estados coerentes em mec^anica qu^antica

24 Pages·2002·0.22 MB·Portuguese

CBPF-NF-068/01
^ ^
ESTADOS COERENTES EM MECANICA QUANTICA
(Coherent States in Quantum Mechanics)
R. de Lima Rodrigues(cid:3)
Centro Brasileiro de Pesquisas F(cid:19)(cid:16)sicas
Rua Dr. Xavier Sigaud, 150, CEP 22290-180, Rio de Janeiro-RJ, Brazil
Dam(cid:19)asio Fernandes Ju(cid:19)nior e Sheyla Marques Batista
Departamento de Engenharia El(cid:19)etrica, Universidade Federal da Para(cid:19)(cid:16)ba, Campina
Grande-PB
RESUMO
Apresentamos uma revis~ao sobre os Estados Coerentes em meca^nica qu^antica n~ao-
relativ(cid:19)(cid:16)stica, analisando os osciladores qua^nticos nos estados coerentes. Os Estados Coe-
rentesobtidos viaatua(cid:24)c~ao deumoperador deslocamentosobrea func(cid:24)~ao deonda do estado
(cid:19)
fundamental do oscilador e a conex~ao com a Optica Qua^ntica que foram implementadas
por Glauber t^em sido tamb(cid:19)em consideradas. Uma poss(cid:19)(cid:16)vel generaliza(cid:24)c~ao para a cons-
truc(cid:24)~ao de novos Estados Coerentes (cid:19)e indicada.
ABSTRACT
We present a review work on the coherent states in non-relativistic quantum mechanics
analysing the quantum oscillators in the coherent states. The coherent states obtained via
a displacement operator that act on the wave function of ground state of the oscillator and
the connection with Quantum Optics which were implementted by Glauber have also been
considered. A possible generalization to the construction of new coherent states is pointed out.
Key-words: Estados coerentes; O(cid:19)ptica qua^ntica; Osciladores qu^anticos.
(cid:3)
Permanente endere(cid:24)co: Departamentode Ci^encias Exatase da Natureza, Universidade Federal
da Para(cid:19)(cid:16)ba, Cajazeiras { PB, 58.900-000 - Brazil-E-mail:[email protected] ou [email protected]
CBPF-NF-068/01 1
I. INTRODUC(cid:24)A~O
Logo apo(cid:19)s Schr(cid:127)odinger postular a equa(cid:24)c~ao diferencialquegovernaa evoluc(cid:24)~aono tempo
da onda de mat(cid:19)eria de de Broglie, culminando com o surgimento da mec^anica qu^antica
n~ao-relativ(cid:19)(cid:16)stica em 1926 [1], ele investigou a possibilidade de se construir autofunc(cid:24)~oes
qu^anticas, para um oscilador harm^onico simples, com as seguintes caracter(cid:19)(cid:16)sticas: esta-
dos qua^nticos descritos por fun(cid:24)c~ao de onda gaussiana geral, com a largura da gaussiana
que descreve o estado fundamental, que tivessem momento linear e energia arbitr(cid:19)aria,
seguissem a trajeto(cid:19)ria de uma part(cid:19)(cid:16)cula cla(cid:19)ssica no potencial e na~o mudassem sua forma
com o tempo. Tais estados foram denominados de estados quasi-cla(cid:19)ssicos devido ao fato
de possu(cid:19)(cid:16)rem uma analogia cl(cid:19)assica. Como as autofunc(cid:24)~oes que descrevem esses estados
s~ao gaussianos, eles possuem incerteza m(cid:19)(cid:16)nima, conforme a relac(cid:24)~ao de incerteza de Hei-
senberg. Quando se considera os Estados Coerentes na descri(cid:24)c~ao de Schr(cid:127)odinger, v^e-se
que a probabilidade de encontrar o oscilador numa posi(cid:24)c~ao tem de fato um signi(cid:12)cado
especial: ela (cid:19)e uma fun(cid:24)c~ao gaussiana que depende do tempo e da posi(cid:24)c~ao, centrada num
ponto que oscila de forma an(cid:19)aloga (cid:18)a posi(cid:24)c~ao hora(cid:19)ria do oscilador harm^onico simples em
mec^anica cl(cid:19)assica [2].
