ARITMETICA Y PREALGEBRA

300 Pages·2004·24.09 MB·Spanish

by  Elena De Oteyza De Oteyza

Aritmética y preálgebra
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i Aritmética y preálgebra
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Elena de Oteyza de Oteyza
Emma Lam Osnaya
Facultad de Ciencias
Universidad Nacional Autónoma de México
Carlos Hernández Garciadiego
Ángel Manuel Carrillo Hoyo
Instituto de Matemáticas
Universidad Nacional Autónoma de México
Revisión técnica
Julio Rodríguez Hernández
Profesor/Investigador
SEMS
Universidad de Guadalajara
María Eugenia Guzmán Flores
Profesora/Investigadora
SEMS
Universidad de Guadalajara
PEARSON
"Educación
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MÉXICO. • ARGENTINA • BRASIL • COLOMBIA • COSTA RICA • CHILE • ECUADOR
ESPAÑA • GUATEMALA • PANAMÁ • PERÚ • PUERTO RJCO • URUGUAY • VENEZUELA
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/Datos de catalogación bibliográfica
D'E OTEYZA, LAM, HERNÁNDEZ, CARRILLO
Aritmética y preálgebra
PEARSON EDUCACIÓN, México, 2004
ISBN: 970-26-0435-4
.Área~ BACHILLERATO
Fonnato: 21 X 27 cm Páginas 304
Editor: Guillermo Trujano Mendoza
e-mail: guillermo. [email protected]
Editor de desarrollo: Miguel B. Gutiérrez Hemández
Supervisor de producción: Enrique Trejo Hemández
PRIMERA EDICIÓN, 2004
D. R.© 2004 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V.
Atlacomulco No. 500-5° piso
Col. Industrial Atoto
53519, Naucalpan de Juárez, Edo. de México
Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana.
Reg. Núm. 1031.
Prentice-Hall es un~ marca registrada de Pearson Educación de México, S. A. de C. V.
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escrito del editor:
El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del
editor o de sus representantes.
ISBN 970-26-0435-4
Impreso en México. Prinred in Mexico
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PEARSON
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Introducción
El objetivo principal de este libro es desarrollar la aritmética y la introducción al ál
gebra de manera clara y accesible. Los temas se presentan ligando los conceptos con
otras ciencias: inicia con el planteamiento de un problema general (el cual puede refe
rirse a la matemática, a otra ciencia o a aspectos de cultura general); una vez resuelto
éste, se proporciona la explicación del nuevo concepto y de las técnicas que intervinie
ron en su solución. Finalmente, se presentan nuevos ejercicios, con sus soluciones, para
reforzar la asimilación y el buen uso de la teoría.
En el desarrollo de los conceptos se evita, en la medida de lo posible, el uso de re
sultados que no estén incluidos en esta obra.
El capítulo 1 presenta algunos ejemplos de sistemas de numeración; con atención
especial al siste1na decimal, actualmente el más usado. Tan1bién se explican otros sis
temas posicionales con bases distintas al diez. A partir de un número se encuentra la
que le corresponde en uno (o más) de los otros sistemas posicionales; esto se hace ya
sea usando como puente el sistema decimal o bien en forma directa. Asimismo se pre
sentan las operaciones aritméticas en el sistema binario y para terminar con una sec
ción dedicada a los sistemas de medición.
El capítulo 2 demuestra la factorización en primos, o potencias de primos, de un
número dado. La existencia del tal factorización se establece en lo que se conoce co
mo "Teorema fundamental de la aritmética". Para este propósito, y como ayuda para
simplificar fracciones, se ofrecen criterios de divisibilidad entre: 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11
y 13. Por ejemplo, un número es divisible entre 4 si el número formado por su dos úl
timas cifras es divisible entre 4. Se presenta el procedimiento para construir una cri
ba de Eratóstenes, que es un modo de conocer una lista de primos consecutivos.
También se explica la fórmula para determinar el número de divisores positivos de
un número; finalmente, se expone el máximo común divisor y el mínimo común múl
tiplo de dos o más números y los procedimientos para obtenerlos; de ellos, destaca el
Algoritmo de Euclides.
El capítulo 3 enuncia las propiedades básicas de las operaciones; el orden en los
números racionales y se presentan algunos números irracionales, con lo que se incur
siona en el conjunto de los llamados números reales. Se muestra la relación que hay
entre los números racionales y las expresiones decimales periódicas y cómo obtener
la expresión decimal correspondiente a un racional escrito como fracción, y viceversa.
