Table Of ContentAlexander Wynands
Ursula Wynands
Elektronische
Taschenrechner
in der Schule
Ein Arbeits- und Aufgabenbuch
fOr Lehrer und Schuler
Vieweg
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Wynands, Alexander
Eiektronische Taschenrechner in der Schule: e. Arbeits
u. Aufgabenbuch fUr Lehrer u. SchUler I Alexander
Wynands; Ursula Wynands. - 1. Auf!. - Braunschweig:
Vieweg,1978.
NE: Wynands, Ursula:
1978
Aile Rechte vorbehalten
© Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft mbH, Braunschweig, 1978
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Satz: Vieweg, Wiesbaden
Druck. fotokop, Darmstadt
Buchbinderische Verarbeitung: Junghans, Darmstadt
Umschlaggestaltung: Peter Morys, Wolfenbuttel
ISBN-13: 978-3-528-04087-1 e-ISBN-13: 978-3-322-84333-3
DOl: 10.1007/978-3-322-84333-3
III
Vorwort
Nach einer (von uns im Herbst 1976 durchgefuhrten) Schulerbefragung verfugten
ca. 70 % aller Schuler der Klassen 5 bis 10 (Sekundarstufe I) uber einen elektro
nischen Taschenrechner (ETR). In der parallel durchgefuhrten Lehrerbefragung
hielten mehr als 80 % aller befragten Lehrer den Einsatz von ETR ab Klasse 8 fur
sinnvoll, weil sie im ETR ein Hilfsmittel zum okonomischen Rechnen sahen. Gleich
zeitig wunschte man I nformationen zum fachdidaktisch begrundeten und methodisch
sinnvollen Einsatz des ETR in der Schule.
Dieses Buch richtet sich daher in erster Linie an den Lehrer, der einerseits uber den
standig wachsenden, haufig unkontrollierten EinfluB des ETR im Unterricht MiBbe
hagen empfindet, dem andererseits aber Arbeitsmaterialien und -methoden zur
Effektivierung des Unterrichts durch ETR fehlen. Zudem wird hier allen aktiven und
zukunftigen Lehrern Gelegenheit geboten, ihr Fachwissen zum Thema "Sachrechnen
im Unterricht" aufzufrischen oder zu erweitern (vgl. die Abschnitte ab 2.8). Von
daher ist das Buch auch als Grundlage entsprechender Veranstaltungen im Lehrer
studium zu benutzen.
Der erste Teil befaBt sich mit der Frage:
Was leistet der ETR bei der Erarbeitung von mathematischen Begriffen, Funktionen,
Gesetzen, Regeln?
Der zweite Teil soli zeigen, daB der ETR als okonomisches Rechenhilfsmittel dem
Schuler den Zugang erleichtert zum umweltbezogenen Sachrechnen, zum Erstellen
und Interpretieren von Tabellen, Graphiken und Formeln und damit zur Mathemati
sierung und Losung von Problemen seiner Umwelt.
Die Abschnitte enthalten, je nach Gegenstand gewichtet:
1. Eine Zielsetzung mit Hinweisen zum methodischen Einsatz des ETR,
2. Beispiele zur Einfiihrung von Begriffen und Rechenverfahren,
3. Merkregeln, Formeln, Rechenablaufplane (RAP),
4. Eine breite Aufgabensammlung,
5. Losungen oder Losungshinweise ausgewahlter Aufgaben unmittelbar hinter der
@
Aufgabenstellung. Diese sind durch gekennzeichnet.
IV Vorwort
Besonders wegen der Vielzahl der Aufgaben aus dem Unterricht der Klassen 7-11
ist dieses Buch neben dem "normalen" Schulbuch als Schiilerarbeitsbuch punktuell
vom Lehrer einsetzbar. Es sollen hier u.a. Antworten aufgezeigt werden zu den
Fragen:
a) Was sollen Lehrer und SchUler uber ETR wissen?
b) Was sollen Lehrer und Schuler mit ETR anfangen?
