Table Of ContentGroupes de réflexions finis et algèbres de
Iwahori-Hecke
Nicolas Jacon
18 janvier 2011
Table des matières
1 Groupes de Réflexions 2
1.1 Définitions et premiers exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Système de racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Eléments d’un groupe de réflexions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.4 Groupes de réflexions comme groupes de Coxeter . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5 Classification et sous-groupes paraboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2 Algèbres de Iwahori-Hecke comme algèbre symétrique. 18
2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.2 Théorie des représentations des algèbres symétriques . . . . . . . . . . . . 25
2.3 Conséquences sur les algèbres de Iwahori-Hecke . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Représentations d’algèbres de Iwahori-Hecke 30
3.1 Le procédé de spécialisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Matrices de décomposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 Le théorème de déformation de Tits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4.1 Représentations irréductibles de C[W] . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4.2 Représentations irréductibles de H . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
K
3.4.3 Quelques spécialisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.5 La conjecture de James . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
1
Chapitre 1
Groupes de Réflexions
Le prototype du groupe de réflexions est le groupe symétrique. Ce groupe peut être
réalisécommesous-groupedugroupelinéairesurunespaceeuclidienV oùchaquetranspo-
sitioncorrespondàunematricedepermutation.Nousallonsicigénéralisercettedéfinition
pour aboutir à celle des groupes de réflexions. Le but du chapitre sera ensuite d’étudier
la structure de ces groupes et de développer une combinatoire permettant de les étudier
de façon aisée. Nous donnerons ensuite une présentation de ceux ci par générateurs et
relations, c’est à dire un moyen particulièrement simple de les définir entièrement. Cette
présentation sera ensuite très utile lorsqu’il s’agira de les "déformer" afin de définir leurs
algèbresdeIwahori-Heckedanslechapitresuivant.Enfin,nousdonnonsuneclassification
decetypedegroupesenexhibantlesdifférentesfamillesàlaquelleungroupederéflexions
(irréductible) peut appartenir.
Ce chapitre est hautement inspiré de la partie §64 du livre de Curtis et Reiner [4]
ainsi que du livre de Geck et Pfeiffer [9]. On citera aussi Bourbaki [2] et le livre d’Hum-
phreys comme autre référence [10]. Enfin, le polycopié de Jean Michel [13] étudie une
généralisation de ces groupes de réflexions : les groupes de réflexions complexes.
1.1 Définitions et premiers exemples
Soit V un espace euclidien réel c’est à dire un espace vectoriel muni d’un produit
scalaire, une forme bilinéaire
( , ):V ×V →R
symétrique et définie positive. On note
O(V)={s∈EndR(V) | ∀ξ,η ∈V, (s(ξ),s(η))=(ξ,η)}
le groupe des transformations orthogonales de V.
Définition 1.1.1. Une réflexion s ∈ EndR(V) est un élément de O(V) tel que s (cid:54)= 1 et
tel que s fixe chaque élément d’un hyperplan de V.
La proposition suivante nous donne la forme explicite d’une réflexion en fonction du
produit scalaire :
Proposition 1.1.2. Pour toute hyperplan H de V, il existe une unique réflexion fixant
les éléments de H. De plus, si α∈H⊥, on a :
– s2 =1
(ξ,α)
– Pour tout ξ ∈V, s(ξ)=ξ−2 α.
(α,α)
2
Démonstration. Soit α∈H⊥, on a alors V =H ⊕(cid:104)α(cid:105). De plus, s est l’identité sur H et
comme s∈O(V)⊂GL(V), on a s(α)∈H⊥. Or H⊥ est de dimension 1 donc s(α)=tα
pou t ∈ R et la formule (s(α),s(α)) = (α,α) implique que t = ±1. Comme s (cid:54)= 1, il suit
t=−1 c’est à dire s(α)=−α. On a donc s2 =1. La formule
(ξ,α)
s(ξ)=ξ−2 α
(α,α)
est vérifiée si ξ ∈H et si ξ ∈H⊥ donc si ξ ∈V. Ceci prouve également l’unicité.