A constru(cid:24)c~ao dessas autofunc(cid:24)~oes na (cid:19)epoca serviu para desfazer a obje(cid:24)c~ao de Lorentz
emusar pacotesdeondas para representarpart(cid:19)(cid:16)culas, porqueos pacotespodiamsealargar
com o tempo.
Com o surgimento do laser em dezembro de 1960, se iniciou uma s(cid:19)erie de trabalhos
sobre a interac(cid:24)~aoda mat(cid:19)eriacomo campoeletromagn(cid:19)etico. Klauder[3]usou essesestados
quasi-cl(cid:19)assicos para mostrar a equival^encia entre as descri(cid:24)c~oes da mec^anica semicl(cid:19)assica e
da mec^anicaqua^ntica de feixes de luz com estat(cid:19)(cid:16)stica arbitra(cid:19)ria, sem considerar os efeitos
n~ao-lineares. Por outro lado, Glauber (1963) [4,5] tinha o objetivo principal de mostrar
uma descri(cid:24)c~ao consistente para a teoria qua^ntica da coer^encia o(cid:19)ptica. Em outros artigos,
Glauber consolidou a id(cid:19)eia de que os autoestados qua^nticos de um campo de radia(cid:24)c~ao
s~ao exatamente os autoestados do operador de aniquila(cid:24)c~ao dos quanta do campo eletro-
magn(cid:19)etico(fotons). Elemostrou queessas autofun(cid:24)c~oes podemser obtidas a partirda ac(cid:24)~ao
de um operador de deslocamento sobre o v(cid:19)acuo do campo eletromagn(cid:19)eticolivre. Mostrou
tamb(cid:19)em que essas duas de(cid:12)nic(cid:24)~oes sa~o equivalentes aos estados de incerteza m(cid:19)(cid:16)nima des-
cobertos por Schr(cid:127)odinger. Esses estados qu^anticos foram denominados pela primeira vez,
por Glauber, de Estados Coerentes. Os Estados Coerentes possuem as duas importantes
CBPF-NF-068/01 2
propriedades: n~ao-ortogonalidade e completeza.
(cid:19)
Esses trabalhos abriram uma nova (cid:19)area de pesquisa denominada de Optica Qu^antica.
Veja por exemplo os livros textos em [6,7] e uma colet^anea de trabalhos sobre as proprie-
dades e aplicac(cid:24)~oes dos Estados Coerentes publicados at(cid:19)e 1985 [8].
(cid:19)
Estados coerentes sa~o ingredientes bastante familiares a F(cid:19)(cid:16)sicos da a(cid:19)rea de Optica
Qua^ntica, sendo suas ferramentas de trabalho do dia-a-dia. Este trabalho tem como
objetivo principal levar os pesquisadores de outras a(cid:19)reas e o leitor que estudou mec^anica
(cid:19)
qu^antica a se inteiraremda sumaimport^ancia dos Estados Coerentes emOpticaQu^antica
e apontar poss(cid:19)(cid:16)veis generaliza(cid:24)c~oes. Excelentes trabalhos com abordagens diferentes sobre
os Estados Coerentes para o oscilador qu^antico, dando ^enfase (cid:18)as respectivas aplica(cid:24)c~oes
em O(cid:19)ptica Qu^antica, podem ser encontrados nos mini-cursos sobre "Teoria Qu^antica do
(cid:19) (cid:19)
Laser" nas Escolas de Vera~o Jorge Andr(cid:19)e Swieca, sec(cid:24)~ao de Optica Qua^ntica e Optica
N~ao-Linear, citando as refer^encias [9{11]. Uma linha de pesquisa que tem sido destacada
nestes eventos(cid:19)e o desenvolvimentode t(cid:19)ecnicas para controlar o movimentode (cid:19)atomos em
laborat(cid:19)orios brasileiros, bem como em v(cid:19)arios laborato(cid:19)rios em outros paises. Utilizando a
press~ao de radiac(cid:24)~ao laser os (cid:19)atomos frios s~ao aprisionados a temperaturas muito baixas,
possibilitando o estudo de v(cid:19)arios efeitos importantes [12].
