Ali Nesin 1956'da bla bla

353 Pages·2015·2.7 MB·Turkish

Ali Nesin
1956’da bla bla ...
Nesin Yay(cid:16)nc(cid:16)l(cid:16)k Ltd. S(cid:24)ti.
ku(cid:127)nye...
Ali Nesin
Analiz II
_
I(cid:24)cindekiler
O(cid:127)ns(cid:127)oz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
I Su(cid:127)reklilik ve Limit 3
1 Su(cid:127)reklilik 5
1.1 Tan(cid:16)m ve Tan(cid:16)m(cid:16)n Tart(cid:16)(cid:24)smas(cid:16) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 O(cid:127)rnekler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3 Su(cid:127)rekli Fonksiyonlar(cid:16) Bile(cid:24)stirmek ve K(cid:16)s(cid:16)tlamak . . . . . . . . . 19
1.4 Su(cid:127)reklilik U(cid:127)zerine Notlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2 Fonksiyonlarla I_(cid:24)slemler ve Su(cid:127)reklilik 27
2.1 Fonksiyonlarla I_(cid:24)slemler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.2 Toplama ve Su(cid:127)reklilik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 C(cid:24)arpma ve Su(cid:127)reklilik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4 Polinomiyal Fonksiyonlar ve Su(cid:127)reklilik . . . . . . . . . . . . . . 34
2.5 B(cid:127)olme ve Su(cid:127)reklilik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.6 S(cid:16)ralama ve Su(cid:127)reklilik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.7 Max, Min, Mutlak De(cid:21)ger ve Su(cid:127)reklilik . . . . . . . . . . . . . . 40
2.8 Bile(cid:24)ske ve Su(cid:127)reklilik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.9 Tuhaf Bir Fonksiyonun Su(cid:127)reksizli(cid:21)gi* . . . . . . . . . . . . . . . 44
3 Su(cid:127)reklili(cid:21)gin Derinlikleri 53
3.1 Diziler ve Su(cid:127)reklilik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.2 Arade(cid:21)ger Teoremi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.3 Su(cid:127)rekli Fonksiyonlar(cid:16)n U(cid:24)c De(cid:21)gerleri . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4 Limit 71
4.1 Matematiksel Tan(cid:16)ma Giri(cid:24)s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2 Yo(cid:21)gunla(cid:24)sma Noktas(cid:16) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.3 Nihayet Limit Tan(cid:16)m(cid:16) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.4 Limitin Aritmeti(cid:21)gi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.5 S(cid:16)ralama ve Limit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.6 Bile(cid:24)ske ve Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
iv
5 Limit U(cid:127)zerine Daha Fazla 91
5.1 Sa(cid:21)gdan ve Soldan Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5.2 Limitler ve Sonsuzlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2.1 Sonsuzda Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2.2 Eksi Sonsuzda Limit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.2.3 Sonsuza Iraksamak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.3 Monoton Fonksiyonlar, Limit ve Su(cid:127)reklilik . . . . . . . . . . . . 112
6 Su(cid:127)rekli Fonksiyon Geni(cid:24)sletmek ve U(cid:127)s Almak 117
6.1 Su(cid:127)rekli Fonksiyon Geni(cid:24)sletmek . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6.2 Ger(cid:24)cel Say(cid:16)larda U(cid:127)s Almaya Do(cid:21)gru . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.3 Ger(cid:24)cel Say(cid:16)larda U(cid:127)s Alma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.4 Bernoulli E(cid:24)sitsizlikleri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.5 U(cid:127)s Alman(cid:16)n Su(cid:127)reklili(cid:21)gi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
