Table Of ContentHochschultext
Ingolf Grieger
Graphische
Datenverarbeitung
Mathematische Methoden
RechnerunterstUtztes Entwerfen mit Geometriezellen
Mit 66 Abbildungen
Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York
London Paris Tokyo 1987
Dr.-Ing. habil. Priv.-Doz.lngolf Grieger
Institut fOr Statistik und Dynamik
der Luft-und Raumfahrtkonstruktionen
UniversiUit Stuttgart
Pfaffenwaldring 27
7000 Stuttgart 80
ISBN-13: 978-3-540-17895-8 e-ISBN-13: 978-3-642-97024-5
DOl: 10.1007/978-3-642-97024-5
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Grieger,lngolf:
Graphische Datenverarbeitung: math. Methoden/lngolf Grieger.
Berlin; Heidelberg; New York; London; Paris; Tokyo: Springer, 1987
(Hochschultext)
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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1987
Softcover reprint of the hardcover 1s t edition 1987
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Druck: Color-Druck, G. Baucke, Berlin; Bindearbeiten: Liideritz & Bauer, Berlin
2160/3020-543210
Das vor1iegende Buch richtet sich an Informatiker und an Interessenten aus
den Ingenieur- und Naturwissenschaften.
Das Buch ist aus Vor1esungen und als Tei1 der wissenschaft1ichen Forschung
am Institut fur Statik und Dynamik der Luft- und Raumfahrtkonstruktionen
(ISD) der Faku1tat fur Luft- und Raumfahrttechnik der Universitat Stuttgart
entstanden. Es wurde yom Autor unter dem Tite1 "Rechnerunterstutztes Ent
werfen mit Geometrieze11en" a1s Habi1itationsschrift der Faku1tat fur Luft
und Raumfahrttechnik der Universitat Stuttgart fur das Fachgebiet "Graphi
sche Datenverarbeitung" am 10. Juni 1985 vorge1egt.
Tag der Habilitation: 8. Ju1i 1986
Berichter: Professor Dip1.-Ing. Franz-Joseph Arendts
Mitberichter: Professor Dr. rer. nat. Wende1in Degen
Beiden Berichtern, Herrn Professor Arendts und Herrn Professor Degen, moch
te ich meinen tiefempfundenen Dank fur die fruchtbaren Anregungen und ihr
Interesse an dieser Arbeit sowie die Ubernahme der Berichte ausdrucken.
An dieser Stelle mochte ich sehr herz1ich allen Ko11egen am ISD sowie den
Studenten danken, die direkt oder indirekt zum Ge1ingen der Arbeit beige
tragen haben, Herrn Dip1.-Ing. Gunter Wagemann fur seine stete Diskussions
bereitschaft und Herrn cando aero Michael Truber fur das P10tten der Bi1-
der bei der F1achendefinition mit finiten E1ementen.
Zu besonderem Dank bin ich Herrn cando aero Wolfgang Muller fur das gewis
senhafte Erste11en und Vorbereiten eines druckreifen Manuskriptes ver
pf1ichtet und Herrn Rudolf Kroner fur das sorgfa1tige Anfertigen der Zeich
nungen und der zah1reichen G1eichungen.
Besonderer Dank gebuhrt meiner Frau Ede1gard und unseren Kindern Eiko und
Inga fur ihr Verstandnis und ihre lobenswerte Gedu1d wahrend der ganzen
Arbeit. Dem Springer-Verlag danke ich fur die stets freund1iche Zusammen
arbeit und die Aufnahme des Buches in seiner Reihe.