Il suit de la définition et du théorème qu’une réflexion a pour polynôme minimal
(X−1)(X+1) et donc qu’elle est diagonalisable et semblable à une matrice du type :
−1 0 ··· 0
0 1 ··· 0
... ... ... ...
0 0 ··· 1
On sait aussi maintenant qu’à chaque α∈V \{0} correspond une unique réflexion fixant
l’hyperplan (cid:104)α(cid:105)⊂V. On la note s .
α
Proposition 1.1.3. Si α∈V \{0}, pour tout g ∈O(V), on a
gs g−1 =s
α g.α
Démonstration. Il suffit de remarquer que gs g−1 est un élément de O(V) différent de
α
l’identité et fixant l’hyperplan (cid:104)g.α(cid:105)⊥ =g((cid:104)α(cid:105)⊥). On utilise ensuite la proposition 1.1.2
Voici la définition d’un groupe de réflexions :
Définition 1.1.4. Un groupe de réflexions réelles est un sous-groupe de O(V) engendré
par des réflexions.
Dans ce cours, nous allons exclusivement nous intéresser aux groupes de réflexions
finis.
Exemple 1.1.5.
1. Soit V = R2 muni du produit scalaire usuel, le groupe diédral D d’ordre 2m
m
est l’ensemble des éléments de O(V) laissant un polygône à m cotés centré en 0
invariant. On peut montré que D est engendré par :
m
2kπ
– les rotations centrées en O d’angle .
m
– les réflexions d’axes les diagonales du polygône.
2π
Une rotation d’angle est en fait le produit de deux réflexions d’axes faisant un
m
π
angle de . Il suit que D est un groupe de réflexions.
m m
2. Le groupe symétrique S se plonge dans O(Rn) en associant à σ ∈ S l’endo-
n n
morphisme qui à chaque élément e de la base canonique associe e . Les trans-
i σ(i)
positions (i,j) engendrent ce groupe et envoient e − e sur e − e . De plus, si
i j j i
n
(cid:88)
x = α e ∈ (e −e )⊥ alors α = α et (i,j) fixe donc (e −e )⊥. Ainsi, le
k k i j i j i j
k=1
groupe symétrique est un groupe de réflexions réelles.
3
Remarque 1.1.6. On peut aussi considérer une généralisation de cette définition en étu-
diantlesélémentsinversiblesd’ordrefinid’unC-espacevectorielfixantunhyperplan.On
parle alors de réflexions complexes et les groupes associés sont des groupes de réflexions
complexes (voir [13]).
Ondésiremaintenantétudierdemanièrepréciselastructuredesgroupesderéflexions.
1.2 Système de racines
Définition 1.2.1. Un système de racines est un ensemble fini ∆ de vecteurs de V tel que
1. 0∈/ ∆ et les éléments de ∆ engendrent V.
2. Si α∈∆ alors −α∈∆. De plus, si c.α∈∆ pour c∈R alors c=±1.
3. Pour tout α∈∆, on a
s (∆)=∆
α
2(α,β)
Lesélémentsde∆sontappeléslesracines.Sideplus,pourtoutα,β ∈∆,ona ∈Z
(β,β)
(c’est à dire s (α) est une combinaison linéaire d’éléments de ∆ à coefficients dans Z),
β
on dit que le système est cristallographique.
Exemple 1.2.2. Sidim(V)=1etsiα∈V \{0},onaW =(cid:104)s (cid:105)((cid:39)Z/2Z).∆={α,−α}
α
est un système de racine.
On associe maintenant à chaque système de racines un groupe de réflexions finis et
réciproquement.
Proposition 1.2.3.
1. Si ∆ est un système de racines de V alors W(∆)=(cid:104)s | α∈∆(cid:105) est un groupe de
α
réflexions finis.
2. Si W est un groupe de réflexions finis, il existe un système de racines ∆ tel que
W =W(∆)=(cid:104)s | α∈∆(cid:105).
