I Ty zostaniesz Pitagorasem. Materiały pomocnicze do nauki matematyki dla klasy 7

98 Pages·1994·4.64 MB·Polish

by  Wanda Łęska, Stefan Łęski

WANDA ŁĘSKA ITv
STEFAN ŁĘSKI
zostaniesz
Pitagorasa
DAM
MATERIAŁY
POMOCNICZE
DO NAUKI
MATEMATYKI
DLA KLASY
j
Przedstawiamy — w nowej szacie graficznej — zbiór zadań z matema­
tyki do klasy VII. Jest on kolejną proponowaną przez autorów pozycją z se­
rii „I Ty zostaniesz Pitagorasem”. Adresujemy go do nauczycieli i uczniów
w celu wykorzystania w pracy lekcyjnej przy realizacji bieżącego materiału
programowego. Może być również pomocny dla ucznia pracującego indywidu­
alnym tokiem nauczania lub nadrabiającego zaległości.
Zbiór zawiera zestaw ćwiczeń i zadań oraz krótką część teoretyczną odno­
szącą się do wszystkich jednostek m.etodycznych przewidzianych w realizacji
aktualnie obowiązującego programu nauczania matematyki w klasie siódmej.
Układ rozdziałów jest podobny, jak w zbiorach klasy piątej i szóstej. Zada­
nia ułożone są zgodnie z zasadą stopniowania trudności. Część teoretyczna
jest wyraźnie oddzielona od zestawu zadań, zawiera ona najistotniejsze wia­
domości poparte przykładami. Odpowiedzi, na prośbę wielu nauczycieli, prze­
niesiono na koniec zbioru. Wszystkie zadania zaopatrzone gwiazdką przezna­
czone są dla uczniów zdolnych, interesujących się matematyką.
Sześć pierwszych działów zawiera tematy obowiązkowe, stanowią one pełną
konstrukcję programową. Ostatni dział to zestaw zadań do realizacji dwóch
tematów nadobowiązkowych, które uważamy za ważne i bardzo kształcące.
Trzy pierwsze działy należy zrealizować w I, a trzy kolejne w II semestrze.
Wszystkie działy, paragrafy i zadania obejmujące materiał nadobowiąz­
kowy oznaczone są literą
Pragniemy ponadto zwrócić uwagę, że niniejsze wydanie zostało przejrzane
i poprawione, lecz nie wprowadza żadnych zmian merytorycznych. Wprowa­
dzono jedynie dodatkowy kolor, by wyróżnić ważniejsze treści i wzory mate­
matyczne oraz poprawić estetykę rysunków. Jednak układ zadań na stronach
mógł idee zmianie; w kilku przypadkach zmieniła się też numeracja zadań.
Za wynikające stąd trudności przepraszamy uczniów i nauczycieli.
Autorzy niniejszej pracy proszą nauczycieli o uwagi i opinie, które należy
kierować na adres Oficyny.
Uczniom życzymy sukcesów, a nauczycielom satysfakcji!
WANDA ŁĘSKA, STEFAN ŁĘSKI
I T Y ZOSTANIESZ
PITAGORASEM
MATERIAŁY POMOCNICZE
DO NAUKI MATEMATYKI
DLA KLASY 7
DOSTOSOWANE
DO AKTUALNYCH ZMIAN PROGRAMOWYCH
OFICYNA WYDAWNICZO-POLIGRAFICZNA
I REKLAMOWO-HANDLOWA „ADAM”
WARSZAWA
Projekt okładki
LESZEK RUDNICKI
Redaktor naczelny
ADAM MAZUREK
„Książka zalecana przez Ministra Edukacji Narodowej do użytku szkolnego
i wpisana do zestawu książek pomocniczych do nauki matematyki w klasie
siódmej szkoły podstawowej.
Numer w zestawie 133/92”.
ISBN 83-85207-16-3
Znak firmowy i tytuł zastrzeżone w Urzędzie Patentowym
Copyright © by Oficyna Wydawniczo-Poligraficzna „ADAM”
WARSZAWA loo-
OFICYNA WYDAWNICZO-POLIGRAFICZNA
I REKLAMOWO-HANDLOWA „ADAM”
ul. Rolna 191, 02-729 Warszawa
tel./fax 43-20-52, tel. 43-37-23
Księgarnia Firmowa tel. 43-47-91, 43-08-79
Skład: „SCRIPT”, Warszawa, tel. [phone]
Druk poUOfaflO Spółka z o.o. w Sieradzu
I. WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE
1.1. ZAPISYWANIE I ODCZYTYWANIE WYRAŻEŃ
ALGEBRAICZNYCH
Wyrażeniem algebraicznym będziemy nazywać zarówno pojedyn­
czy znak liczby, litery, jak i bardziej złożony zapis powstały z sym­
boli liczb i liter połączonych znakami działań i nawiasami.
