Cohomologie des groupes topologiques et des algèbres de Lie

422 Pages·1980·14.96 MB·French

by  Alain Guichardet

cohomologie des
groupes topologiques
et des
algèbres de Lie
A. Guichardet
CEDIC/FERNAND NATHAN
Dans la même collection
« Textes mathématiques »
Structures métriques pour les variétés riemanniennes. M. Gromov;
rédigé par J. Lafo ntaine et P. Pausu.
2 Cohomologie des groupes topologiques et des algèbres de Lie.
A. Guichardet.
3 Introduction à la théorie des équations aux dérivées partielles
linéaires. J. Chazarain et A. Piriou.
4 Géométrie riemannienne en dimension 4. Seminaire Arthur Besse
1978179.
Editions CEDIC
93, avenue d'Italie
75013 PARIS. Tél. : [phone]
Ce volume porte la référence
ISBN 2-7124-0715-6
© CEDIC, Paris 1980
© NATHAN, Paris 1980
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duction par quelque procédé que ce soit. photographie, photocopie, microfilm, bande
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la loi du 11 mars 1975 sur la protection des droits d'auteur. »
i
INTRODUCTION
Cet ouvrage se propose principalement d'exposer la théorie des extensions
(groupes Extn) des représentations de dimension finie ou infinie des groupes
localement compacts, et en particulier de leur cohomologie ; en ce sens on
peut considérer que la partie fondamentale est le chapitre III (Cohomologie
des groupes topologiques). Il s'efforce de fournir des méthodes de calcul aux
utilisateurs de la théorie ; c'est pourquoi on a consacré beaucoup de place
et d'efforts aux formules explicites et aux exemples, au détriment de la Thé
orie proprement dite. Le chapitre I (Cohomologie des groupes discrets) peut
être considéré comme une introduction essentielle au chapitre III en ce sens
q~'il contient d'une part tous les préliminaires indispensables concernant
les complexes et leur cohomologie, les résolutions et modules injectifs ou
projectifs, etc., et d'autre part un grand nombre de formules, écrites de fa
çon détaillée, et qui n'ont pas toujours été réécrites dans le cadre du cha
pitre III. Le chapitre II (Cohomologie des algèbres de Lie réelles) peut être
considéré comme fournissant des méthodes de calcul pour les problèmes concer
nant les groupes de Lie puisque, comme il est bien connu, les algèbres de Lie
sont des objets plus simples que les groupes de Lie ; c'est aussi pour cette
raison que le chapitre II est celui qui contient le plus grand nombre d'exem
ples, concernant en général des algèbres de Lie semi-simples.
Le lecteur aura certainement déjà compris que ce livre ne veut pas être
un traité d'Algèbre Homologique, ni même reposer trop lourdement sur cette
théorie ; dans chacun des trois chapitres, les considérations de catégories
et de foncteurs dérivés ont été seulement esquissées et rejetées loin vers la
ii
fin du chapitre. Mais cela ne signifie pas non plus que l'on définisse les
groupes If( G,E) directement ~ partir du complexe c"* ( G,E) des cochaînes
usuelles sans aucune connaissance préliminaire sur les complexes, car on se
priverait alors du puissant outil que constitue le "lemme de comparaison des
résolutions". On a donc choisi un moyen terme, consistant à définir d'abord
"'
les résolutions fortes relativement injectives, puis H (G,E) comme étant
la cohomologie du complexe des éléments G-invariants d'une résolution forte
relativement injective quelconque de E.
La lecture de ce livre ne requiert au départ, en principe, que des con-
naissances élémentaires d'Algèbre (groupes, anneaux, algèbre linéaire et mul-
tilinéaire) ; mais on a souvent utilisé des théories beaucoup plus élaborées
espaces vectoriels topologiques, variétés différentiables, groupes topologi-
ques et leurs représentations, groupes et algèbres de Lie, topologie algébri-
que ; dans chacun des cas on a, soit donné des références précises à des ou-
vrages spécialisés, soit énoncé les résultats utiles dans les Appendices si
tués à la fin du livre ; la lecture de ces ouvrages spécialisés ou de ces
Appendices peut bien entendu nécessiter un travail assez important.