Recentemente, foi elaborado um trabalho de revis~ao sobre a real necessidade de uma
teoria qu^antica para a luz, destacando os efeitos n~ao cla(cid:19)ssicos surgidos a partir da ob-
serva(cid:24)c~ao, em 1977, do efeito anti-agrupamento de fotons, listando muitas refer^encias [13].
Este trabalho foi organizado da seguinte maneira: na sec(cid:24)~ao II, constru(cid:19)(cid:16)mos os Estados
Coerentes como sendo as autofun(cid:24)c~oes do operador de abaixamento dos n(cid:19)(cid:16)veis de energia
do oscilador; na se(cid:24)c~ao III, analisamos os Estados Coerentes obtidos via um operador
deslocamento atuando sobre a fun(cid:24)c~ao de onda do estado fundamental do oscilador; na
se(cid:24)c~ao IV,(cid:19)e mostrado que os Estados Coerentes sa~o estados de incerteza m(cid:19)(cid:16)nima;na se(cid:24)c~ao
V, consideramos a interpreta(cid:24)c~ao f(cid:19)(cid:16)sica dos Estados Coerentes, abordando o procedimento
de quantiza(cid:24)c~ao can^onica do campo eletromagn(cid:19)etico. A conclus~ao (cid:19)e apresentada na se(cid:24)c~ao
VI,inclusiveaan(cid:19)alisedeumageneraliza(cid:24)c~aoparaaconstruc(cid:24)~ao denovosEstados Coerentes.
CBPF-NF-068/01 3
II. PROPRIEDADES DOS ESTADOS COERENTES
Nesta se(cid:24)c~ao, abordamos algumas propriedades dos Estados Coerentes (EC) para o
Oscilador Harm^onico Simples (OHS). Como uma superposi(cid:24)c~ao das autofunc(cid:24)~oes do osci-
lador harm^onico simples, eles sa~o de(cid:12)nidos como sendo as autofun(cid:24)c~oes do operador de
abaixamento do OHS, ou seja, os EC satisfazem a equa(cid:24)c~ao de autovalor do operador de
abaixamento dos n(cid:19)(cid:16)veis de energia do OHS. Utilizando a notac(cid:24)~ao de bra-ket de Dirac e
o sistema de unidades ato^micas (~ = ! = m = 1), obt(cid:19)em-se as seguintes propriedades
do operador hamiltoniano que governa o OHS, na representa(cid:24)c~ao dos estados de nu(cid:19)meros
n >:
j
1
H n >= En n >; En = n+ ; n = 0;1;2;::: (1)
j j 2
+ +
[a(cid:0);a ] = 1; a = (a(cid:0)) ; (2)
(cid:0) y
[H;a(cid:6)] = a(cid:6); (3)
(cid:0) (cid:6)
onde o operador hamiltoniano pode ser expresso como:
1 +
H= [a(cid:0);a ]+
2
1 + + + 1
= (a a(cid:0) +a(cid:0)a ) = a a(cid:0) + : (4)
2 2
Os operadores de abaixamento e levantamento dos n(cid:19)(cid:16)veis de energia do OHS, respec-
+
tivamente, a(cid:0) e a geram os autoestados de nu(cid:19)mero, pois atuando-os sobre um ket n >
j
obt(cid:19)em-se outro ket n 1 >:
j (cid:6)
a(cid:0) n >= pn n 1 >; (5)
j j (cid:0)
+
a n >= pn+1 n+1 > : (6)
j j
Essas equa(cid:24)c~oes constituem a a(cid:19)lgebra de Heisenberg-Weyl, as quais s~ao encontradas
nos livros textos como sendo denominadas de m(cid:19)etodos de fatoriza(cid:24)c~ao ou m(cid:19)etodo de ope-
rador em mec^anica qu^antica [2,21{23]. Os operadores escada a(cid:6), na representac(cid:24)~ao x (ou
CBPF-NF-068/01 4
representa(cid:24)c~ao de coordenada), s~ao de(cid:12)nidos atrav(cid:19)es de uma combina(cid:24)c~ao linear dos ope-
radores de momento linear e posi(cid:24)c~ao e, por sua vez, podem ser escritos em termos da
parte espacial da fun(cid:24)c~ao de onda do estado fundamental do OHS. De fato, o operador de
abaixamento na representac(cid:24)~ao de coordenada torna-se:
(cid:12) i
a(cid:0) p^x +x^
(cid:17) p2 (cid:18)m! (cid:19)
(cid:12) i d
= ( i~ )+x
p2 "m! (cid:0) dx #
(cid:12) ~ d
= +x
p2 m!dx !