α
Démonstration.
1. Comme ∆ est fini, on a un nombre fini de valeurs possibles pour les w(α) d’après
la propriété (3) de la Definition 1.2.1. Donc si W est infini, il existe des éléments
w et w distincts de W tels que w (α)=w (α) pour tout α∈∆. Ceci est absurde
1 2 1 2
car ∆ contient une base de V.
2. On pose
Ensemble des vecteurs unitaires orthogonaux aux hyperplans
∆=
fixés par les réflexions de W
On montre que ∆ est un système de racines de (cid:104)∆(cid:105).
– Soit s est une réflexion de W alors par définition, il existe α∈∆ tels que s=s .
α
On a :
W =(cid:104)s | α∈∆(cid:105).
α
– Soit α∈∆. Si β ∈∆, s .β est unitaire (car s ∈O(V)) et orthogonal à l’hyper-
α α
plan fixé par la réflexion s =s s s ∈W (d’après la Proposition 2.1). Il suit
sα.β α β α
que s .β est dans ∆. Ce dernier point prouve (3) de la Def. 1.2.1, (1) et (2) sont
α
évidents.
4
Chaque groupe de réflexions fini possède a priori plusieurs systèmes de racines. On va
maintenant chercher à lui en associer un remarquable grâce à une notion de minimalité.
Pour ceci, nous allons tout d’abord partager un ensemble de racines arbitraire en deux
sous-ensembles : les racines positives et les racines négatives. Cette notion de positivité
est liée au choix d’un élément de V. Soit donc ∆ un système de racines. Comme cet
ensemble est fini, il existe ξ ∈V tel que
(ξ,α)(cid:54)=0 pour tout α∈∆ ((cid:63))
On peut maintenant partitionner notre ensemble ∆ :
∆=∆ξ (cid:116)∆ξ
+ −
où
∆ξ ={α∈∆ | (α,ξ)>0} et ∆ξ ={α∈∆ | (α,ξ)<0}
+ −
Les éléments de ∆ξ sont les racines positives tandis que ceux de ∆ξ sont les racines
+ −
négatives. On a en fait ∆ξ =−∆ξ . Bien sûr, cette partition dépend fortement du choix
+ −
de ξ ∈V vérifiant ((cid:63)).
(cid:88) (cid:88)
Remarquons que si c α=0 pour des réels positifs c alors c (α,ξ)=0 et
α α α
α∈∆ξ α∈∆ξ
+ +
donc tous les c sont nuls.
α
Le théorème fondamental suivant va nous permettre de définir notre ensemble de
racines remarquables :
Théorème 1.2.4. Soit Π={α ,...,α }⊂∆ξ tel que :
1 n +
n
(cid:88)
(i) α∈∆ξ si et seulement si α= a α avec a ≥0 pour i=1,...,n non tous nuls.
+ i i i
i=1
(ii) Π est minimal (en cardinalité) pour la propriété (i).
Alors les propriétés suivantes sont vérifiées.
1. Π est une base de V
2. Pour tout α∈∆, il existe des réels a ≥0 pour i=1,...,n tels que
i
n
(cid:88)
α=± a α
i i
i=1
3. Pour tout 1≤i<j ≤n, on a (α ,α )≤0.
i j
Démonstration. L’assertion (2) est évidente pour les éléments de ∆ξ. Si α ∈ ∆ξ alors
+ −
−α∈∆ξ d’où le résultat.
+
Montrons (3). On sait que pour tout 1≤i<j ≤n, on a
s (α )=α −a α ∈∆
αi j j ji i
(α ,α )
avec a = 2 j i . On veut montrer que (α ,α ) est négatif ou nul. Pour ceci, on
ji (α ,α ) j i
i i
raisonne par l’absurde en supposant a >0. Deux cas sont à considérer.
ji
– Si s (α )∈∆ξ alors il existe des réels a ≥0 pour k =1,...,n tels que
αi j + k
n
(cid:88)
s (α )= a α
αi j k k
k=1
5
On a donc
(cid:88)
a α +(a −1)α +(a +a )α =0
k k j j i ji i
k(cid:54)=i,j
d’après la remarque précédent l’énoncé du théorème, on obtient a −1 < 0 mais
j
alors
(cid:88)
(1−a )α = a α +(a +a )α =0∈∆ξ
j j k k i ji i +
k(cid:54)=i,j
ce qui contredit la minimalité de de Π.