Stuttgart, im Marz 1987
Ingo1f Grieger
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung........... . • •• 1
1.1 Anmerkungen zur Schreibweise •••• 3
2 Rechnerunterstutztes Entwerfen und geometrisches Modellieren 4
2.1 Problemstellung •••••••••••••••••••• 5
2.2 Geometrische Modelle ••••••••••••• 8
2.3 Einsatz graphischer Datenverarbeitungsanlagen 11
3 Darstellungsverfahren der graphischen Datenverarbeitung • 13
3.1 Homogene Koord i naten • • • • • • • • • • • 13
3.2 Parameterdarstellung 17
3.3 Kurvendarstellung ••••••••• 18
3.3.1 Rationale Kurven •••••• • 19
3.3.2 Ganze rationale kubische Kurve •••••••••
• 20
3.3.3 Spline - Kurven ••••••••••••••••• • • 23
3.3.4 Bezier - Kurven
• • 30
3.3.5 B-Spline - Kurven 36
3.4 Flachendarstellung •• • • 43
3.4.1 Coons'sche Flachen 46
3.4.2 Bikubische Flache 52
3.4.3 Bezier - Flachen •• • • 55
3.4.4 B-Spline - Flachen ••••
• 59
3.4.5 Coons'sche Dreiecksflachen . • • . . • 60
3.5 Korperdarstellung •••••• • • • • • 61
4 Grundzuge der Methode der finiten Elemente .66
4.1 Problemstellung •••• • •••• • • • • 66
4.2 Grundgleichungen ••••••• • • 67
5 Definition von Geometriezellen
• 73
5.1 Problemstellung • • 73
5.2 Grundgleichungen • • • • • 76
5.3 Kurvenzellen ••• 82
5.4 Flachenzellen
• • B8
VII
5.5 Korperzellen •••••• 102
5.6 Zellen mit Ableitungen •••• 120
6 Entwerfen mit Geometriezellen und Anwendungen 132
6.1 Geometrische Operationen •••••••• 132
6.2 Zelltransformation in die Bezier - Form 144
6.3 Anwendung in der Netzgenerierung 149
6.4 Eingabe von geometrischen Daten 154
7 Flachendefinition mit finiten Elementen 160
7.1 Problemstellung 160
7.2 Grundgleichungen • 161
7.3 Anwendungsbeispiel 163
8 Zusammenfassung 168
9 Literatur 170
10 Sachverzeichnis 186
Bildverzeichnis
Bild 1. Iterativer Entwurfs - Berechnungs - Proze6 6
Bild 2. Einteilung der Formen 9
Bild 3. Mathematische Form der kubischen Kurve ••• • • 22
Bild 4. Bezeichnungen der kubischen Spline - Kurve • 24
Bild 5. Randbedingungen der kubischen Spline - Kurve • 26
Bild 6. Bezeichnungen der Bezier - Kurve •••••• • 29
Bild 7. Bernstein - Bindefunktionen der quintischen Bezier - Kurve •• 33
Bild 8. Algorithmus von de Casteljau ••••••••••••• • • 34
Bild 9. Segmentierung der Bezier - Kurve ••••••••••••••• 35
Bild 10. Bezeichnungen und Bindefunktionen der B-Spline - Kurve •••• 37
Bild 11. Periodische und nichtperiodische B-Spline - Bindefunktionen 39
Bild 12. Modifikationen der B-Spline - Kurve ••••• 40
Bild 13. Konvexe Hulle des Polygons der B-Spline - Kurve • 42
Bild 14. Beschreibungsverfahren fur Flachen •••••• • •• 44
Bild 15. Bezeichnungen der Coons'schen Flache • • • • • 47
Bild 16. Lineare und kubische Bindefunktionen der Coons'schen Flache 50
Bild 17. Mathematische Form der bikubischen Flache • • • • • 53
Bild 18. Bezeichnungen der bikubischen Bezier - Flache •••••••• 56
Bild 19. Kubische dreieckige Bezier - Flache ••••• 58
Bild 20. Struktur eines komplexen Kerpers • • • • • 62
Bild 21. Beschreibungsverfahren fur Kerper • • • • • 63
Bild 22. Typische Grundformen von Kerpern • • 65
Bild 23. Modell mit endlichen Zellen • • • • 75
Bild 24. Parametrische Zelldarstellung in dimensionslosen Koordinaten 79