Alexander und Ursula Wynands
Aachen, im Herbst 1977
v
I nhaltsverzeichnis
0.1 Vorbemerkungen ......................................... 1
0.2 Auswahlkriterien fur ETR .................................. 2
0.3 Empfehlungen und Hinweise ................................ 8
1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1 Addition [±] ........................................... 9
B .........................................
1.2 Subtraktion 11
1.3 Multiplikation!Kl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 13
B ............................................
1.4 DIvIsion 16
1.5 Wurzelfunktionen Ift\ ................................... 19
vi
1.6 Speichern von Daten Ix ..... MI Ix +--+ ISTol ...... . . . . . . . . .. 22
1.7 Gemischte Obungen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 24
1.8 Scherzhaftes oder Ernsthaftes? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28
1.9 Schatzen, Runden, Fehler .................................. 34
1.10 Winkelfunktionen ISinl Icosl Itanl larcl ................... 37
110 i
1.11 Exponential- und Logarithmusfunktionen ~ lin xl x lIog xl 40
2 Sachrechnen im Mathematikunterricht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43
2.1 Vorbemerkungen zum Einsatz von ETR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 43
2.2 Zur Klassifikation von Zuordnungsaufgaben .................... 44
2.3 Rechnen mit gemessenen Gr6~en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45
2.4 Proportionale Zuordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 47
2.4.1 Zuordnungen zwischen zwei Gr6~enbereichen . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 49
2.4.2 Zuordnungen zwischen mehreren Gr6~enbereichen . . . . . . . . . . . . . .. 52
2.4.3 Zuordnungen in einem Gr6~enbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54
2.4.3.1 Prozentrechnung ......................................... 54
2.4.3.2 Zinsrechnung ............................. . . . . . . . . . . . . . .. 62
2.5 Lineare Zuordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67
2.6 Umgekehrt (oder anti-) proportionale Zuordnung . . . . . . . . . . . . . . . .. 71
2.7 Weitere Zuordnungsaufgaben ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74
2.8 Wachstums- und Zerfallsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 77
2.9 Logarithmen und e-Funktion .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 87
2.10 Rechnen mit Tabellen (Matrizen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 90
2.11 Wahrscheinlichkeit und Statistik ............................. 96
2.11.1 Kombinatorische Grundaufgaben und Wahrscheinlichkeit . . . . . . . . .. 96
2.11.2 Statistik................................................ 103
VI Inhaltsverzeichnis
3. Niiherungsverfahren und Grenzwerte .......................... 106
3.1 Das "Probierverfahren" zur Nullstellenbestimmung von Funktionen .. 106
3.1.1 Eine Halbierungsstrategie zur Berechnung von alog y
0
mit der -Taste ........................................ 108
3.1.2 Spezielle Verfahren zur Wurzel-Annaherung .................... 109
3.2 Approximation von e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 111
3.3 Approximation der Kreiszahl7r .............................. 111
3.3.1 Die Exhaustions-Methode nach Eudoxos und Archimedes . . . . . . . . .. 111
3.3.2 "Vieta-Produkte" zur 7r-Approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 114
3.3.3 7r-Approximation durch numerische Integration. . . . . . . . . . . . . . . . .. 115
4. Anhang: Funktionen und ihre Graphen 118
5. Literaturverzeichnis ....................................... 121
6. Namen-und Sachverzeichnis ................................ 124
0.1 Vorbemerkungen
Diskussionen zum "Pro und Contra Taschenrechner im Unterricht" scheinen wegen der Tatsache,
daB Elektronische Taschenrechner (ETR) von Schiilern und vielen Lehrern begehrt sind und de facto
(auch bei Hausaufgaben) benutzt werden (laut Umfrage 1976 von ca. 40 %) weitgehend 1T'~3ig zu
sein. Die nun anstehende wesentliche Frage nach dem kontrollierten, fachdidaktisch begriinaeten
und methodisch sinnvollen Einsatz des ETR 5011 hier behandelt werden. Dabei geht es nicht urn eine
vollstiindige Auflistung von Lernzielen, sondern urn das Aufzeigen von Lerninhalten an Hand um
fangreicher Beispiel·Aufgaben, aus denen die enthaltenen Lernziele (vom Lehrer) ablesbar sind.