– Si s (α ) ∈ ∆ξ alors −s (α ) ∈ ∆ξ. Donc il existe des réels a ≥ 0 pour i =
αi j − αi j + i
1,...,n tels que
n
(cid:88)
s (α )=− a α
αi j k k
k=1
On a donc
n
(cid:88)
a α =−α +a α =0
k k j ji i
k=1
n
(cid:88)
on obtient a −a < 0 et donc (a −a )α = a α +α ce qui contredit la
i ji ji i i k k j
k=1
k(cid:54)=i
minimalité de Π.
Donc (2) est prouvé.
Montrons (1). On sait que ∆ξ engendre ∆ qui engendre V donc Π engendre V. Reste
+
à montrer que Π est une famille libre. On raisonne par l’absurde en supposant que l’on a
une relation du type
(cid:88) (cid:88)
ρ:= a α = b α ∈∆ξ
i i j j +
i∈I j∈J
avec a ,b >0 pour i∈I et j ∈J et I∩J =∅. Alors, on obtient
i j
(cid:88)
(ρ,ρ)= a b (α ,α )>0
i j i j
i∈I,j∈J
ce qui est absurde car tous les produits scalaires (α ,α ) sont négatifs d’après (3).
i j
Proposition 1.2.5. Tout ∆ξ contient un unique ensemble Π satisfaisant les propriétés
+
(1), (2) et (3) du théorème précédent. De plus, tout ensemble satisfaisant ces conditions
est contenu dans un ∆ξ pour un ξ ∈V satisfaisant ((cid:63)).
+
Démonstration. On a déjà montré l’existence d’un ensemble Π vérifiant (1), (2) et (3).
SupposonsqueΠ={α ,...,α }estunensemblecontenudans∆ξ vérifiantcespropriétés
1 n +
n
(cid:88)
alors si α ∈ ∆ξ, on a α = ± a α avec a > 0 par (2). Or Π ⊂ ∆ξ donc (α ,ξ) > 0
+ i i i + i
i=1
n
(cid:88)
pour tout i = 1,...,n et comme (α,ξ) > 0, on obtient α = a α . De plus, si un
i i
i=1
(cid:88)
des α ∈ Π s’écrit a β avec a ≥ 0 et β ∈ ∆ξ pour i = 1,···n, on aboutit à une
j i i i i +
i∈I
contradiction avec (1). Il suit que Π vérifie nécessairement les propriétés (i) et (ii) du
théorème et est caractérisé par ceci ce qui prouve l’unicité.
Maintenant,soitΠ={α ,...,α }vérifiant(1),(2)et(3).Ilexistealorsξ ∈V telque
1 n
(ξ,α ) > 0 pour tout i = 1,...,n. Alors ∆ξ est l’ensemble des combinaisons linéaires à
i +
6
n
(cid:88)
coefficientspositifsdesélémentsdeΠ.Eneffet,siα∈∆ξ,alorsα=± a α aveca ≥0
+ i i i
i=1
n
(cid:88)
pour i = 1,··· ,n. La propriété (α,ξ) > 0 implique que α = a α . Réciproquement,
i i
i=1
n
(cid:88)
α = a α avec a ≥ 0 pour i = 1,··· ,n est dans ∆ξ. La donnée de Π définit ∆ξ de
i i i + +
i=1
manière unique.