(cid:12) ~ d d (0) +
= ‘n (x) ; a = (a(cid:0))y; (7)
p2 m!dx (cid:0) dx !
2 m! (0)
onde (cid:12) = ~ e (x) =< x 0 > (cid:19)e a parte espacial da func(cid:24)~ao de onda que descreve o
j 2
((cid:12)x)
estado fundamental do OHS, na representa(cid:24)c~ao x, a qual (cid:19)e proporcional a exp( ). O
2
(cid:0)
operador hamiltoniano toma a seguinte forma na representa(cid:24)c~ao de coordenadas:
~2 d2 1 2 2
H = + m! x : (8)
2
(cid:0)2mdx 2
Noteque,de acordo comau(cid:19)ltimaexpress~ao para a(cid:0), podemos construiroperadores de
abaixamento e levantamento para outros sistemas qu^anticos, cujas rela(cid:24)c~oes de comuta(cid:24)c~ao
n~ao ser~ao as mesmas do OHS. Retomaremos esta an(cid:19)alise na conclus~ao.
Os Estados Coerentes sa~o de(cid:12)nidos pela seguinte equa(cid:24)c~ao de autovalor:
a(cid:0) (cid:11) >= (cid:11) (cid:11) >; (9)
j j
onde o autovalor (cid:11) pode ser um nu(cid:19)mero complexo, pois o operador de abaixamento(cid:19)e n~ao
hermitiano e, por sua vez, na~o pode representar uma medida f(cid:19)(cid:16)sicay.
O produto escalar de duas autofun(cid:24)c~oes do OHS resulta em um delta de Kronecker,
ou seja, o bra-ket < m n >= (cid:14)mn (cid:19)e zero, quando m for diferente de n, ou (cid:19)e 1 quando
j
m for igual a n, ent~ao os kets n > podem ser ortogonais ou ortonormais e, por sua vez,
j
o conjunto n > (cid:19)e completo. Portanto, pelo teorema da expans~ao, os EC podem ser
fj g
y
Os observ(cid:19)aveis em f(cid:19)(cid:16)sica qu^antica s~ao representados por operadores lineares e hermitianos.
Um operador hermitiano possui autovalores reais e autofunc(cid:24)~oes ortogonais.
CBPF-NF-068/01 5
representados como uma combinac(cid:24)~ao linear (superposi(cid:24)c~ao) dos autokets do OHS, a saber,
1
(cid:11) >= cn n > : (10)
j n=0 j
X
Neste caso, o lado esquerdo da equac(cid:24)~ao de autovalor a(cid:0) (cid:11) >= (cid:11) (cid:11) > pode ser
j j
escrito na forma abaixo:
1
a(cid:0) (cid:11) > = a(cid:0) cn n >
j n=0 j
X
1
= cna(cid:0) n >
n=0 j
X
1
= cnpn n 1 > : (11)
n=0 j (cid:0)
X
Manipulando o (cid:19)(cid:16)ndice dessa u(cid:19)ltima equa(cid:24)c~ao (n m+1), podemos ainda escrev^e-la
!
como
1
a(cid:0) (cid:11) > = cm+1pm+1 m >
j m=0 j
X
1
= cn+1pn+1 n > : (12)
n=0 j
X
Usando a superposi(cid:24)c~ao de autokets de nu(cid:19)mero em (10), e comparando as equac(cid:24)~oes (9)
e (12) encontramos a seguinte rela(cid:24)c~ao de recorr^encia dada por:
(cid:11)cn
cn+1 = ; (13)
pn+1
onde, por indu(cid:24)c~ao, podemos expressar cn em termos de c0, isto (cid:19)e;
n
(cid:11) c0
cn = : (14)
pn!