Foigende Punkte sind als Vorbemerkung wesentlich:
1. Die Beispiele und Aufgaben der Abschnitte 1.1 bis 1.9 und 2.1 bis 2.7 beziehen sich vorwiegend
auf den Unterricht (ab Klasse 5) der Sekundarstufe I mit Schwergewicht Haupt· und Realschule
(Klasse 7 bis 10).
2. Unter ETR verstehen wir hier nicht den programmierbaren Elektronischen Taschenrechner (PTR).
3. Das Argument "Durch ETR verliert man die Kopf-Rechenfertigkeit" ist ernst zu nehmen. Daher
sollte man in der Schule
a) (wieder) vermehrt Kopfrechen Konzentrations·Obungen zum Beginn einer Unterrichtsstunde
pflegen und
b) z. B. durch "Wettkiimpfe: Kopfrechner gegen ETR" dem Schuler demonstrieren, daB hiiufig
Kopfrechnen schneller und okonomisch ist.
4. Es muB den Schulern gezeigt werden, daB der ETR eine von Menschen gemachte Maschine (black
box) ist, die nur genau seine Anweisungen ausfuhrt. Dabei wird wie durch das Aufzeigen von
Fehlern und Grenzen des ETR eine bedrohliche "Computer-Gliiubigkeit" verhindert.
5. Der Einsatz des ETR wirkt besonders am Anfang fur den Schuler motivierend, weil er durch ein
modernes (oder modisches) Hilfsmittel viele Berechnungen (Mathematik?) spielerisch erledigen
kann. Dabei sollte man als Lehrer bedenken:
a) Jeder motivierende Zugang zur Mathematik ist zu begruBen, aber
b) Rechnen gehort zur Mathematik, ist jedoch nicht identisch dam it.
c) Andererseits erleichtert der ETR den Umgang mit Zahlen, liefert schnell eine Fulle von
Informationen und gibt damit die Moglichkeit, ein "Gefiihl" fur funktionale Zusammenhiinge
zu entwickeln. Anders ausgedriickt:
d) der ETR liefert fur viele Begriffe, Regeln, Gesetze und Algorithmen (Rechenverfahren) einen
empirischen Zugang durch handelndes, aktives Lernen.
6. Die Beispiele und Aufgaben dieses Buches sind zum groBten Teil mit einfachen ETR auszufuhren
E1B0 B OEJ \" ,I \+/-1
(Funktionstasten: Speicher)
Eine Vielzahl von ETR-Typen in einer Schulklasse kann beim Versuch einer einheitlichen Arbeits
anweisung (Rechenablaufplan) storend sein. Sie kann aber auch interessante Fragestellungen z.B.
0
zur Rechenlogik, Rechengenauigkeit, Datenanzeige und zu neuen Funktionen (~, usw.)
motivieren.
7. Viele Teilgebiete dieses Buches (z. B. Genauigkeit, Fehler, Prozent-und Zinsrechnung, Wachstums
prozesse) sind von den Autoren in Hauptschulen (seit 1973) erprobt worden.
2
0.2 Auswahlkriterien fOr ETR
Bei der Vielzahl von ETR-Typen, die seit 1971/1972 fUr "jedermann" entwickelt wurden und sich
explosionsartig verbreiteten, kann man sicherlich nicht den besten ETR benennen_ Wir wollen hier
jedoch versuchen, einige typische Unterschiede von ETR und Kriterien zu nennen, die Sie beim Kauf
eines ETR beachten sollten.
Entscheiden Sie zunachst, wozu Sie den ETR brauchen wollen. Fur spezielle Einsatzgebiete gibt es
heute ein breites Angebot von ETR mit vielen Sonderfunktionen (z. B. aus Wirtschaftsmathematik,
Statistik), worauf wir hier nicht eingehen. Gehen Sie von folgenden Faustregeln aus:
a) In den meisten Fallen ist schon ein "einfacher" ETR ausreichend.
b) Die Preise teurer ETR (1977 mehr als DM 50,-) werden starker fallen als die Preise von
billigen ETR.
