Table Of ContentLecture Notes ni
Mathematics
Edited yb .A Dold and .B Eckmann
704
Pierre Berthelot
Universite de Rennes
E.R.A. au C.N.R.S. n ° 451
Cohomologie Cristalline
des Sch6mas
de Caracteristique p >
O
galreV-regnirpS
Berlin. Heidelberg New York 1974
Prof. Pierre Berthelot
U.E.R. de seuqitam@htaM
@tisrevinU de Rennes
Avenue ud lar@n@G Leclerc
F-35031-Rennes cedex
Library of Congress Cataloging in Publication Data
Berthelot, Pierre, 1943-
Coh~ologie cristalline des sch@mas de caract@-
ristique.
(Lecture notes in mathematics, 407)
Bibliography : p.
.i Geometry~ Algebraic. 2. Homology theory.
.3 Schemes (Algebraic geometry) .I Title.
If. Series: Lecture notes in mathematics (Berlin) 407.
QA3.L28 no. 407 [~k564] 510'.8s [514'.23] 74-14695
AMS Subject Classifications (1970): 14F 10, 14F30, 14G13
ISBN 3-540-06852-X Springer-Verlag Berlin • Heidelberg • New York
ISBN 0-387-06852-X Springer-Verlag New York • Heidelberg • Berlin
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© by Springer-Verlag Berlin • Heidelberg 1974. Printed in Germany.
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TABLE DES MATIERES
Introduction.
Leitfaden. 25
Chapitre i : id@aux ~ ~missances divis@es. 26
.I Id@aux ~ ~uissances divis@es. 26
.2 Enveloppe ~ ~uissances divis@es d'un id@al. 39
2.1. Extension de puissances divis@es. 39
2.2. Puissances divis@es compatibles. 4O
2.3. Enveloppe ~ puissances di\~s@es d'un id@al. 42
2.4. Enveloppe ~ puissances divis@es d'un idgal, avec conditions 45
de compatibilit@.
2.5. Exemples. 47
2.6. Deux isomorphismes. 49
2.7. Extension plate des scalaires. 5O
2.8. Un autre cas d'extension des scalaires. 52
.3 Filtration associ@e ~ un id@al ~ ~uissances divis@es. %
3.1. D@finition de la filtration PD-adique.
3.2. Exemples. ~7
3.3. Enveloppes ~ puissances divis@es PD-nilpotentes. 95
3.4. Grad~@ associ@ ~ la filtration PD-adique. 60
3.5. saC d'un id@al quasi-r@gulier. 65
.4 Invariants PD-diff@rentiels d'un morphisme de sch@mas. 67
4.1. Voisinages infinit@simaux ~ puissances divis~es cas ; d'une 67
immersion ferm@e.
4.2. Voisinages infinit@simaux ~ puissances divis~es cas : d'une 70
immersion quelconque.
4.3. Voisinages infinit@simaux ~ puissances divis@es de la dia~onale. 72
4.4. Conditions de eompatibilit@. 75
4.~. Cas des immersions quasi-r~guli@res. 78
Cha~itre II : Calcul diff@rentiel. 81
I. Connexions et stratifications. 82
i.i. Cat@gories formelles. 82
1.2. Connexions et pseudo-stratifications. 91
1.3. Stratifications. 95
1.4. Stratifications : autre d@finition. i00
1-5. Op@rations sur les objets munis de stratifications. 103
2. Op@rateurs diff@rentiels et stratifications. 106
2.1. Op@rateurs diff@rentiels relativement ~ une cat@gorie io6
formelle.
2.2. Action des op@rateurs diff@rentiels sur un module muni 112
d'une stratification.
.3 Complexe de De Rham et courbure d'une connexion. 115
3.1. Construction du complexe de De Rham. 115
3.2. Courbure d'une connexion. 123
3.3. Courbure et crochet. 126
4. Lissit@ diff@rentielle. 133
4.1. Donn@e d'une stratification en termes de l'action des 134
op@rateurs diff~rentiels.