Portanto, os autokets do operador de abaixamento do OHS, (cid:11) >, s~ao representados
j
segundo a express~ao abaixo:
n
1 (cid:11)
(cid:11) >= c0 n > : (15)
j n=0 pn! j
X
Aplicando agora a condic(cid:24)~ao de normaliza(cid:24)c~ao < (cid:11) (cid:11) >= 1, e lembrando-se que
j
(< n n >= 1, obt(cid:19)em-se o valor da constante c0 que ser(cid:19)a dada por:
j
1 2
< (cid:11) (cid:11) >= 1 c0 = exp( (cid:11) ): (16)
j ) (cid:0)2j j
CBPF-NF-068/01 6
Substituindo, (cid:12)nalmente, o valor de c0 na equac(cid:24)~ao (15), obtemos os EC normalizados:
n
1 2 1 (cid:11)
(cid:11) >= exp( (cid:11) ) n > : (17)
j (cid:0)2j j n=0 pn! j
X
O bra (< (cid:11) ) de um EC (cid:19)e dado por:
j
n0
1 2 1 (cid:11)(cid:3)
(cid:11) >(cid:3)= exp (cid:11) < n0 : (18)
j (cid:18)(cid:0)2j j (cid:19)n0=0 pn0! j
X
Uma propriedade importante para os Estados Coerentes (cid:11) > (cid:19)e que eles s~ao n~ao-
j
ortogonais, ou seja, o produto escalar entre dois EC (cid:19)e n~ao-nulo:
2 2
< (cid:11) (cid:11)0 > = exp( (cid:11) (cid:11)0 ): (19)
j j j (cid:0)j (cid:0) j
Como seria esperado, pois eles sa~o autokets de um operador na~o-hermitiano.
Os EC s~ao um conjunto supercompleto, pois (cid:19)e poss(cid:19)(cid:16)vel expressar qualquer autoket de
um estado qu^antico do OHS em termos dos EC, inclusive dele pr(cid:19)oprio. Agora faremos a
i(cid:30)
demonstra(cid:24)c~ao da propriedade de completeza. De fato, seja (cid:11) = (cid:11) e , ent~ao temos:
j j
2(cid:25)
2 1
(cid:11) >< (cid:11) d (cid:11) = (cid:11) d (cid:11) d(cid:30) (cid:11) >< (cid:11) :
j j 0 j j j j 0 j j
Z Z Z
Usando a expans~ao (17), obtemos
2 1 (cid:11) n+n0 (cid:11)2 2(cid:25) i(cid:30)(n n0)
(cid:11) >< (cid:11) d (cid:11) = (cid:11) d (cid:11) j j e(cid:0)j j d(cid:30)e (cid:0) n >< n0
Z j j n;n0Z0 j j j jpn!n0! Z0 j j
X
2n+1
1 (cid:11)2 (cid:11)
= 2(cid:25) d (cid:11) e(cid:0)j j j j n >< n = (cid:25) n >< n = (cid:25);
n Z0 j j n! j j n j j
X X
e, portanto,
1 2
(cid:11) >< (cid:11) d (cid:11) = 1: (20)
(cid:25) j j
Z
Vimos que para deduzirmos esta rela(cid:24)c~ao de completeza dos EC utilizamos (a corres-
n=
pondente rela(cid:24)c~ao dos autokets de nu(cid:19)mero) n=10 n >< n = 1. Devemos dizer tamb(cid:19)em
j j
que usamos o delta de Kronecker P
2(cid:25) i(cid:30)(n n0)
d(cid:30)e (cid:0) = (cid:14)n;n0 (21)
0
Z
para eliminar um somato(cid:19)rio.
