Table Of ContentBeiträge zur Geometrischen Algebra
MATHEMATISCHE REIHE
BAND 21
LEHRBÜCHER UND MONOGRAPHIEN AUS DEM GEBIETE
DER EXAKTEN WISSENSCHAFTEN
Beiträge
zur
Geometrischen Algebra
Proceedings des Symposiums über Geometrische Algebra
vom 29. März bis 3. April 1976 in Duisburg
Herausgegeben von HANS J. ARNOLD, WALTER BENZ
und HEINRICH WEFELSCHEID
1977
SPRINGER BASEL AG
CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek
Beiträge zur geometrischen Algebra: proceedings d. Symposiums über Geometr. Algebra vom
29. März bis 3. April 1976 in Duisburg/hrsg. von Hans J. Arnold ... - 1. Aufl.
(Lehrbücher und Monographien aus dem Gebiete der exakten Wissenschaften : Math.
Reihe; Bd. 21)
ISBN 978-3-0348-5574-7 ISBN 978-3-0348-5573-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-0348-5573-0
NE: Arnold, Hans-Joachim [Hrsg.]; Symposium über Geometrische Algebra <1976,
Duisburg)
Nachdruck verboten.
Alle Rechte, insbesondere das der Übersetzung in fremde Sprachen und der Reproduktion
auf photostatischem Wege oder durch Mikrofilm, vorbehalten.
© Springer Basel AG 1977
Ursprünglich erschienen bei Birkhäuser Verlag Basel 1977
Softcover reprint of the hardcover 1s t edition 1977
ISBN 978-3-0348-5574-7
Vorwort
Vom 29.3. bis 3.4.1976 fand in Duisburg das Symposion über Geometrische
Algebra statt, zu dem sich Vertreter der verschiedenen Forschungsrichtungen aus
dem Bereich der Grundlagen der Geometrie und verwandter Gebiete trafen, um
über den Stand ihrer Arbeiten vorzutragen und zu diskutieren.
Da die moderne geometrische Grundlagenforschung weitreichende formale
Verfügbarkeit und Anwendbarkeit ihrer Ergebnisse anstrebt, und so die axio
matische Analyse der Anschauung betreibt, um vielen mathematischen Prob
lemkreisen die geometrische Intuition zugänglich zu machen, bedarf sie stets
auch algebraischer Hilfe und Entsprechung. Daher wurde der Terminus
"Geometrische Algebra" als die den verschiedenen speziellen Zielrichtungen
gemeinsame Methode der heutigen Grundlagen der Geometrie zum Leitmotiv
des Symposions gewählt.
Wir danken den Vortragenden für ihre Beiträge und dem Verlag Birkhäuser
für die entgegenkommende Zusammenarbeit.
Duisburg, 1976
Inhaltsverzeichnis
J. Andre: Über verschiedene Klassen von Unterräumen in Räumen mit
nichtkommutativer Verbindung 11
H.-J. Arnold: Zur Algebraisierung allgemeiner affiner und zugehöriger
projektiver Strukturen mit Hilfe eines vektoriellen Kalküls 25
I. Becker: Methoden zur Bestimmung geometrisch äquivalenter
Gruppen 31
W. Benz: Kennzeichnungen von Lorentztransformationen 41
D. Betten: Cl-Wirkungen der hyperbolischen Bewegungsgruppe 43
B. Biedermann: Das Isomorphieproblem bei projektiven Ebenen über
eigentlichen assoziativen cartesischen Gruppen 51
L. Bröcker: Über die Anzahl der Anordnungen eines kommutativen
Körpers 59
W. Burau: Über die irreduziblen Darstellungen der klassischen Grup-
pen und die zugehörigen Grundmannigfaltigkeiten 63
P. M. Cohn: Zum Begriff der Spezialisierung über Schiefkörpern 73
K. J. Dienst: Kennzeichnung hermitescher Quadriken durch Spiegel-
ungen 83
E. Fick: Topologische affine Räume 87
E. Fischer: Über eine Verallgemeinerung des Begriffs der abstrakten
Geometrie im Sinne Maedas und J6 nssons 95
H. Freudenthai: On the Cardinality of Finite Tits Geometries 101
B. Ganter und R. M etz: Kombinatorische Algebra: Koordinatisierung
von Blockplänen 111
E. Glock: Die Unterebenen der freien symmetrischen Ebenen (I) 125
H. Groh: Flat projective planes whose automorphism group con-
tains R2 129
R. Halin: Abzählbare ebene Graphen 133
W. Heise: Über die Abzähltheorie von Polya und de Bruijn 141
A. Herzer: Eine Klasse von Geometrien mit transitiver Translations-
gruppe 147
H. Hotje: Beziehungen zwischen einbettbaren Berührstrukturen und
kinematischen Räumen 153
D. Jungnickel: Hjelmslevebenen mit regulärer abelscher Kollineations-
gruppe 157
W. Junkers: Über normale Inhaltsfunktionen auf affinen Ebenen 167
G. P. Kist: Kinematische punktiert-affine 1nzidenzgruppen 179
8 Inhaltsverzeichnis
F. Knüppel: Homomorphismen von Bewegungsgruppen und projektiv-
metrischen Räumen 185
E. Köhler: Über das Oberwolfacher Problem 189
H.-J. Kroll: Perspektivitäten in Benz-Ebenen 203
H. Kühlbrandt: Über Halbdrehungsebenen, in denen der Höhen-
schnittpunktsatz gilt 209
W. Leissner: Barbilianbereiche 219
H. Lenz: Konstruktionsmethoden für spezielle endliche Inzidenz-
