes, mit
dessen Hilfe sich auch das Modell des Massenpunkts begründen lässt. Aus dem PdvL
folgt sofort der in Kapitel 30 behandelte Energiesatz, welcher eine alternative Sicht
aufdie Phänomene der Dynamik eröffnet und z.B. bei konservativen Systemen nützli-
che Anwendungen hat. Er basiert auf dem neuen Begriff der kinetischen Energie
und dem schon aus dem zweiten Band [2] bekannten der potentiellen Energie. Mit
den in Kapitel 31 eingeführten Konzepten der Relativbewegung können die Bewe-
gungsgesetze auch in beschleunigten Bezugssystemen formuliert werden. In Kapitel
32 folgt die klassische Diskussion der (räumlichen) Kinetik starrer Körper. Sie ist
die Grundlage vieler technischer Anwendungen, z.B. in Kreiselgeräten oder in der
Robotik, Fahrzeugtechnik, Rotordynamik, Luft- und Raumfahrt. Eine weiteres zentra-
M. B. Sayir, S. Kaufmann, Ingenieurmechanik 3, DOI 10.1007/978-3-8348-2498-1_1,
© B. G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2005