4.2. Stratifications relativement ~ un groupCide PD-adique 137
diffgrentiellement lisse.
4.3. Stratifications relativement ~ un PD-groupdide affine 149
diff@rentiellement lisse.
4.4. Modules stratifigs universels. 161
.5 Les h~erext pour les complexes diff@rentiels d'ordre ~ i . 162
5.1. Complexes diff@rentiels d'ordre ~ i . 163
5.2. Le foncteur Hom" . 165
5.3- Complexes diff@rentiels d'ordre ~ i injectifs. 168
5.4. Les hyperext. 170
Chapitre III : C~n@ralit@s sur le topos cristallin d'un sch@ma. 179
i. D@finition du topgs cristallin. 179
i.i. Site et topos cristallins. 18o
1.2. Site et topos Y-HPD-stratifiants. 185
1.3. Site et topos cristallins PD-nilpotents. 187
.2 Fonctorialit@ du topos cristallin. 188
2.1. Quelques lemmes. 189
2.2. Morphismes de fonctorialit@ entre topos cristallims. 196
2.3. R@duction modulo un sous-PD-id@al de l'id@al de compatibilit@. 201
.3 Relations entre le topos cristallin et le topos zariskien. 2o4
3.1. Ouverts du topos cristallin d@finis par les ouverts du 2o4
topos zariskien.
3.2. Projection du topos cristallin sur le topos zariskien. 602
3-3. Immersion du topos zariskien dans le topos cristallin. 802
3.4. Compatibilit~s aux morphismes de fonctorialit~. 9O2
3.5. Relations avec le topos zariskien d'un @paississement. 112
4. Gros topos cristallin. 212
4.1. D@finition du gros topos cristallin. 212
4.2. Fonctorialit@ du gros topos cristallin. 216
4.3. interpr@tation des morphismes de fonctori~lit@ entre 219
gros topos cristallins.
4.4. Relations entre gros topos cristallin et gros topos 221
zariskien.
Chapitre IV : Crista~x. 225
i. Cristaux en A-modules. 226
i.I. D@finition des cristaux. 226
1.2. Image inverse d'un cristal. 23o
1.3. Image directe dZun cristal en modules par une immersion 235
ferm@e.
1.4. R@duction modulo un sous-PD-id@al de l'id@al de compa- 238
tibilitY.
Morphismes quasi-lisses. 24O
1.6. Relations entre cristaux et objets stratifi@s. 242
1.7. La cat@gorie des cristaux en A-modules. 248
2. Le site cristallin restreint. 253
2.1. D@finition du site cristallin restreint. 253
2.2. Modules parasites. 255
2.3. Sections sur le site cristallin restreint. 259
-4-
2.4. Foncteurs Hom et Hom sur le topos cristallin restreint. 262
2,5~ La non-fonctorialit@ du topos cristallin restreint. 264
3. Lin@arisation des o~rateurs hyper-PD-diff@rentiels. 268
3.1. Construction £u foncteur lin@arisation. 268
3.2. Lin@aris@ du complexe de De Rham. 277
Chapitre V : Cohomologie cristalline et cohomologie de De Rham. 287
i. Complexe de CeV ch-Alexander relatif ~ une immersion ferm@e. 288
i.i. Cohomologie cristalline au-dessus d'un objet du site 288
cristallin.
1.2. Cohomologie cristalline et complexe de Cv ech-Alexander. 289
1.3. Cohomologie du topos cristallin restreint. 293
.2 Le Lemme de Poincar~ cristallin. 294
2.1. Le lemme de Poincar@. 294
2.2. Cohomologie cristalline du lin@aris@ d'un complexe 301
d'op@rateurs hyper-PD-diff@rentiels.
2.3. Cohomologie cristalline et cohomologie de De Rham. 306
2.4. Cas du topos cristallin PD-nilpotent. 313
.3 Le th@or@me de changement de base pour un morphisme lisse. 314
3.1. Rappels sur les complexes de cocha[nes associgs A un 314
recouvrement.