— Wyrażenia, które są iloczynem czynników cyfrowych, litero­
wych lub pojedynczym znakiem liczby, nazywamy jednomianami,
np.: -5, a, -3ab, 7x1 2. 4,5xyz2, -ab3, —150mn, ...
O
— wyrażenia, które są sumą jednomianów, nazywamy sumami al­
gebraicznymi,
np.: 3x + 5a, a2 - b2, 4x - 5b + c, 0,7x3 - ^y2 - 2,2z + 44, ...
Gdy do wyrażenia algebraicznego zamiast liter (zmiennych) wsta­
wimy konkretne liczby i wykonamy wskazane działania, to nazwa
ostatniego działania określi nazwę całego wyrażenia.
Np.: o2 + b2 — to suma kwadratów liczb a i b,
(x -l)2 — to kwadrat różnicy liczby x i liczby 1,
a2 — b2
— to iloraz różnicy kwadratów liczb a i b przez liczbę 5,
5
3(x + y)3 — to iloczyn liczby 3 i sześcianu sumy liczb x i y.
1. Podaj po cztery dowolne wyrażenia algebraiczne, które będą:
a) jednomianami, b) sumami algebraicznymi.
2. Dane są liczby —2; 7 oraz litery a i b. Utwórz z nich:
a) sumę iloczynów, h) sześcian dowolnej sumy,
b) iloczyn sumy i różnicy, i) różnicę sześcianu i iloczynu
c) iloraz różnicy przez sumę, dowolnych liczb,
d) różnicę ilorazów, j) sumę sześcianu i dowolnego ilorazu,
e) kwadrat dowolnej sumy, k) różnicę sześcianów dowolnych liczb,
f) kwadrat dowolnej różnicy, l) sumę sześcianów dowolnych liczb.
g) sześcian dowolnej różnicy,
-3-
3. Napisz następujące wyrażenia:
a) suma liczby a i kwadratu liczby 6,
b) różnica sześcianu liczby b i liczby 4,
c) iloraz kwadratu liczby a przez 5,
d) iloczyn liczby —2, kwadratu liczby a i sześcianu liczby b,
'e) kwadrat sumy liczb a i 6,
• f) sześcian różnicy liczb x i y,
- g) podwojony iloczyn liczby a i kwadratu sumy liczb x i y,
, h) iloraz różnicy kwadratów liczb a i b przez sześcian liczby c.
, m .
4. Utwórz wszystkie możliwe pary wyrażeń: a+ 6; xy; —; z — c. Następnie
połącz je znakami działań i nowo powstałe wyrażenia nazwij.
5. Zapisz następujące wyrażenia:
* a) iloczyn liczby —3, kwadratu liczby a i sumy liczb x i y.
b) kwadrat różnicy podwojonego iloczynu liczby a i potrojonego sze­
ścianu liczby 6,
4 c) różnica iloczynu liczby 3, m i n i kwadratu sumy liczb x i y,
* d) suma sześcianów liczb x, y i z,
e) iloraz kwadratu sumy liczb p i q przez różnicę sześcianu liczby p
i liczby q,
f) podwojony kwadrat sumy iloczynów liczb 3 i a oraz liczb 5 i b.
6. Nazwij następujące wyrażenia:
a) a2 + 2; e) 4o — 562; i) (5a + c)2; m)(a2 - l)(x2 - 2);
t2 a2
b) 2a — 62; f) 4,5x2 + 26; i) y - 1,56; » )— ;
2a:2 — 3
c) (3ab)2; g) 5 ; k) p3 — 4q4; o) (a — b)2 : (a + b).
d) 2a(3a: — 1); h) (a - 6)3; l) (3 + 2fo2)3;
7. Nazwij następujące wyrażenia:
a) a2{b — c)3; d) 2a2 : (6- l)3; g) (a3 - 2a)2;
b) (3a:2 + 7)3 — 4y2; e) (c2 + l)(c2 - 2); h) 2(a2 + 6 — 3,5)2.
(mn)2 — 3p
c) 4(a-6)2 + y ; 8 9
n3
8. W klasie Vila jest x chłopców i y dziewcząt. W klasie VIIb jest o 3
chłopców więcej i 2 razy mniej dziewczynek niż w klasie Vila. Ile dzieci
jest w klasie VIIb? (Zapisz odpowiednie wyrażenie).