CBPF-NF-068/01 7
III. ESTADOS COERENTES VIA OPERADOR DESLOCAMENTO
Utilizando a equa(cid:24)c~ao (3) com sinal positivo, vemos que o n-(cid:19)esimo autoestado excitado
do OHS(cid:19)e obtido a partir do autoestado fundamentalatuando o operador de levantamento
n-vezes, a saber:
1 + n
n >= (a ) 0 > : (22)
j pn! j
Substituindo essa u(cid:19)ltima express~ao na equa(cid:24)c~ao (17) obtemos um resultado gen(cid:19)erico
para (cid:11) >:
j
+ n
1 2 1 ((cid:11)a ) 1 2 +
(cid:11) >= exp( (cid:11) ) 0 >= exp( (cid:11) )exp((cid:11)a ) 0 > : (23)
j (cid:0)2j j n=0 n! j (cid:0)2j j j
X
Este operador atuando sobre o autoestado fundamental (cid:19)e um operador deslocamento
e unit(cid:19)ario. De fato, utilizando a fo(cid:19)rmula de Baker-Campbell-Hausdor(cid:11), para dois opera-
dores cujo comutador (cid:19)e um c-number ([A;B] = c-number),
1
exp( [A;B])exp(A)exp(B) = exp(A+B);
(cid:0)2
obtemos:
(cid:0)j2(cid:11)j2 (cid:11)a+ (cid:11)a+ (cid:11)(cid:3)a(cid:0)
(cid:11) >= e e 0 >= e (cid:0) 0 > D((cid:11)) 0 > : (24)
j j j (cid:17) j
Nestecaso, os Estados Coerentespara o OHSsa~o de(cid:12)nidoscomosendo aquelesautoes-
tados obtidos pela atua(cid:24)c~ao de umoperador deslocamentosobre o autoestado fundamental
(cid:11) > D((cid:11)) 0 >, onde (cid:11) pode assumir valores complexos.
j (cid:17) j
As propriedades do operador D((cid:11)) s~ao as seguintes:
+ 1
D((cid:11)) = exp((cid:11)a (cid:11)(cid:3)a(cid:0)); D(cid:0) ((cid:11)) = Dy((cid:11)) (25)
(cid:0)
1
D(cid:0) ((cid:11))a(cid:0)D((cid:11)) = a(cid:0) +(cid:11) (26)
1 + +
D(cid:0) ((cid:11))a D((cid:11)) = a +(cid:11)(cid:3): (27)
Por isso D((cid:11)) (cid:19)e chamado de operador deslocamento. Note que at(cid:19)e aqui vimos duas
de(cid:12)ni(cid:24)c~oes equivalentes para os Estados Coerentes.
CBPF-NF-068/01 8
IV. ESTADOS COERENTES COMO ESTADOS QUASI-CLA(cid:19)SSICOS
Na representac(cid:24)~ao de coordenada (denominada tamb(cid:19)em de representa(cid:24)c~ao de
Schr(cid:127)odinger) os Estados Coerentes s~ao func(cid:24)~oes gaussianas [2] e, consequentemente, sa-
tisfazem a rela(cid:24)c~ao de incerteza m(cid:19)(cid:16)nima de Heisenberg. Pois, todos os estados qu^anticos
descritos por fun(cid:24)c~oes de onda gaussianas satisfazem (cid:18)a incerteza m(cid:19)(cid:16)nima:
~
1 1
(cid:1)x = (cid:1)px = (cid:1)x(cid:1)px = = ; ~ = 1 (28)
p2 ) 2 2
onde as vari^ancias na posi(cid:24)c~ao e no momentolinear, (cid:1)x e (cid:1)px, s~ao calculadas nos Estados
Coerentes, segundo as express~oes abaixo:
2 2
(cid:1)x=< x >(cid:11)> < x >(cid:11)>
j (cid:0) j
2 2
(cid:1)px=< px >(cid:11)> < px >(cid:11)> : (29)
j (cid:0) j
2
Para se calcular os valores esperados de x nos estados coerentes, utilizando as suas
de(cid:12)nic~oes em termos dos operadores escada, obt(cid:19)em-se,
2 2 + 2 2 2 + 2 +
< x > = (cid:12) < (a(cid:0) +a ) >= (cid:12) < (a(cid:0)) > + < (a ) > +2 < a a(cid:0) > 1
f (cid:0) g
2 2 2 2 2 2
= (cid:12) (cid:11) +((cid:11)(cid:3)) +2 (cid:11) 1 = (cid:12) 4Re((cid:11)) 1 : (30)
f j j (cid:0) g f (cid:0) g
E(cid:19) importante observar que apesar das m(cid:19)edias de x e px sobre os autokets do operador
de nu(cid:19)mero serem nulas,
< x >n>=< n x^ n >=< px >n>= 0; (31)
j j j j
para os Estados Coerentes temos que < x >(cid:11)> (cid:19)e proporcional a uma func(cid:24)~ao cosseno, que
j
(cid:19)e o ana(cid:19)logo cl(cid:19)assico da fun(cid:24)c~ao perio(cid:19)dica do OHS:
i!t i!t
< x(t) >(cid:11)>= x0(cid:11)e(cid:0) +x0(cid:11)(cid:3)e = Ccos(!t (cid:30)); (32)
j (cid:0)
onde a constante C (cid:19)e dada por
C = 2x0p(cid:11)(cid:11)(cid:3) = 2x0 (cid:11) : (33)
j j
A equa(cid:24)c~ao (32) nos indica que o valor esperado de x(t) nos Estados Coerentes (cid:11) >
j
(cid:19)e proporcional a uma fun(cid:24)c~ao cosseno, assim como na Meca^nica Cl(cid:19)assica, so(cid:19) que com uma
CBPF-NF-068/01 9
amplitudeC diferentedocasocl(cid:19)assico. C (cid:19)eproporcionalao m(cid:19)odulodoautovalorcomplexo
do operador de abaixamento a(cid:0).