II Fonksiyonlarda Yak(cid:16)nsakl(cid:16)k 135
7 Fonksiyon Dizilerinin Noktasal Yak(cid:16)nsamas(cid:16) 137
8 Fonksiyon Dizilerinin Du(cid:127)zgu(cid:127)n Yak(cid:16)nsamas(cid:16) 143
8.1 I_lk Tan(cid:16)m ve O(cid:127)rnekler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
8.2 Du(cid:127)zgu(cid:127)n Yak(cid:16)nsakl(cid:16)(cid:21)g(cid:16)n Du(cid:127)zgu(cid:127)n Tan(cid:16)m(cid:16) . . . . . . . . . . . . . . 151
8.3 Fonksiyonlar(cid:16)n Su(cid:127)pnormu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
8.4 FonkX U(cid:127)zerine Mesafe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
8.5 FonkX Uzay(cid:16)nda Yak(cid:16)nsakl(cid:16)k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
8.6 Du(cid:127)zgu(cid:127)n Yak(cid:16)nsakl(cid:16)(cid:21)g(cid:16)n Aritmeti(cid:21)gi . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
8.7 Cauchy Dizileri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
1
8.8 S(cid:16)n(cid:16)rl(cid:16) Fonksiyonlar Ku(cid:127)mesi ℓ (X) . . . . . . . . . . . . . . . . 167
8.9 Su(cid:127)rekli Fonksiyonlar Ku(cid:127)mesi C(X) . . . . . . . . . . . . . . . . 170
9 Weierstrass M-Testi ve Sonu(cid:24)clar(cid:16) 175
9.1 Kuvvet Serileri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
9.2 Fonksiyonlar(cid:16)n Sonsuz Toplam(cid:16) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
9.3 Weierstrass M-Testi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
9.4 Trigonometrik Fonksiyonlar ve Pi Say(cid:16)s(cid:16) . . . . . . . . . . . . . 180
III De(cid:21)gi(cid:24)sik Konular 189
10 I_(cid:24)c ve D(cid:16)(cid:24)sbu(cid:127)key Fonksiyonlar 191
10.1 Tan(cid:16)m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
10.2 D(cid:16)(cid:24)sbu(cid:127)keylik ve Su(cid:127)reklilik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
10.3 D(cid:16)(cid:24)sbu(cid:127)key Fonksiyonlar(cid:16)n C(cid:24)arp(cid:16)m(cid:16) . . . . . . . . . . . . . . . . . 197
10.4 Ters Fonksiyonun Bu(cid:127)keyli(cid:21)gi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
10.5 U(cid:127)s Alman(cid:16)n Bu(cid:127)keyli(cid:21)gi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
10.6 Yerel/Global Minimum/Maksimum . . . . . . . . . . . . . . . . 205
11 Logaritma ve U(cid:127)s Alma 211
11.1 exp Fonksiyonu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
11.2 Do(cid:21)gal Logaritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
11.3 U(cid:127)s Alma U(cid:127)zerine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
11.4 Ba(cid:24)ska Tabanlarda Logaritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
12 E(cid:24)sitsizlikler Ge(cid:24)cidi 221
12.1 Jensen E(cid:24)sitsizli(cid:21)gi ve Sonuc(cid:24)lar(cid:16) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221
12.2 Young E(cid:24)sitsizli(cid:21)gi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224
12.3 H(cid:127)older ve Cauchy-Schwarz E(cid:24)sitsizlikleri . . . . . . . . . . . . . 226
12.4 Minkowski E(cid:24)sitsizli(cid:21)gi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
12.5 Mahler E(cid:24)sitsizli(cid:21)gi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
12.6 (cid:11)’(cid:16)nc(cid:16) Mertebeden Ortalama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230
IV Weierstrass Yog(cid:21)unluk Teoremi 235
13 Genelle(cid:24)stirilmi(cid:24)s Binom A(cid:24)c(cid:16)l(cid:16)m(cid:16) 237
14 T(cid:16)k(cid:16)z Ku(cid:127)meler 251
14.1 A(cid:24)c(cid:16)k Ku(cid:127)meler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
14.2 Su(cid:127)reklilik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