9. Zapisz za pomocą wyrażeń algebraicznych:
-4-
a) pole i obwód trójkąta równobocznego o boku a i wysokości h,
b) pole kwadratu o przekątnej x,
c) pole powierzchni całkowitej i objętość sześcianu i krawędzi a,
d) pole powierzchni całkowitej i objętość prostopadłościanu o krawę­
dziach a, b i c.
10. Zapisz w postaci wyrażeń algebraicznych:
a) liczbę dwucyfrową z cyfrą dziesiątek x i cyfrą jedności y,
b) liczbę trzycyfrową z cyfrą setek a, dziesiątek b, a jedności c,
fi) liczbę dwucyfrową, której cyfrą dziesiątek jest x, a cyfra jedności
jest o 2 większa od cyfry dziesiątek,
d) liczbę trzycyfrową, której cyfrą setek jest x, cyfra dziesiątek jest
o 3 mniejsza, a cyfra jedności 2 razy większa od cyfry setek.
11. Oznaczając przez n dowolną liczbę naturalną, zapisz:
a) liczbę o 2 od niej mniejszą, e) liczbę parzystą i nieparzystą,
b) liczbę o 3 od niej większą, f) kwadrat liczby nieparzystej,
c) jej połowę i trzykrotność, g) sumę kwadratu liczby parzystej
d) trzy kolejne liczby naturalne, i sześcianu liczby nieparzystej.
12. O ile zwiększy się pole prostokąta o bokach a i b, jeżeli długość każdego
boku zwiększymy o 10%?
1.2. WARTOŚĆ LICZBOWA WYRAŻENIA ALGEBRAICZNEGO
Jeśli dane jest wyrażenie algebraiczne, w którym występują zmienne (li­
tery), to nie możemy określić jego wartości liczbowej. Dopiero gdy w miejsce
zmiennych wstawimy konkretne liczby, otrzymamy wyrażenie arytmetyczne,
którego wartość liczbową możemy obliczyć.
Np. wyrażenie (3a1 2 -2 ) ■ b dla a = 1 i b = -2 ma wartość -2, a dla a = 0
i b = 0,5 ma wartość —1.
1. Oblicz wartość liczbową następujących wyrażeń:
a) 2x2 — 1 dla x = 4; d) (3a:2 + y)2 dla x = 1, y = -0,2;
b) (a;2 + 5) • - dla x = —1; e) jja2 - ^63 dla a — -5, b =
c) a3 dla a = —2,6 = 3; f) y3 + 4y2 — y + 8 dla y =
2. Oblicz wartości liczbowe następujących wyrażeń dla a = 5:
a) 2a2; c) 5a2 — 4a + 120; e)
12
’
3a2 + 8 (3a2 — 20a)2
b) 3a3 — 4; d) f)
-5-
3. Oblicz wartość liczbową wyrażenia:
3x2 + x — 1
dla x € {—2,0,1};
a)
b) (x2 — 7) • 2x dla x e 3;0,5};
c) 3x2 — 4(x + 2y3) dla x "2, y — —1;
d) 2a3 + 3a2 — 5b2 + b dla a ■ -2, 6 —
5
4. Uzupełnij tabelkę:
1
a -1 3 0 2,5
2
1
b 2 -4 0 -1
2
(a - b)3
a2+ b2
5. Dla jakich wartości x wartość wyrażenia równa się zeru? Wykonaj
odpowiednie sprawdzenie:
a) 5x, c) —2x2, e) x2 — 4,
b) x-7, d) x2 + 16, f) x(x+l).
*6. Dla jakich wartości x wartość danego wyrażenia nie istnieje?
-45
g)
x(x — 1)
10 100
d) f)
x — 1 ’ x2 + 2 ’
1.3. SUMA ALGEBRAICZNA. REDUKCJA WYRAZÓW PODOBNYCH
Wyrażenie algebraiczne będące sumą co najmniej dwóch jedno-
mianów nazywamy sumą algebraiczną,
np. a + 3b — 2c; 4x2 — 2y + 5a — 1.
Każdy jednomian występujący w sumie algebraicznej nazywa się
wyrazem tej sumy.
a, 36, -2c — to wyrazy pierwszej sumy,
4x2, —2y, 5a, — 1 — to wyrazy drugiej sumy.