Définition 1.2.6. Un ensemble Π vérifiant les propriétés (1) (2) et (3) du théorème
est appelé un système fondamental (ou système simple). Les racines de Π sont appelés
les racines fondamentales (ou racines simples), les réflexions associés s avec α ∈ Π, les
α
réflexions fondamentales (ou réflexions simples).
On vient donc de voir qu’à chaque système de racine et à chaque choix de ξ satis-
faisant ((cid:63)) est associé un unique système fondamental. Réciproquement, tout système
fondamental définit un unique système de racine et un unique ∆ξ que l’on note à partir
+
de maintenant ∆ et qui est l’ensemble des combinaisons linéaires à coefficients positifs
+
des éléments de Π. Soitun telsystème fondamental Π={α ,...,α }, alors tout α∈∆ξ
1 n +
s’écrit de manière unique sous la forme
n
(cid:88)
α= a α
i i
i=1
n
(cid:88)
où les a sont des réels positifs. Le réel positif a est appelé la hauteur de α. Par
i i
i=1
définition, les éléments de Π sont des racines de ∆ξ de hauteur 1.
+
Le but est de montrer que les réflexions simples engendrent le groupe de réflexions
associé.
Proposition 1.2.7. SoitΠunsystèmefondamental.Soitα∈Πetβ ∈∆ telqueβ (cid:54)=α
+
alors s .β ∈∆
α +
n
(cid:88)
Démonstration. On pose Π={α,α ...,α }. On a β =a α+ a α avec a ≥0 pour
1 n 0 i i i
i=1
tout i = 0,...,n. On peut supposer que a > 0 par la propriété (2) de la Def. 1.2.1. On
1
obtient
s .β =β+cα
α
pour un réel c. Le coefficient de s .β est a qui est positif. Par (2), on a s .β ∈∆ .
α 1 α +
Théorème 1.2.8. Soit Π={α ,...,α } un système fondamental dans ∆. Alors on a
1 n
W =(cid:104)s | i=1,...,n(cid:105).
αi
De plus, pour tout α∈∆, il existe i=1,...,n et w ∈W tels que α=w.α .
i
Démonstration. On pose
W =(cid:104)s | i=1,...,n(cid:105)
0 αi
Soit α ∈ ∆ tel que α ∈/ Π. On considère alors l’ensemble W α∩∆ . Cet ensemble
+ 0 +
est non vide car α ∈ ∆ . Soit γ un des éléments de hauteur minimal dans W α∩∆ .
+ 0 +
7
Supposons que γ ∈/ Π alors (γ,α )>0 pour un i=1,··· ,n. On a s .γ ∈∆ d’après la
i αi +
proposition 1.2.7. De plus, on a :
(γ,α )
s .γ =γ−2 i α
αi (α ,α ) i
i i
Donc la hauteur de s .γ est inférieur à celle de γ. Ceci est aburde donc γ est dans Π.
αi
Onvientdoncdemontrerquepourtoutα∈∆ ,ilexistew ∈W telqueγ =w.α∈Π
+ 0
d’où α=w−1.γ. On obtient s =w−1s w ∈W . Si α∈∆ , on a s =s ∈W d’où
α αi 0 − α −α 0
W ⊂W
0
Exemple 1.2.9. Soit {e ,...,e } base orthonormale de Rn+1. On pose
1 n+1
∆={e −e | 1≤i,j ≤n+1, i(cid:54)=j}.
i j
On considère l’hyperplan de Rn+1 :
(cid:40)n+1 n+1 (cid:41)
(cid:88) (cid:88)
V = a e | (a ,...,a )∈Rn+1, a =0
i i 1 n+1 i
i=1 i=1
Onvoitfacilementque∆estunsystèmederacinesdansV,ilestmêmecristallographique.
Un système fondamental associé est
Π={α :=e −e | i=1,...,n}
i i i+1
En fait, on a pour tout i=1,··· ,n et k =1,··· ,n :
e si k (cid:54)=i,i+1
k
s (e )= e si k =i+1
αi k i
e si k =i
i+1
IlsuitqueW(∆)estisomorpheaugroupesymétriqueS ,laréflexions corespondant
n+1 αi
à la transposition (i,i+1) (i=1,...,n).