14.3 T(cid:16)k(cid:16)zl(cid:16)k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253
14.4 U(cid:24)c De(cid:21)gerler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
14.5 Du(cid:127)zgu(cid:127)n Su(cid:127)reklilik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
15 Dini Teoremi ve Bir Uygulamas(cid:16) 263
15.1 Dini Teoremi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
p
15.2 t’ye Du(cid:127)zgu(cid:127)n Yak(cid:16)nsayan Polinomlar . . . . . . . . . . . . . . 265
16 Weierstrass Yo(cid:21)gunluk Teoremi 267
16.1 Weierstrass Yo(cid:21)gunluk Teoremi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
16.2 Bernstein Polinomlar(cid:16) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271
V Ekler 275
17 Exp ve Logaritma - Yusuf U(cid:127)nlu(cid:127) 277
18 Harmonik Seri, Euler-Mascheroni Sabiti ve Asallar - Tosun
Terzio(cid:21)glu 283
19 Abel Yak(cid:16)nsakl(cid:16)k Teoremi 287
20 Lebesgue Say(cid:16)s(cid:16) 291
21 ln(1+x) Fonksiyonunun Kuvvet Serisi - Yusuf U(cid:127)nlu(cid:127) 293
22 Bi(cid:24)cimsel Kuvvet Serileri 299
22.1 Polinomlar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 300
22.2 Bi(cid:24)cimsel Kuvvet Serileri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302
22.3 Toplama ve C(cid:24)arpma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
22.4 Tersinir Bi(cid:24)cimsel Kuvvet Serileri . . . . . . . . . . . . . . . . . 308
22.5 Bile(cid:24)ske . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
22.6 Modu(cid:127)lo Xn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
22.7 De(cid:21)gerlendirmek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
22.8 Tu(cid:127)rev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
22.9 Uygulamalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
22.9.1 Exp ve Ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
22.9.2 Genelle(cid:24)stirilmi(cid:24)s Binom A(cid:24)c(cid:16)l(cid:16)m(cid:16) . . . . . . . . . . . . . . 328
22.10 Laurent Serileri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
23 Darboux Fonksiyonlar(cid:16) - Zafer Ercan, U(cid:21)gur Gu(cid:127)l, Mine Menek(cid:24)se 333
Kaynak(cid:24)ca 340

(cid:127)
Ons(cid:127)oz
Birinci ciltte, ger(cid:24)cel say(cid:16)lar ku(cid:127)mesinin, daha do(cid:21)grusu (R; +; (cid:2); (cid:20); 0; 1) yap(cid:16)-
s(cid:16)n(cid:16)n tan(cid:16)m(cid:16)ndan, daha do(cid:21)grusu aksiyomlar(cid:16)ndan yola (cid:24)c(cid:16)km(cid:16)(cid:24)s ve ger(cid:24)cel dizi ve
serileriyle devam etmi(cid:24)stik.
Bu ciltte (cid:127)once fonksiyonlarda su(cid:127)reklilik ve limit kavramlar(cid:16)n(cid:16) i(cid:24)sleyece(cid:21)giz.
Su(cid:127)reklilikle ilgili en (cid:127)onemli sonu(cid:24)clar 3’u(cid:127)ncu(cid:127) b(cid:127)olu(cid:127)mde. Bu (cid:127)onemli sonuc(cid:24)lara bir
de Teorem 4.3’u(cid:127) eklemek laz(cid:16)m.
Ard(cid:16)ndan fonksiyon dizilerinde yak(cid:16)nsakl(cid:16)k konusuna olduk(cid:24)ca ayr(cid:16)nt(cid:16)l(cid:16) bir
bi(cid:24)cimde girece(cid:21)giz. Kan(cid:16)tlanan iki (cid:127)onemli teoremi (cid:127)ozellikle vurgulamak isterim:
Weierstrass M-testi (Teorem 9.1) ve Weierstrass Yo(cid:21)gunluk Teoremi (Teorem
16.1).Kan(cid:16)t(cid:16)olduk(cid:24)cakolayolanbirincisiuygulamada(cid:24)cokyararl(cid:16)d(cid:16)r.Kan(cid:16)t(cid:16)(cid:24)cok
dahazorolanikincisininiseteorik(cid:127)onemidahafazlad(cid:16)r.Ayr(cid:16)ca(cid:25) say(cid:16)s(cid:16)n(cid:16)nma-
tematikseltan(cid:16)m(cid:16)n(cid:16)nkitab(cid:16)nheyecanl(cid:16)b(cid:127)olu(cid:127)mlerindenbirioldu(cid:21)gunudu(cid:127)(cid:24)su(cid:127)nu(cid:127)yo-
rum (Altb(cid:127)olu(cid:127)m 9.4).
