Table Of ContentBaumfakultäten und kombinatorische
Dyson-Schwinger-Gleichungen
BACHELORARBEIT
zur Erlangung des akademischen Grades
Bachelor of Science
(B. Sc.)
im Fach Physik
eingereicht an der
Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät I
Institut für Physik
Humboldt-Universität zu Berlin
von
Herrn Martin Lüders
geboren am 02.08.1988 in Potsdam
Betreuung:
1. Herr Prof. Dr. Dirk Kreimer
2. Herr Prof. Dr. Oliver Schnetz
eingereicht am: 28. November 2011
2
Inhaltsverzeichnis
1 Mathematische Grundlagen 3
1.1 Tensorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Tensorprodukt von Algebren . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Weitere Begriffe für spezielle Algebren . . . . . . . . . 4
1.2.3 Tensoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Koalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Weitere Begriffe und Schreibweisen . . . . . . . . . . . 5
1.3.2 Sweedler’s Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4 Bialgebra und Hopfalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.1 Bialgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.2 Hopfalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.3 Weitere Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.5 Graduierte Hopfalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.6 Wurzelbaum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.7 Wald . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 Hopfalgebra von Bäumen 9
2.1 Vektorraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Multiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Das Einselement der Hopfalgebra . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Die Koeins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5 Das Koprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5.1 Zulässiger Schnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.5.2 Definition des Koproduktes . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5.3 Ko-Assoziativität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.5.4 Respektierung der Graduierung . . . . . . . . . . . . . 12
2.5.5 Verträglichkeit mit dem Produkt m . . . . . . . . . . . 12
2.6 Die Antipode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.7 Der B+-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.8 Baumfakultät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3
2.8.1 Direkte Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.8.2 Rekursive Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.8.3 Äquivalenz beiden Definitionen . . . . . . . . . . . . . 15
3 Dyson-Schwinger-Gleichung 19
3.1 Physikalische Bedeutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Die einfachste kombinatorische
Dyson-Schwinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.3 Allgemeinerer Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4 Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung . . . . . . . . . . . . 24
3.5 Zusammenhang zwischen B+ und in Bezug auf Φ . . . . . . 25
3.6 Berechnung von Φ(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
R
3.7 ErneuteBetrachtungdereinfachstenkombinatorischenDyson-
Schwinger-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.8 Weitere kombinatorische Dyson-Schwinger-Gleichungen . . . . 29
4 Fazit 33
4
Zusammenfassung
ZielderArbeitisteineEinführung indieHopfalgebravonBäumenundderen
NutzunginderQuantenfeldtheorie.DabeigehtesinsbesondereumdasLösen
der kombinatorischen Dyson-Schwinger-Gleichung als eine einfache Alterna-
tive zur eigentlichen Dyson-Schwinger-Gleichung auf Feynmangraphen. Zum
Schluss erhalten wir ein Lösungsverfahren für die Auswertung von relativ
allgemeinen kombinatorischen Dyson-Schwinger-Gleichungen.
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Kapitel 1
Mathematische Grundlagen
Dieses Kapitel befasst sich mit dem zentralen mathematischen Objekt dieser
Arbeit, der Hopfalgebra. Der verwendete mathematische Zugang und auch
die verwendete Notation entstammt der Arbeit [1] und wird in der gesam-
ten Arbeit verwendet. Dabei werden bewusst einige Teile ausgelassen, da ein
tiefgreifendes mathematisches Verständnis von Hopfalgebren zwar nützlich,
jedoch zum Verständnis der Arbeit nicht zwingend notwendig ist. Des Wei-
teren folgt lediglich die Nennung der wichtigen Eigenschaften ohne Beweise.
Bei Interesse sind diese jedoch im Paper [1] nachlesbar.
1.1 Tensorprodukt
Definition: Sei k ein Körper und A und B zwei k-Vektorräume. Das Ten-
sorprodukt A⊗B ist ein Vektorraum mit der universellen Eigenschaft, das
heißt, dass es gibt eine bilineare Abbildung
ι :A×B → A⊗B
(a,b) 7→ a⊗b
mit der Eigenschaft, dass es für jeden k-Vektorraum C und jede bilineare
Abbildung f : A×B → C eine eindeutige lineare Abbildung f˜: A⊗B → C
mit f = f˜◦ι gibt.
Dabei ist das Tensorprodukt bis auf Isomorphie eindeutig.
Für 3 gegebene Vektorräume ist (A⊗B)⊗C isomorph zu A⊗(B ⊗C) und
somit kann man einfach A⊗B ⊗C schreiben.
Elemente der Form a ⊗ b mit a ∈ A,b ∈ B nennt man nicht zerlegbar und
sie bilden eine Basis von A⊗B. Und Elemente der Form k ⊗A und A⊗k
können kanonisch mit A identifiziert werden.