strukturen 225
R. Lingenberg: Parabolische Ebenen 237
A. Longwitz: Über die Projektivitätengruppe der endlichen Andre-
Ebenen 247
H. Mäurer: Die Bedeutung des Spiegelungsbegriffs in der Möbius-und
der Laguerre-Geometrie 251
K. Mathiak: Die Bedeutung nicht-invarianter Bewertungen für
Hjelmslevsche Geometrien 259
U. Melchior: Homologien von verallgemeinerten Vierecken 265
K. Meyer: Zur spiegelungstheoretischen Kennzeichnung von Miquel-
ebenen mit Berührbüschelsatz 269
W. Nolte: Relationen zwischen einfachen Isometrien in orthogonalen
Gruppen 275
T. Peters: Über die Beziehungen von semi-affinen und vollständig
affinen Räumen der Dimension ~ 3 279
E. M. Schröder: Über eine Eigenschaft der Dualitäten 287
R. Schüler: Stufen der Homogenität in distributiven schwach affinen
Räumen 289
R.-H. Schulz: Zur Geometrie der PSU (3, q2) 293
W. Seier: Kettengeometrie über Hjelmslevringen 299
K. Sörensen: Zum Begriff des topologischen affinen Raumes 305
K. Strambach: Mehrfach scharf transitive Liesche Moufang-Loops 311
H. Timmermann: Hyperebenengewebe und elliptische Kurven 317
H. Wähling: Kongruenzerhaltende Permutationen von Kompositions-
algebren 327
H. Wefelscheid: Über die Automorphismengruppen von Hyperbel-
strukturen 337
H. Werner und R. Wille: Über den projektiven Abschluß von Äqui-
valenzklassengeometrien 345
J. Zeuge: Die Struktur der Höchstsingularitäten monoidaler Hyper-
flächen 353
Vorträge zur Schuldidaktik der Geometrie und Algebra
H.-J. Arnold: Relationentheoretische Gruppierungen im Rahmen der
Piagetschen Entwicklungspsychologie 361
Inhaltsverzeichnis 9
M. Leppig: Zur Didaktik der Kegelschnittlehre in Sekundarstufe II 367
E. Wittmann: Das Erlanger Programm der Geometrie, das "Erlanger
Programm" der Algebra und das "Genfer Programm" der gene-
tischen Erkenntnistheorie und Psychologie 379
Über verschiedene Klassen von Unterräumen
in Räumen mit nichtkommutativer Verbindung
von JOHANNES ANDRE
Einleitung
Inzidenzstrukturen mit eindeutigen Verbindungsgeraden zweier verschie
dener Punkte (in [8] partial planes genannt) haben ersichtlich folgende Eigen
schaft: Es gibt eine Abbildung U, die je zwei verschiedenen Punkten x und y
eindeutig eine Linie x U y (in diesem Fall die eindeutig bestimmte Gerade, die
x und y enthält), die Verbindungslinie dieser Punkte, zuordnet. Inzidenzstruk
turen dieser Art nennen wir Verbindungsstrukturen; ist insbesondere jede Linie
eindeutig bestimmt durch die Menge der mit ihr inzidenten Punkte, so sprechen
wir von Verbindungsräumen. Nicht jeder Verbindungsraum ist ein partial plane;
so kommen etwa in [5] und [12] Räume vor, in denen Linien echt in anderen
liegen können. In diesen und vielen anderen Arbeiten ist aber die Verbindungs
operation U kommutativ, d.h. es gilt stets x U y = y U x. Verbindungsräume
mit nicht notwendig kommutativem U sind bisher nur wenig untersucht worden
(vgl. [1], [2], [3], [4], [6] und [10]). In der vorliegenden Note wollen wir uns
vor allem mit Unterräumen solcher nichtkommutiver Räume beschäftigen. Wie
wir sehen werden, gibt es mehrere Möglichkeiten, Unterräume auf" natürliche"
Weise zu definieren, und es stellt sich die Frage, wie diese verschiedenen Klassen
von Unterräumen miteinander zusammenhängen.
In § 1 führen wir besonders wichtige Klassen von (nicht notwendig kommuta
tiven) Verbindungsräumen, wie die L- und LP-Räume ein; Beispiele solcher
Räume sind u.a. die sog. Gruppenräume, die eng mit gewissen transitiven
Permutationsgruppen zusammenhängen (hierzu vgl. insbes. [3]). Spezielle
Gruppenräume sind Verbindungsräume über Fastkörpern ([2]).
Neben den Verbindungslinien x U y kann man in Verbindungsräumen
auch noch sog. Schwerpunktkurven x \j y einführen, die aus x, y und allen
Punkten z mit z U x = z U y bestehen. Dies geschieht in § 2. Im Falle einer
partial plane und spezieller eines affinen Raumes gilt x U y = x \j y, und man
kann die Punkte von x \j y als" Schwerpunkte" von x und y (bei geeigneter
"Massenverteilung " auf x und y) auffassen.
In § 3 werden fünf Klassen von Unterräumen definiert und miteienander
verglichen. In § 4 betrachten wir spezielle LP-Räume, die sog. fastaffinen Räume,
deren wichtigste Beispiele die schon erwähnten Räume über Fastkörpern sind.
Ein fastaffiner Raum mit kommutativer Verknüpfung ist affin. (Zur allgemeinen
Theorie endlicher fastaffiner Räume vgl. insbes. [1].) Schließlich wird in § 5