Unsere Erfahrung mit ETR im Unterricht (der Hauptschule) zeigen, daB der schulereigene ETR in
der Sekundarstufe I wiinschenswert ist. Fur Ausfalle dieser ETR, z. B. bei Klassenarbeiten, sollten
entsprechende schuleigene Gerate zur Verfugung stehen (die in einem verschlieBbaren "Ladekoffer"
sinnvoll aufzubewahren sind).
Nun zu den Auswahlkriterien. Sehen wir zunachst auf das AuBere und dann auf das Innere des ETR:
1. Tastatur
Wir geben einige Merkmale und (unsere) Wertung an. Es bedeutet:
** notwendig sehr empfehlenswert
GroBe und
farbige Tasten- Zeichen auf Druckpunkt- Prellfreie Doppel- Form
Merkmal
blocke den Tasten tasten Tasten belegung (quadratisch-
rund, hohl,
gewolbt)
Wertung * * * ** nicht bei
einfachen
ETR
Anmerkungen: Bei den Druckpunkt-Tasten spurt man einen Gegendruck beim Eintippen; es macht
"klick" (click keys), wenn man die Taste "richtig" betatigt.
Testen Sie den ETR auf Prellfreiheit der Tasten: Einschalten (On), aile (Ziffern-)Tasten mal kurz,
mal lange runterdriicken, Tasten auch schief oder "kantig" driicken. Erscheint in der Anzeige genaum
das, was Sie eingeben oder erscheinen z. B. plotzlich drei Funfen, obwohl Sie nur einmal die Taste
betatigen?
Eine Doppelbelegung der Tasten (z. B. eine Taste fur ~ und Ivx I) ist nach unserer Erfahrung
auch in der Hauptschule zulassig. Sie erfordert zwar mehr Konzentration bei der Bedienung
[£J
(z. B. Aufruf der Wurzelfunktion durch IFI oder 12nd II vxl) reduziert aber die Anzahl der
Tasten.
2. Anzeige
B)
Schalten Sie den ETR ein (z.B. IONIIEINI und tippen nacheinander die Ziffern
1+/-1.
0,0,1,2, ... 9,0,0,0 und (wenn vorhanden) auf die Taste Was erscheint wie im Anzeigefeld,
Auswahlkriterien 3
in dem der Inhalt des Anzeigeregisters angezeigt wird? Es sollten die unwesentlichen ersten Nullen
unterdriickt werden und von rechts nach links die weiteren Ziffern wandern:
Eingabe Anzeige Foigerung
o dann 0 dann 1 ... dann 4 112341 Nullenunterdriickung
1 dann 2 dann ... 8 dann 9 1123456781 8· (bzw. 10-) stellige Anzeige
mit Vorzeichen und Nullen-
1 dann 2 dann ... dann 9, 1+/-1 1-12345678 1
unterdriickung
o
dann 1 dann ... 9 dann 0,0, 1+/-1 1-1234567890 1
Geben Sie die Zah1123,4567 ein. 1m (mind.) 8-stelligen Anzeigefeld mit FlieBkomma(-Arithmetik)
erscheint 1123.45671. Der Dezimalpunkt (statt Komma " , ") erscheint an der gewiinschten Stelle.
Bei Festkomma (-Arithmetik) erscheint immer eine gleiche Anzahl (der zuletzt eingegebenen Ziffern)
hinter dem Punkt (Komma).
Viele ETR verfiigen iiber eine Exponentialanzeige (~-Taste).
Beispiele:
Aufgabe E rgebn isanzeige Foigerung
2000·3000 6000000 } z. B. 8-stellige Anzeige
2000·30000 60000000
20 000 . 30 000 600000000 6.08 bedeutet
-----
oder: 6.u08 6 00 000 000 = 6 . 108
t
("Leerstelle") 8 Nullen
1200000 . 300000 3.6~11 3.6ul1 = 3,6.1011
-1 200000 . 300000 -3.6u11 -3.6u11 =-3,6.1011
0,000002 . 0,0003 6.-10 6.-10 = 6.10-10
Mit dieser exponentie~len Zahldarstellung (oder "scientific notation") erfaBt man "sehr groBe" und
"sehr kleine" (positive) Zahlen (z. B. 9.9999999.1099 bis 1· 10-99).