O operador de nu(cid:19)mero N, tem um signi(cid:12)cado importante quando calculamos o valor
esperado do nu(cid:19)mero de quanta nos Estados Coerentes:
+ 2
< N >(cid:11)>=< (cid:11) N (cid:11) >=< (cid:11) a a(cid:0) (cid:11) >=< (cid:11) (cid:11)(cid:3)(cid:11) (cid:11) >= (cid:11) ; (34)
j j j j j j j j j
ou seja, < N >(cid:11)> (cid:19)e o m(cid:19)odulo quadrado de (cid:11), partindo do princ(cid:19)(cid:16)pio de que os Estados
j
Coerentes sa~o normalizados (< (cid:11) (cid:11) >= 1). Note que usamos a de(cid:12)ni(cid:24)c~ao de estados
j
coerentes can^onicos (a(cid:0) (cid:11) >= (cid:11) (cid:11) >) e o fato de que a(cid:6) s~ao operadores mutuamente
j j
+ +
adjuntos ((a(cid:0))y = a ; (a )y = a(cid:0)).
A probabilidade de encontrar o oscilador no n-(cid:19)esimo n(cid:19)(cid:16)vel nos estados coerentes (cid:11) >
j
(cid:19)e
2n n
2 (cid:11)2 (cid:11) < n >(cid:11)>
Pn((cid:11)) = < n (cid:11) > = e(cid:0)j j j j = exp( < n >(cid:11)>) j : (35)
j j j n! (cid:0) j n!
Essa distribui(cid:24)c~aodeprobabilidade(cid:19)eumadistribuic(cid:24)~aodePoisson quetamb(cid:19)emexpressa
a distribui(cid:24)c~ao do nu(cid:19)mero de quantum nas ondas cl(cid:19)assicas.
V. INTERPRETAC(cid:24)A~O F(cid:19)ISICA PARA OS ESTADOS COERENTES
Iniciamos esta se(cid:24)c~ao mostrando que a hamiltoniana do campo de radiac(cid:24)~ao livre (cid:19)e
formalmente an(cid:19)aloga (cid:18)a soma de um nu(cid:19)mero in(cid:12)nito de hamiltonianos do tipo-OHS, de
modo que podemos aplicar os resultados da se(cid:24)c~ao anterior para a quantizac(cid:24)~ao do campo.
~ ~
Usando as equa(cid:24)c~oes de Maxwell, para os campos el(cid:19)etrico (E) e magn(cid:19)etico (B) na
presen(cid:24)ca de uma densidade de carga e uma densidade de corrente, no va(cid:19)cuo, obt(cid:19)em-se:
~
@A
B~ = ~ A~; E~ = ~(cid:30) ; (36)
r(cid:2) (cid:0)r (cid:0) @t
@ @
onde o operador nabla em coordenadas cartesianas (x;y;z) (cid:19)e dado por ~ =~i@x +~j@y +
r
~k@@z; (cid:30) e A~ s~ao, respectivamente, denominados
de potencial escalar e potencial vetor (ou campo eletromagn(cid:19)etico).
O campo eletromagn(cid:19)etico(cid:19)e dito estar no gauge (calibre) de Coulomb quando o poten-
cial vetor satisfaz a seguinte condi(cid:24)c~ao:
~ ~
:A = 0: (37)
r