3
1.2 Algebra
Definition: Eine k-Algebra ist ein k-Vektorraum A mit einer bilinearen Ab-
bildung m : A ⊗ A → A, welche assoziativ ist, das heißt das folgende Dia-
gramm kommutiert:
m⊗I
A⊗A⊗A //A⊗A
I⊗m m
(cid:15)(cid:15) (cid:15)(cid:15)
A⊗A //A
m
Definition: Man redet von einer Algebra mit Eins, wenn es eine Einheit I in
A gibt, für die das folgendes Diagramm mit u : k → A,λ 7→ λI kommutiert:
u⊗I I⊗u
k ⊗A //A⊗Aoo A⊗k
KKKKKK∼KKKKK%%A(cid:15)(cid:15)myysssss∼ssssss
1.2.1 Tensorprodukt von Algebren
Falls A und B Algebren mit Eins sind und die Multiplikation auf A ⊗ B
gegeben ist durch
m (a ⊗b ,a ⊗b ) = m (a ,a )⊗m (b ,b ),
A⊗B 1 1 2 2 A 1 2 B 1 2
dann ist auch A⊗B eine Algebra mit Eins.
1.2.2 Weitere Begriffe für spezielle Algebren
Eine Algebra ist kommutativ, wenn m ◦ τ = m wobei τ : A ⊗ A → A ⊗ A
den Flip beschreibt, der durch die bilineare Fortsetzung von τ (a⊗b) = b⊗a
gegeben ist.
Ein Unterraum J ⊂ A heißt Unteralgebra, wenn m(J ⊗J) ⊂ J.
1.2.3 Tensoralgebra
Für jeden Vektorraum V können wir eine dazugehörige Tensoralgebra defi-
nieren durch:
T (V) = V⊗n
n≥0
M
4
mit V⊗0 = k und V⊗n+1 = V ⊗ V⊗n, wobei die Multipikation auf T (V)
gegeben ist durch:
m(v ⊗...⊗v ,w ⊗...⊗w ) = v ⊗...v ⊗w ⊗...w
1 p 1 q 1 p 1 q
T (V) ist eine Algebra mit Eins, wobei die Abbildung u durch die Einbettung
von k = V⊗0 in T (V) gegeben ist.
1.3 Koalgebra
Bei Koalgebren handelt es sich um Objekte, die in gewisser Hinsicht dual
zur Algebra sind, somit erhält man die Bedingungen an die Koalgbra, indem
man die Richtung der Operationen ändert.
Definition: Eine Koalgebra ist ein k-Vektorraum C mit einer linearen Ab-
bildung ∆ : C → C ⊗C, die koassoziativ ist, was durch die Kommutativität
des folgenden Diagramms beschrieben wird:
∆⊗I
C ⊗C ⊗C oo C ⊗C
OO OO
I⊗∆ ∆
C ⊗C oo ∆ C
Die Abbildung ∆ heißt Koprodukt und ist das Duale zur Multiplikation.
Das Duale zur Eins, ist die Koeins ǫ : C → k und beschreibt eine Abbildung,
für die folgendes Diagramm kommutiert:
ǫ⊗I I⊗ǫ
k ⊗C oo C ⊗C //C ⊗k
eeKKKK∼KKKKKKK OO∆sssssss∼ssss99
C
1.3.1 Weitere Begriffe und Schreibweisen
Eine Unterkoalgebra ist ein Untervektorraum J ⊂ C mit ∆(J) ⊂ J ⊗ J
zusammen mit der Einschränkung von ∆ auf J.
Eine Koalgebra heißt kokommutativ, wenn τ ◦∆ = ∆, wobei τ den bereits
beschriebenen Flip bezeichnet.
5
1.3.2 Sweedler’s Notation
Bei dieser Notation handelt es sich um eine verkürzte Schreibweise für das
Koprodukt und Funktionen davon, wobei ∆(x) als Summe von nicht zerleg-
baren Elementen geschrieben wird.
∆(x) = x ⊗x
1 2
(x)
X
Falls man auf das Koprodukt auch noch die Funktion f ⊗ g, mit f und g
linearen Funktionen auf C, anwenden will, ergibt sich:
(f ⊗g)◦∆(x) = f (x )⊗g(x )
1 2
(x)
X
1.4 Bialgebra und Hopfalgebra
1.4.1 Bialgebra
Definition: Eine Bialgebra ist ein Vektorraum H mit der Struktur einer
Algebra (m,u) und der Struktur einer Koalgebra (∆,ǫ), welche kompatibel
sind. Kompatibilität bedeutet dabei, dass ∆ und ǫ Algebramorphismen sind
und u ein Koalgebramorphismus. Dies wird durch die Kommutativität der
folgenden 3 Diagramme dargestellt, wobei τ den Flip der Element 2 und 3
23
im Tensorprodukt beschreibt.
H⊗H⊗H⊗H τ23 //H⊗H⊗H⊗H
OO
∆⊗∆ m⊗m
(cid:15)(cid:15)
H⊗H //H ∆ //H⊗H
m
ǫ⊗ǫ u⊗u
H⊗H //k ⊗k H⊗H oo k ⊗k
OO OO
m ∼ ∆ ∆
(cid:15)(cid:15) (cid:15)(cid:15)
H //k H oo u k
ǫ
1.4.2 Hopfalgebra
Definition: Eine Hopfalgebra ist eine Bialgebra H mit einer zusätzlichen
linearen Abbildung S : H → H, welche Antipode genannt wird und für die
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