3.2. Finitude cohomologique des modules quasi-cob@rents. 316
.3.3 Isomorphisme d'adjonction d@fini par un morphisme de 324
topos annel@s.
Topos associ$ ~ un diagramme de topos. 329
.5.3 Le th@or@me de changement de base. 342
.6.3 Connexion de Gauss-Manin. 3~
.4 Formule de K~nneth. 363
4.i. Le morphisme de K[nncth. 363
4,2. Formule de K[nneth your les morphismss lisses. 372
Ohapitre Vi : Classe de cohomologie associ@e ~ un cycle non ' singulier. 381
i. Cohomologie locale. 381
1.1. D@finitions g@n@rales. 381
1.2. Cohomologie ~ support dans um sous-sch@ma r@guli~rement immerg@. 389
1.3. Fibre cristalline en un point. 398
1.4. Complexe de Cousin. 402
i.~. Cohomologie locale des complexes diff@rentiels d'ordre ~ .i 407
1.6. Cohomologie semi-locale. 411
.2 Relations entre les Ext cristallins et les hyperext des complexes 416
diff@rentiels.
2.1. Les Ext semi-locaux pour les modules cristallins. 417
2.2. Les hyperext semi-loeaux pour les complexes diff@rentiels 421
cristallins.
2.3. Formules d'adjonction. 427
2.4. Th@or@mes de eomparaison. 435
.3 Morphisme de Gysin. 44o
3.1. Classe de cohomologie associ@e ~ un cycle non singulier en 44o
cohomologie de De Rham.
4~
3.2. Compl@ments sur les hyperext associ@s ~ un sous-sch@ma lisse
d'un sch@ma lisse.
3.3. Classe de cohomologie associ@e gun cycle non singulier 476
en cohomologie cristalline.
.4 Formule d'intersection. 49o
4.1. Formule de projection. 49o
4.2. Formule de transitivit@. 495
4.3. Fonctorialit@ par rapport aux morphismes transversaux. 503
Cha~itre VII : Dualit@ de Poincar@ et rationalit@ de la fonction z~ta. 521
i. R@sidus et trace. 5al
i.i. Th@or@me de finitude. 5~
1.2. R@sidu en un point ferm@. 529
1.3. Un probl@me de d@formation. D36
1.4. Le morphisme trace. 543
552
.2 La dualit@ de Poincar@.
552
2.1. Le th@or~me de dualit@.
559
2.2. Le morphisme image directe.
-6-
2.3. Morphisme de Gysin et image directe. 963
2.4. Isomorphisme de K~nneth et image directe. ~7
3. FormuAe de Lefschetz et rationalit@ de la fonction z@ta. 573
3.1. Formule de Lefschetz. 973
3.2. Applications ~ la fonction zeta des sch@mas propres et lisses
sur un corps fini.
~7
Appendice : Cohomologie cristalline sur une base ~uelconq~e.