Pour tenter de situer le présent ouvrage par rapport aux autres existant
sur les mêmes sujets, disons que ;,otrP. exposé de la cohomologie des groupes
discrets et des algèbres de Lie est plus élémentaire et plus complet que les
autres en ce sens qu'il indique plus de propriétés générales et d'exemples
et sous une forme plus explicite, mais que par contre il ne traite pas les
applications à l'algèbre et à l'arithmétique (structure des groupes finis,
cohomologie galoisienne et corps de classes) pour lesquelles on pourra con
sulter les ouvrages de Gruenberg (Cohomological Topics in Group Theory),
Hilton et Stammbach (A Course in Homological Algebra), Lang (Rapport sur la
iii
cohomologie des groupes), Serre (Cohomologie galoisienne, Corps locaux),
Weiss (Cohomology of Groupa) ; on n'a pas non plus traité les théorèmes de
K~eth et des coefficients universels (voir Hilton et Stammbach) ni les
structures d'algèbre de H" ( G , à' ) et H*' (g , "7L ) (voir Mac Lane, Homo
logy , ou Cartan - Eilenberg, Homological Algebra). En ce qui concerne la
cohomologie des représentations de dimension infinie des groupes topologi
ques et des algèbres de Lie, le seul livre existant à notre connaissance
est celui de Borel et Wallach (Seminar on the Cohomology of Discrete Sub
groups of Semi-simples Lie Groupa), qui se place à un niveau beaucoup moins
a
élémentaire que le nôtre et donne des applications la difficile théorie
des sous-groupes discrets des groupes semi-simples et de leurs espaces ho
mogènes ;nous lui avons emprunté de nombreuses idées ainsi que des résultats
profonds et difficiles, que nous donnons souvent sans démonstration.
Parmi les questions voisines de celles traitées ici, mais plus ou moins
complètement laissées de côté, citons : la cohomologie borélienne, les rela
tions entre 2-cohomologie et extensions de groupes topologiques, la cohomo
logie des groupes de Lie p-adiques, la cohomologie des algèbres de Lie de
champs de vecteurs, etc. etc.
Je ne voudrais pas terminer cette introduction sans remercier très cha
leureusement mes collègues du Centre de Mathématiques de l'Ecole Polytechni
que, et tout particulièrement P.Blanc, J.P.Bourguignon, C.Champetier, P.Dague,
P.Delorme, M.Demazure, F.Ducloux, M.Duflo, J.Pichaud, D.Vogan, D.Wigner, qui
m'ont aidé dans mon travail par leurs encouragements et, souvent, par leur
connaissance approfondio de tel ou tel domaine mathématique, sans oublier D.
Concha qui a assuré un tirage rapide et excellent de plusieurs versions pré
liminaires de ce livre.
iv
CONTENU DE L'OUVRAGE
Chapitre I. Cohomologie des groupes discrets.
§ 1. Généralités concernant les modules sur les anneaux et sur les groupes;
les morphismes forts (i.e.,en gros, scindés en tant que ~ - morphismes)
entre ces modules ; les complexes de modules, leur cohomologie, leurs mor
phismes et les homotopies entre ces morphismes ; enfin les résolutions
standard des G-modules.
§ 2. Généralités sur les résolutions fortes relativement injectives lemme de
comparaison des résolutions.
§ 3. Définition des groupes Hn(G,E) comme groupes de cohomologie des éléments
G-invariants d'une résolution forte relativement injective quelconque de E ;
·calcul de ces groupes à l'aide de la résolution standard ; cochaînes, cocy
cles et cobords homogènes et inhomogènes, normalisés ou non ; cas des grou
pes finis ; normalisation des cochaînes relativement à un sous-groupe fini ;
formules explicites pour ces normalisations.
§ 4. Cohomologie des sommes et produits directs de G-modules ; des extensions
de G-modules : suite èxacte de cohomologie, construction explicite des mor
phismes de connexion, application à la réduction de la cohomologie ; coho
mologie des limites projectives.
§ 5. Cohomologie des G-modules induits : lemme de Shapiro et construction ex
plicite de l'isomorphisme dont il affirme l'existence.