Bild 25. Viereckige Flachenzelle ••••••• • • • • • • • 80
Bild 26. Glieder der Ansatze fur Kurvenzellen •••• • • 83
Bild 27. Kurvenzelle CURVE2 ••••••••• • • • • • 85
Bild 28. Kurvenzelle CURVE3 •••••••••• • • • • 86
Bild 29. Kurvenzelle CURVE4 •••••••••• • 87
Bild 30. Glieder der Ansatze fur dreieckige Flachenzellen • 89
Bild 31. Glieder der Ansatze fur viereckige Flachenzellen ••••• 90
Bild 32. Dre1eckskoordinaten ••••• • • • • • • 91
Bild 33. Flachenzelle TRIA3 • 92
B11d 34. Flachenzelle TRIA6 ••• 93
IX
Bild 35. Flachenzelle TRIA10 94
Bild 36. Flachenzelle QUAD4 •• 97
Bild 37. Flachenzelle QUAD9 • • • • • 98
Bild 38. Flachenzelle QUAD16 • 99
Bild 39. Glieder der Ansatze fur Tetraeder - Korperzellen 103
Bild 40. Glieder der Ansatze fur Hexaeder - Korperzellen 104
Bild 41. Glieder der Ansatze fur Pentaeder - Korperzellen 105
Bild 42. Tetraederkoordinaten ••••••••••• 106
Bild 43. Korperzelle TET4 ••••••••••••••• 107
Bild 44. Korperzelle TET10 108
Bild 45. Korperzelle TET20 109
Bild 46. Korperzelle HEXE8 112
Bild 47. Korperzelle HEXE27 113
Bild 48. Korperzelle HEXE64 114
Bild 49. Korperzelle PENT6 117
Bild 50. Korperzelle PENT18 118
Bild 51. Korperzelle PENT40 119
Bild 52. Stutzwerte fur Kurven- und Flachenzellen mit Ableitungen 121
Bild 53. Quintische Dreieckzelle ••••••••••••••• 125
Bild 54. Bezeichnungen der quintischen Dreieckzelle ••••••• 126
Bild 55. Geometrische Verhaltnisse des infinitesimalen Elements 133
Bild 56. Abbildung der Zellgeometrie •••••••••••••••• 139
Bild 57. Positionieren in abgebildeten Zellen ••• 140
Bild 58. Extraktion geometrischer Formen einer Zelle 143
Bild 59. Zelltransformation in die Bezier - Form 148
Bild 60. Netzgenerierung - Beschreibung der Geometrie 153
Bild 61. Netzgenerierung - Unterteilung einer Zelle •• 157
Bild 62. Netzgenerierung - Zellen zur Beschreibung der Geometrie 158
Bild 63. Generiertes Netz einer Rohrverzweigung •••••••• 159
Bild 64. Flachendefinition mit finiten Elementen •••••••••• 164
Bild 65. Beispiele zur Flachendefinition mit finiten Elementen 165
Bl1d 66. Anwendungsbeispiel w = (1 - x)2 (1 _ y)2 • • • • • • • • 167
1 Einleitung
Rechnerunterstutztes Entwerfen {computer-aided design) 1st eine D1sziplin,
die in vielen Bereichen des Ingenieurwesens und auch auBerhalb von zuneh
mender Bedeutung ist. Man versteht darunter all die Techniken, bei denen
elektronische Rechenanlagen zum Entwurf von Produkten Verwendung finden.
Besonders hat die Entwicklung graphischer Aus- und Eingabegerate den Ein
satz des Digitalrechners in diesem Bereich beschleunigt und fur den Inge
nieur bzw. Konstrukteur (oder allgemein Designer) interessanter gemacht.
Sowohl beim Entwurf als auch bei der nachfolgenden Fertigung spielt die
Geometrie eine fundamentale Rolle. Wahrend der konventionelle Entwurf am
zweidimensionalen Zeichenbrett durchgefuhrt wird, muBten fur den Einsatz
des Rechners spezifische Methoden entwickelt werden. Diese basieren auf
einer mathematischen Beschreibung der geometrischen Form, die es beispiels
weise erlaubt, Zeichnungen zu erstellen oder Befehle fur numerisch gesteu
erte Werkzeugmaschinen zu erzeugen.