La comparación de cantidades, vía un cociente, da origen a las nociones de razones
y proporciones, y de esta manera se introduce el fundamental concepto de variación
proporcional, con el que con tanta frecuencia nos encontramos en la vida diaria. El
capítulo cierra con una muy breve presentación de las razones trigonométricas para
ángulos agudos.
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vi Introducción
El capítulo 4 presenta los temas de conteo y probabilidad a través de ejemplos y
problemas relativos a los distintos modos en que una determinada situación puede pre
sentarse o a qué tan factible es que ésta ocurra. Finalmente, se explican los conceptos
de probabilidad simple, compuesta y condicional.
El capítulo 5 ofrece algunas formas de representar gráficamente los datos obteni
dos mediante observaciones, por ej.emplo, gráficas de barras, de pa:Stel (circulares) y
de líneas. Se ofrece una introducción a las medidas de tendencia central más impor
tantes, como la media aritmética, media geométrica, mediana, media armónica, moda
y el rango medio. También se estudian algunas medidas de dispersión como el rango,
los cuartiles y los percentiles, así como las más importantes: la varianza y desviación
estándar.
El último capítulo es el más largo. En su primera parte presenta el uso de varia
bles y expresiones algebraicas que traducen expresiones del lenguaje cotidiano. Se
presentan y evalúan expresiones algebraicas y se plantéan. problemas a través de
ecuaciones de primer grado en una variable las cuales son resueltas mediante el pro
ceso de "despeje". Más adelante, utilizamos este método para encontrar los puntos de
intersección de rectas con el eje X de un sistema cartesiano.
Por medio de las propiedades básicas de los números reales y las leyes de los ex
ponentes se realizan operaciones entre los polinomios. Analizamos las gráficas de
ecuaciones lineales y de segundo grado. Se introduce el concepto de función, resaltan
do su relación con las tablas de valores de dos columnas y vemos cómo algunas expre-.
siones algebraicas en una variable y fórmulas en dos variables definen funciones entre
números. Se define la suma. de funciones y la multiplicación de una función por un nú
mero real.
Finalmente, vemos las progresiones aritméticas y geométricas. Se dan las fórmu
las para determinar el término enésimo de tales tipos de progresiones y las sumas
de las mismas.
Todos los capítulos incluyen una gran cantidad de ejercicios y problemas, y hay es
pacio suficiente para que el alumno desarrolle las soluciones directamente en el libro.
El profesor podrá seleccionar algunos para trabajar en clase, dejar otros para que el
alumno los aborde de manera individual y todavía tendrá a su disposición una canti
dad suficiente para preparar los exámenes correspondientes.
El apéndice ofrece las soluciones a los ejercicios impares para que el estudiante
evalúe de manera personal el grado de desarrollo de sus habilidades. La idea es que
a medida que sus aciertos le hagan confiar en su destreza le sea menos necesaria la
confrontación de sus resultados con las respuestas ofrecidas. .
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Contenido
Capítulo 1
El sistema decimal .................................... 1
1.1 Introducción .................................................. 2
1.2 Sistem·a decimal ............................................... 4
1.2.1 Orden ................................................. 4
1.2.2 Notación desarrollada .................................... 5
1.2.3 Notación científica ....................................... 6
1.2.4 Ejercicios ............................................... 7
1.3 Bases ....................................................... 8
1.3.1 Ejercicios .............................................. 11
1.4 Operaciones en sistema binario .................................. 13
1.4.1 Ejercicios .............................................. 16
1.5 Agrupamiento ............................................... 18
1.5.1 Ejercicios .............................................. 20
1.6 Sistemas de medición .......................................... 21
1.6.1 Ejercicios .............................................. 25
Capítulo 2
Divisibilidad ........................................ 27
2.1 Factores o divisores ........................................... 28
2.2 Algunos criterios de divisibilidad ................................. 29
2.2.1 Divisibilidad entre 2 ..................................... 30
2.2.2 Divisibilidad entre 4 ..................................... 31
2.2.3 Divisibilidad entre 3 ..................................... 32
viii Contenido
2.2.4 Divisibilidad entre 9 ..................................... 33
2.2.5 Divisibilidad entre S ..................................... 33
2.2.6 Divisibilidad entre 10 .................................... 34
2.2. 7 Divisibilidad entre 7 ..................................... 34
2.2.8 Divisibilidad entre 11 .................................... 36
2.2:9 Divisibilidad entre 13 : . .................................. 37
2.2.1 O Ejercicios .............................................. 39
2.3 Factorización o descomposición en primos ......................... 41
2.3.1 Criba de Eratóstenes ..................................... 43
2.3.2 Ejercicios .............................................. 45
2.4 Divisores comunes. Máximo Común Divisor ........................ 47