1.3 Eléments d’un groupe de réflexions
Le but de la suite de ce chapitre est d’obtenir une "présentation" des groupes de ré-
flexionspargénérateursetrelationsc’estàdire,déterminer"toutes"lesrelationsvérifiées
parlesgénérateursdecesgroupes.Lapremièreétapeconsisteàétudierendétaillaforme
des éléments de ces groupes.
Définition 1.3.1. Soit ∆ un système de racines, Π un système fondamental et ∆ les
+
racines positives. Soit w ∈W. Il existe alors α ,··· ,α ∈Π tel que
1 k
w =s ···s
α1 αk
Si k est minimal, on note l(w)=k et on dit que k est la longueur de w. Dans ce cas, on
dit que s ···s est une expression réduite de w.
α1 αk
Pour w ∈W, on note
∆± ={α∈∆ | w.α∈∆ }
w + ±
et
N(w)=|∆−|.
w
Par exemple, par la proposition 1.2.7, si α∈Π, on a
∆− ={α}
sα
et donc N(s )=1.
α
8
Lemme 1.3.2. Pour tout w ∈W et α∈Π, on a
(cid:26)
N(w)+1 si w.α∈∆
N(ws )= +
α N(w)−1 si w.α∈∆
−
Démonstration. Supposons que w.α∈∆ et montrons qu’alors
+
∆− ={α}(cid:116)s (∆−)
wsα α w
ce qui prouvera la première partie de la proposition.
– On a ws α=−wα∈∆ donc α∈∆− .
α − wsα
– On a α∈/ s ∆− sinon s α=−α∈∆− ce qui contredit le fait que ∆− ⊂∆ .
α w α w w +
– Comme α∈/ ∆−, d’après la proposition 1.2.7, s ∆− ⊂∆ et s ∆− ⊂∆− car si
w α w + α w wsα
β ∈∆−, on a ws s β =wβ ∈∆ .
w α α −
Tout ceci implique
{α}(cid:116)s (∆−)⊂∆−
α w wsα
Soit maintenant β ∈ ∆− tel que β (cid:54)= α alors ws β ∈ ∆ . Comme s β ∈ ∆ , on a
wsα α − α +
s β ∈∆−. Donc β ∈s ∆−. Ceci prouve l’inclusion réciproque.
α w α w
Supposons maintenant que w.α∈∆ , on a alors ws α∈∆ et il suit que
− α +
∆− =∆− ={α}(cid:116)s (∆− )
w wsαsα α wsα
Proposition 1.3.3 (Loidesimplification). Soit Π un système fondamental et w ∈W tel
que w =s ···s avec α ∈Π pour i=1,··· ,m. Supposons m>N(w) alors il existe
α1 αm i
1≤i≤j ≤m tel que
w =s ···(cid:54)s ···(cid:54)s ···s
α1 αi αj αm
Démonstration. Il existe j tel que
N(s ···s )=N(s ···s )−1
α1 αj+1 α1 αj
D’après le lemme précédent, on a donc
s ...s α ∈∆
α1 αj j+1 −
Il existe i tel que
α ∈∆ , s α ∈∆ ,··· ,s ···s α ∈∆ , s ···s α ∈∆
j+1 + αj j+1 + αi+1 αj j+1 + αi αj j+1 −
Posons β = s ···s α . On a donc β ∈ ∆ et s β ∈ ∆ . Par le lemme, on en
αi+1 αj j+1 + αi −
déduit β =α . On a donc
i
s =s =gs g−1
αi β αj+1
en posant g = s ···s puis en utilisant la proposition 2.1 en remarquant que β =
αi+1 αj
gα . On obtient donc
j+1
s ···s =s ···s .
αi αj αi+1 αj+1
En substituant dans l’expression :
w =s ···(s ···s )s ···s
α1 αi αj αj+1 αm
on obtient le résultat désiré.
9