Bibliographie. 195
Index terminolog±que. 597
Index des notations. 106
INTRODUCTION
Cet ouvrage s'inscrit dans la recherche d'une cohomologie '~-adique" pour les
schemas de caract4ristique p > 0 , compl@tant la famiile des cohomologies ~-adique
pour ~ / p o On salt en effet que la cohomologie @tale des sch4mas~ d4ve!opp~e par
Mo A~tin et A. Grothendieck (SGA 4, SGA 5), poss@de les propri4t$s n$cessaires pour
donner naissance g une 'hohomologie de Well" (cfo [35]), g condition de se limiter le
cas @ch4ant g prendre pour coefficients des faisceaux de torsion premiers aux carac-
t~ristiques r4siduelleso Par suite~ dans la famille des cohomologies ~-adique~, pour
variable~ d'un sch4ma de caract~ristique p > 0 ~ figure une lacune pour ~ = p
les propri@t4s de la cohomologie p-adique (au sens usuel) n'@tant plus alors satis-
faisanteso Pour pr4ciser cette lacune par un exemple, consid4rons un seh4ma X
propre et lisse sur l'anneau Z des entiers p-adiques 3 de r4duction X sur le
=p o
corps prettier F } soit X l'image inverse de X sur une elSturealg@brique de
=p 0 0
F ~ et soit X am la vari4t4 analytique eomplexe d@finie par X au moyen d'un plon-
gement choisi de ~p dans ~ o Pour ~ J p , il existe alors un isomorphisme
=
4t,[/f ~) est la cohomologie ~-adique de [o ' et
v
H*(xan,z) la cohomologie enti~re de X an. Par suite, la connaissance des groupes
H (Xo~) 4quivaut ~ la connaissance du rang et de la partie de ~-torsion de la
cohomologie enti@re de X an . Par contre, la connaissance des cohomologies ~-adiques
me permet pas de reconstituer la partie de p-torsion de la cohomologie enti~re, at
par suite no donne pas prise sur les ph4nom@nes qu'on oroit li4s ~_la presence de
p-torsion dams cette cohomologie (et, plus g@n@ralement si X est un F -sch4ma
o =p
propre et lisse ne provenant pas n@c4ssairement d'un Z -sch@ma~ sur ceux qu'on
=p
aimerait pouyoir interpr4ter en termes de p-torsion dams une cohomologie convenable),
-8-
comme par example le fair que la cohomologie de De Rham (*) de X sur F ne
o p--
fournisse pas n@cessairement les bons nombres de Betti pour X (d@finis grace ~ la
o
cohomologie %-adique) (c'est le cas par exemple pour la surface construite par J.P.
Serre darts [51] § 20 - voir [23], note 12). Le probl~me se pose donc de trouver une
thEorie cohomologique qui se substitue ~ la cohomologie p-adique en caract@ristique
p > 0 ~ et on tient plus particuli@r~ment ~ ce que cette th@orie rende compte des
ph@nom@nes de p-torsion.
Des indications sur la fagon de d@velopper une telle th@orie sont donn@es par
les travaux de P. Monsky et G. Washnitzer ([44],[45],[46]). Soient k un corps de
earaet@ristique p ~ O ~ et V un anneau de valuation discr@te eomplet d'inEgales
caractgristiques, de corps r@siduel k o Alors Monsky et Washnitzer ont dEfini une
thgorie cohomologique sur la catggorie des k-seh@mas affines et lisses (et satis-
faisant une petite condition suppl@mentaire), ~ valeurs darts la catEgorie des vec-
toriels sur le corps des fractions K de V ~ en construisant pour un tel sehgma
X une certaine classe d'alg@bres relevant l'anneau de coordonnges de X sur V
et en montrant que la cohomologie du complexe des formes diffErentielles (continues)
sur une telle alg@bre, relativement ~ V , ne dgpend ~ torsion pros que de X , et
varie fonctoriellement en X o Signalons @ussi le rgsultat de S. Lubkin ([37]),
inspire des travaux de Monsky et Washnitzer~ prouvant que lorsque X est un k-
schgma possgdant un rel@vement X' propre et lisse sur V ~ la cohomologie de
De Rham de X' sur V ne depend, ~ torsion pr@s, que de X , et varie fonctoriel-
lement en X . L'inconvgnient de cette approche~ pour le point de rue que nous
adoptons ici, est que~ outre les conditions fort restrictives qui sont requises
pour en dgduire une thgorie cohomologique~ elle sacrifie prEeisgment la pattie de
p-torsion (**). N@anmoins, elle sugg@re fortement que pour les k-schgmas X poss@-
dant un rel@vement lisse sur V ~ la thgorie cohomologique recherchge poss@de des
(*) Rappelons que si f X : ~S est un morphisme de sch@mas, la cohomologie de De
Rham de X relativement ~ S est l'hyper-cohomologie sur X du complexe /~S/~2
des formes diff@rentielles sur X relativement ~ S .
(**) Darts la th@orie de Monsky et Washnitzer, on peut sauver la torsion pour'#a que
l'on prenne V peu ramifi@ (I 1.2.2) ~ celle de Lubkin suppose par contre de
fagon essentielle que l'on n@glige la torsion.