-6-
Wyrazy sumy różniące się co najwyżej współczynnikiem cyfrowym
nazywamy wyrazami podobnymi.
W sumie —5xy — 2x + 7xy + 55 wyrazy podobne to: —5xy i 7xy.
W sumie algebraicznej możemy dokonywać tzw. redukcji wyrazów po­
dobnych; jest to podstawowe przekształcenie wyrażenia algebraicznego po­
legające na zastąpieniu wyrazów podobnych jednym wyrazem, np.:
5x + 3x — 7 = 8x — 7
4x2 — 8a + 2x2 — a — 4 - 6x2 — 9a — 4.
1. Wymień wyrazy następujących sum algebraicznych:
a) 4x - 5xy + 3y — 2, d) - 4,8y - 8xy + 1,
b) 20xy2 — 3xy + 0,4a: — 4y, e) lOOm — 4,8mn + l^n.
O
c) 0,85a + 3ab — -5 + 4,5,
2. Z podanych jednomianów utwórz wszystkie możliwe sumy algebra­
iczne:
a) 4a, -2ab, 335; b) xy2,-lx,4y; c) -2x, -4,by, -3xy, +5.
3. Z następujących sum algebraicznych wypisz wyrazy podobne:
a) Sx - 2a + 4x + 0,la: + a;
b) 4x2 — 2a + 3a2 — 2x2 + 7,5a2;
c) 8y3 - y + 3,25 - 4,5y3 + 115;
d) l^a25 - 3a + 4,25a25 — 9a + 2,15a2.
4. Następujące sumy wyrazów podobnych zastąp jednym wyrazem:
a) 3x + 5x — 7x + 8x =
b) 25a:2 — 8a;2 + 15a:2 — la:2 =
1 2
c) 13a — 4a -f 5-a + 8-a - 2a + a =
o o
d) ax — 4ax — 8,bax + l^aa; — 0,7bax =
5. Przekształć następujące jednomiany na sumy:
\) —3a; b) 4,bxy; c) 100a5c; d) l,75a:2; e) — f) 210x2y3.
-7-
6. Wykonaj redukcję wyrazów podobnych:
a) 4xy + x + y — xy =
b) 5ab — 106 + 8ab — 3a =
3
c) -x2 — 2xy — 0,5a:2 — 3yx —
d) -l,5p<7 + 6p — l,25p + 2qp =
e) 40m — 26mn + 7m — 32mn =
f) 3^x2y — 2x2 + 4,5yx2 - l,6x2 =
g) 5,6n — 4,8mn — 0,8nm — 6,4n — 4m —
2
h) -x — 2,2xy — 0,6x + 1,2xy — 0,4xy + 2 =
5
7, Wykonaj redukcję wyrazów podobnych:
a) 5ab — 4a2b2 — 8ab2 + 3ab — ab2 — Aa2b2 —
b) 23a2bc + 10abc2 — 15a2bc — abc2 + 2a2bc + abc2 =
c) 3 + 2xy — 7x + 8xy + l,2a; — 6 + 11 xy — y2 + 2Zx — 8 =
14a2 + 2a — 4a6 + 32a — 6a2 + 15 — 18a6 + 9a — lla2 — 60 =
e) 14,5m2 — llm2 + 0,5m + 3m + 9,2 + 4,5m — l,6n + 5,5 — 0,8n —11 =
f) 6^a:2 + 15y — 0,5a:2 + 5xy + 8y — 6 + 3xy + 1,6 — 9y + 2,5x2 =
¿i
8. Zredukuj wyrazy podobne i oblicz wartość liczbową otrzymanych wy­
rażeń dla x — — 1 i y — 3:
a) 3a:2 — 2x2 — lla:2 =
b) 5y3 - l^y3 + 6,5y3 =
c) 56cc2 —4y — 2>2x2 - 6y =
d) 2y2 - 3y + 2y - 10ąy2 + 6y —
e) —x3 — y2 + 2x3 — y2 + 2 =
f) 5xy — 6a;2 — xy + 3x2 + 15xy =
g) y2 — 3x2y + 6y2 — 4x2y + 8y2 =
h) 2x2y2 - 5xy + 3x2y2 — 4xy + x2y2 =
*9. Wykonaj redukcję wyrazów podobnych:
3 2 1 1
a) - abc — -bac + 3-bca + 2,25ac6 — 6,5 cba — 12-cab =
rz O ó &
b) ‘\xy2 -0,3x2y -i,lxy2 +4,2 + I2xy2 + 7,8 + 0,la:2y- 1 + 0,2xy2 =
5
-8-