Die rechnerunterstutzte Verarbeitung geometrischer Informationen (computer
aided design) 1st ein zentraler Punkt beim Rechnereinsatz im Entwurfsbe
reich. Man versteht darunter das mathematische Modell, die Manipulation,
die Analyse und Synthese von Gestaltinformationen im Rechner. Dabei ist das
computerorientierte Modell der geometrischen Objekte vom Verwendungszweck
abhangig. Bei Anwendungen der Luftfahrttechnik, des Automobil- und Schiff
baus braucht man Kurven und Flachen, wahrend im konventionellen Maschinen
bau eine Zeichnung hauptsachlich aus Geraden und Bogen besteht. Das geome
trische Modell soll daher eine komplette Definition des Objekts erlauben,
die fur alle nachfolgenden Tatigkeiten die Grundlage bildet. Dabei ist es
wichtig zu wissen, ob das Modell interaktiv behandelt werden soll, ob Be
rechnungen durchgefuhrt werden mussen, ob Daten fur die automatische Ferti
gung erzeugt werden sol len usw ••
2
Das Rechenmode11 soll passend fur bestimmte zwei- und dreidimensiona1e Ob
jekte sein. Hierbe1 treten sofort verschiedene Schwierigkeiten auf. Die
tatsach1iche Welt ist dreidimensiona1. Um mit dem Rechner arbeiten zu kon
nen, muB diese Welt in den im a11gemeinen eindimensiona1en Speicher des
Rechners abgebi1det werden. Aus dieser rechnerinternen Beschreibung mussen
nach der Durchfuhrung von Berechnungen Ergebnisse prasentiert werden. Diese
Resu1tate, die Informationen fur die dreidimensiona1en Objekte entha1ten,
werden auf zweidimensiona1en Geraten wie Bi1dschirm und Plotter ausgegeben.
Diese verschiedenen Transformationen bedingen die eigent1ichen Schwierig
keiten. mit denen die geometrische Datenverarbeitung fertig werden muB.
Vorliegende Arbeit befaBt sich im ersten Tei1 mit den mathematischen Grund-
1agen der Geometrieverarbeitung im Computer (computational geometry) haupt
sach1ich 1m Hinb1ick auf das rechnerunterstutzte Konstruieren. Die ein
schlagigen Verfahren werden abge1eitet und in ingenieurgerechter Form pra
sentiert, um dem Leser einen Uberblick der heute al1gemein angewandten Me
thoden zu geben.
1m zweiten Tei1 der Arbeit werden die Grundg1eichungen der Methode finiter
E1emente abge1eitet. Dies geschieht besonders im Hinblick auf die geometri
schen Aspekte. Eine Anwendung der finiten E1emente im Bereich des rechner
unterstutzten geometrischen Entwerfens (computer-aided geometric design)
ist das Definieren von a11gemeinen Flachen, die nicht ana1yt1sch gesch1os
sen beschreibbar sind. Die Erweiterung der Spline-Interpolation yom eindi
mensiona1en auf den zweidimensionalen Fall ist durch die Analogie zur Bie
gung der dunnen e1astischen Platte mog1ich und wird mit Beispie1en be1egt.
Fur das rechnerunterstutzte Entwerfen wird eine diskrete Geometriedefini
tion von Objekten mit Geometriezel1en in Abschnitt 5 vorgestellt. Sie er-
1aubt die Beschreibung von Kurven, F1achen und Kerpern in rechnerorientier
ter Weise. Die Zelle wird durch eine Anzah1 von Punkten und eine Interpola
tionsvorschrift definiert. Zum interaktiven Positionieren an einem graphi
schen Arbeitsplatz mussen die Ze1len, die a11gemein im Raum 1iegen, auf
geradlinig berandete Mutterze11en abgebi1det werden. Diese Eigenschaft wird
ausgenutzt, um Referenzgraphiken zum interaktiven Arbeiten mit Eingabegera
ten aufzuste1len. Weitere geometrische Operationen sowie die Umwand1ung
der Ze1len in die Bezier-Form werden in Abschnitt 6 beschrieben. Die ein
fache Verarbeitung der Ze1len ist eine Voraussetzung fur die interaktive