2.5 Mínimo Común Múltiplo ........................................ 51
2.5.1 Ejercicios .............................................. 54
Capítulo 3
Fracciones y reales ................................... 59
3.1 Los números racionales ........................................ 60
3.1.1 Localización en la recta, unidad y partición ................... 60
3.1.2 Ejercicios .............................................. 62
3.2 Equivalencia y orden .......................................... 62
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3.2.1 Ejercicios .............................................. 64
3.2.2 Expresiones decimales ................................... 64
3.2.3 Conversiones de expresiones decimales a fracciones ............ 67
3.2.4 Ejercicios .............................................. 69
3.2.5 Operaciones de los números racionales ...................... 71
3.2.6 Ejercicios .............................................. 72
3.3 Razones y proporciones ........................................ 74
3.3.1 Ejercicios .............................................. 76
3.4 Porcentaje .................................................. 77
3.4.1 Ejercicios ......................... 81
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3.5 Variación proporcional ......................................... 85
3.5.1 Variación directa ........................................ 85
3.5.2 Variación inversa ........................................ 87
3.5.3 Ejercicios .............................................. 88
Contenido ix
/2.,
3~6 Los números e, 7r •.••••..•••...••.•.••••••••••••••••..•••••• 91
/2 ...........................................
3.6.1 El número 91
3.6.2 El número e ............................................ 92
3.6.3 El número 7r ••..•.•..•...••.•.•••••.•.•••••....•.•.•.•. 93
3:7 Introducción al seno y coseno de un ángulo ........................ 96
· 3.7.1 Los ángulos y su medición ................................ 96
3.7.2 Funciones trigonométricas para ángulos agudos ............... 97
3. 7.3 Ejercicios ............................................. 103
Capítulo 4
Conteo y probabilidad ............................... 107
4.1 Introducción ................................................ 108
4.2 Diagramas de árbol .......................................... 108
4.3 Ecuaciones con soluciones enteras ............................... 109
4.4 Permutaciones .............................................. 11 O
4.4.1 Ejercicios ............................................. 113
4.5 Ordenaciones ............................................... 115
4.5.1 Ejercicios ............................................. 116
4.6 Ordenaciones con repetición .... ·. .............................. 119.
4.6.1 Ejercicios ............................................. 120
4. 7 Combinaciones .............................................. 122
4. 7.1 Ejercicios ............................................. 123
4.8 Probabilidad simple .......................................... 125
4.8.1 Actividades ........................................... 128
4.8.2 Ejercicios ............................................. 128
4.9 Probabilidad compuesta ...................................... 130
4.9.1 Propiedad de la unión e intersección de eventos .............. 130
4.9.2 Producto de espacios muestrales .......................... 131
4.9.3 Ejercicios .............................................. 132
4.1 O Eventos complementarios ..................................... 135
4.1 0.1 Ejercicios ............................................. 136
x Contenido
4.11 Probabilidad condicional ...................................... 137
4.11.1 Ejercicios ............................................. 138
Capítulo 5
Estadística 141
5.1 Representación de datos ...................................... 142
5.1.1 Gráfica en barras ...................................... 142
5.1.2 Gráfica de pastel ....................................... 143
5.1.3 Gráficas de líneas .................................- ..... 144
5.1.4 Ejercicios ............................................. 145
5.2 Tablas y gráficas de frecuencias ................................. 148
5.2.1 Polígono de frecuencias acumuladas ....................... 149
5.2.2 Ejercicios .............................................. 152
5.3 Medidas de tendencia central ................................ -.. 156
5.3.1 Media aritmética o promedio ............................. 156
5.3.2 Media geométrica ...................................... 157
5.3.3 Mediana ............................................. 158
5.3.4 Media armónica ....................................... 159
5.3.5 Moda ................................................ 161
5.3.6 Rango medio .......................................... 162
5.3.7 .Medidas de tendencia central a partir de la tabla de
frecuencias agrupadas .................................. 163
5.3.8 Ejercicios ............................................. 164
5.4 Medidas de dispersión ........................................ 168
5.4.1 Rango . . ............................................ 168
5.4.2 Cuartiles y rango intercuartil ............................. 169
5.4.3 Percentiles ............................................ 171
5.4.4 Varianza y desviación estándar ............................ 173
5.4.5 Ejercicios ............................................. 175