§ 6. Application de la 2-cohomologie à l'étude des extensions de groupes à no
If( zz
yaux abéliens ; exemple de calcul de cohomologie ; calcul de n, A)
o{i A est un ~ n- module trivial.
V
§ 7, Trivialité de l'action de G sur Hn(G,E), G opérant sur lui-m~me par
automorphismes intérieurs ; nullité de Hn{G,E) lorsqu'il existe un élé-
ment h du centre de ~ (G) tel que 2:: h{g) et que 'J:. h{g).g - id
soit inversible dans End E.
§ 8. Cohomologie des extensions de groupes (sans suites spectrales) : suite
exacte à 5 termes de Hochschild - Serre (construite explicitement) ; cas
de nullité de la cohomologie du groupe entraînée ptlI' celle de la cohomolo-
gie du sous-groupe distingué
§ 9. Cohomologie des extensions de groupes : suite spectrale de Lyndon -
* (
Hochschild - Serre ; application : calcul de H G , ~ ) ctl G est un
groupe nilpotent de dimension 3 sur a:'. analogue au groupe de Heisenberg.
§ 10. Calcul des n-extensions 11~ la Yoneda" entre deux G-modules : multipli-
cation, pull-back, push-out.
§ 11. Définition des groupes Ext~(A,B), leur isomorphisme avec les groupes
Ifl(G , Hom{A,B)) ; application de l'ensemble '::f f {A, B) des n-extensions
n
fortes sur Ext~(A,B) ; étude partielle de la relation d'équivalence sur
':J
f (A,B) définie par cette application ; étude plus (.Omplète dans le cas
n
ou n = 1 ; retour sur les G-modules induits : isomorphisme entre les grou-
pes Ext~(A , In~ E) et Ext~(A,E) ; application de Ext~(E,F) dans
Ext~(Ind E, Ind F).
§ 12. Généralités sur les produits tensoriels de groupes abéliens ; résoluti
ons fortes relativement projectives ; calcul de Ext~(A,B) au moyen d'une
résolution forte relativement projective de A ; groupes TorG(A,B) ; homo
n
logie ; dualité entre homologie et cohomologie.
§ 13. Langage des catégories : interprétation de Extn et Tor comme fonc
n
teurs dérivés dans une catégorie relative ; autre notions analogues rela-
vi
tiv es ou non relatives ; foncteurf1 cohomologiques.
§ 14. Relations avec l'homologie et la cohomologie singulii,res des espaces
topologiques : une résolution forte relativement projective fournie par
les simplexes singuliers d'un espace topologique contractile X où G opère
de façon convenable ; isomorphismes entre homologie et cohomologie de G
et homologie et cohomologie de G'\ X.
Chapitre II. Cohomologie des algèbres de Lie réelles.
Dans ce chapitre on considère dès le départ la cohomologie d'un ,g-module
relative à une sous-algèbre de Lie h de E. , alors qu'au chapitre I on n'a con-
sidéré la cohomologie relative que tout à fait à la fin ; la raison essentielle
en est que le théorème de van Est relie la cohomologie d'un groupe de Lie à la
cohomologie relative de son algicbre de Lie. D'autre part on suppose dès le dé-
but que h est réductive dans E. ; cette hypothèse intervient pour démontrer que
les résolutions habituelles sont fortes ; si l'on ne suppose pas h réductive
dans E. , on peut encore faire une théorie de la cohomologie en passant aux
algèbres associatives, c'est-à-dire en posant
Ext,ng ,h_ (E,F) Extnu ( _g_) ' 'U (.h) (E,F)
le deuxième membre étant défini a\ !'Appendice C mais alors on ignore si la
If
cohomologie obtenue est celle du complexe usuel Hom!//\ (g/.h) , Hom(E,F)).
§ 1. Généralités sur les résolutions h - fortes h - injectives o~ h est une
sous-algèbre de Lie supposée réductive dans E. ; la seule nouveauté par
rapport au chapitre I réside dans l'introduction des (,g,_h)-modules et
(_g_,K)-modules ; définition des groupes Extn h(E,F) , If(_g_,_h,E) ,
,g,_
Extn K(E,F) , ~(g,K,E) , Extn(E,F) , ~(_g,E).
_g_, K