Weitere Auswahlkriterien fiir ETR stehen in Zusammenhang mit der Farbe des Anzeigefeldes:
Anzeige Energie- Empfind- Ablesemoglichkeit Beleuchtu ngs-
Farbe Art verbrauch lichkeit Leuchtstarke Ziffern- abhangigkeit
(StoB, groBe
Fallen)
rot Leucht- groB gering gut klein je heller die
\ ",'b,,·
dioden leuch- 1- Umgebung,
griin Digitron gering groB gut tend groB umso schlechter
(oder Anzeige ablesbar
blau)
grau Fliissig- sehr mittel nicht groB nur im Dunkeln
(farb- Kristalle klein selbst- nicht lesbar
los) leuchtend
4 Auswahlkriterien
3. Operationstasten
G, G 0 B
Fur den "Normalverbraucher" reichen ETR mit den vier Grundrechenarten und
0
dem Ergebnisabruf aus. Der ETR fur die Sekundarstufe I sollte zudem uber folgende Erweite·
rungen (in der Reihenfolge ihrer Wichtigkeit) verfugen:
(0)
1. Speicher (Memory z.B. mit ·Ruckruf (recall z.B. IMRll.
2. Wurzeltaste 1,.,.,-><1 (oder 1",1) Kehrwerttaste ~,
I
3. Vorzeichenwechseltaste 1+/-1 Speicher-bzw. Registeraustauschtaste (z. B. x -<-+ y Ilx -<-+ M I)
und Ouadrattaste ~.
Nach diesen Ausstattungen sollten erst die trigonometrischen Funktionen und die Exponentialfunk
tionen errechenbar sein. Bei den zahlreichen "Sonderfunktionen" ist hiiufig die Prozenttaste ~
anzutreffen, deren Gebrauch im "Alltag sehr beliebt" ist. In der Schule sollte man jedoch - wenn
man aus "praktischen" Grunden nicht darauf verzichten will - aus fachdidaktischen Grunden viel
mehr zur Berechnung eines Endwertes nach einer Erhohung von p% des Ausgangswertes a die
1::0) 0
Identitiit a + a· l~O = a· (1 + ausnutzen, wonach die Berechnung mit der Taste genauso
schnell gehtwie mit der Taste [!] (dabei rechnet man z.B. doch wohl (1 + 11~) = 1,13 im Kopf!)
0
Sinnvoll (vielleicht auch motivierend zum Kennenlernen) scheint uns die Abrufmoglichkeit (mit
oder ~) eines Niiherungswertes von 1T ("'=' 3.141592654), wiihrend man auf viele "Umrechnungs
funktionen", z. B. "BogenmaB in (Neugrad in) Altgrad" oder gar "Gramm in Kilogramm" fur den
Unterricht verzichten kann (oder 5011).
4. Korrektur- und Loschtasten
@]
Jeder ETR sollte neben der Gesamtloschung (z. B. ICLRI oder ICAI fur "Clear all") eine
Loschmoglichkeit fur die letzte Eingabe oder falsch betiitigte Funktionstaste (z. B. I CE I fur "clear
I
entry") haben. ETR mit Speicher sollten auch diesen einzeln loschen konnen (z. B. CMI). Letztere
ETR besitzen hiiufig einen saldierenden Speicher (z. B. I M+I und 1M-I!, wodurch ein Eingabewert
automatisch zum Speicherinhalt addiert bzw. von diesem subtrahiert werden kann.
5. Rechenlogik
Es gibt (grob klassifiziert) drei unterschiedliche Rechnerlogiken oder "Notationen":
Bezeichnung zu erkennen an Beispiel Tastenfolge
algebraische 8Taste 4+3= !Il--8-0--G
logik (AL)
4·3-2= ~
II] Q 0--ITJ-{]-{]
arithmetische und 4+3=
logik (ARL)
4·3-2= ~
IT]
Umgekehrte polnische oder IENTI 4+3= ~
Notation (UPN)
keine G-Taste 4·3-2= ~