Bir (cid:127)onceki cilt, daha (cid:24)cok dizi ve serilerle ilgili oldu(cid:21)gundan (cid:24)cok daha fazla
hesap yapmaya mu(cid:127)saitti, dolay(cid:16)s(cid:16)yla bir (cid:127)o(cid:21)grenci i(cid:24)cin daha keyi(cid:13)iydi. E(cid:21)glenceyi
bu ciltte devam ettirmek (cid:24)cok isterdim; elimden geleni yapt(cid:16)m ama matemati(cid:21)gi
ucuz e(cid:21)glenceye kurban etmek istemedim! Su(cid:127)reklilik (cid:24)cok (cid:24)cok (cid:127)onemli ama ne
yaz(cid:16)k ki pek e(cid:21)glenceli bir konu de(cid:21)gildir. O(cid:127)te yandan soyut matemati(cid:21)gin zev-
kine varm(cid:16)(cid:24)s bir (cid:127)o(cid:21)grencinin ikinci k(cid:16)s(cid:16)mdan itibaren keyif almaya ba(cid:24)slayaca(cid:21)g(cid:16)n(cid:16)
umuyorum.
U(cid:127)(cid:24)cu(cid:127)ncu(cid:127) k(cid:16)s(cid:16)m k(cid:16)smen ya da tamamen atlanarak ve gerekti(cid:21)ginde bu k(cid:16)sma
d(cid:127)onerek kitap bir d(cid:127)onemlik bir ders olarak okutulabilir.
O(cid:127)(cid:21)grencilerin ve uygulamac(cid:16)lar(cid:16)n (cid:24)cok daha e(cid:21)glenceli buldu(cid:21)gu tu(cid:127)rev ve in-
tegral konular(cid:16)n(cid:16) u(cid:127)c(cid:24)u(cid:127)ncu(cid:127) cilde saklad(cid:16)k.
Builkbas(cid:16)mdaillakibir(cid:24)cokeksiklik,hata,yanl(cid:16)(cid:24)sifade,anlat(cid:16)mbozuklu(cid:21)gu,
al(cid:16)(cid:24)st(cid:16)rma ve (cid:127)ornek eksikli(cid:21)gi olacakt(cid:16)r; tecru(cid:127)bem bu y(cid:127)onde. Her tu(cid:127)rlu(cid:127) katk(cid:16)(cid:24)su(cid:127)k-
ranla kar(cid:24)s(cid:16)lanacak ve an(cid:16)lacakt(cid:16)r.
Yaz(cid:16)lar(cid:16)n(cid:16) kitab(cid:16)n sonuna ek olarak koymama izin veren Zafer Ercan, U(cid:21)gur
Gu(cid:127)l, Mine Menek(cid:24)se, Tosun Terzio(cid:21)glu ve Yusuf U(cid:127)nlu(cid:127)’ye, sayfalar tutan du(cid:127)-
zeltme, (cid:127)oneri, al(cid:16)(cid:24)st(cid:16)rma ve daha bir(cid:24)cok de(cid:21)gerli katk(cid:16)s(cid:16)yla kitab(cid:16) zenginle(cid:24)stiren
Yusuf U(cid:127)nlu(cid:127)’ye (bir defa daha), kan(cid:16)tlayamad(cid:16)(cid:21)g(cid:16)m e(cid:24)sitsizliklerde h(cid:16)z(cid:16)r gibi im-
dad(cid:16)ma yeti(cid:24)sen G(cid:127)orkem O(cid:127)zkaya ve Serdar Bozta(cid:24)s’a, kitab(cid:16) sab(cid:16)rla sat(cid:16)r sat(cid:16)r
1
2 O¨nso¨z
okuyup yanl(cid:16)(cid:24)slar(cid:16) du(cid:127)zelten Ali T(cid:127)oru(cid:127)n dostuma ve (cid:127)o(cid:21)grencilerim Tu(cid:127)rku(cid:127) O(cid:127)zlu(cid:127)m
C(cid:24)elik, U(cid:21)gur Do(cid:21)gan, Ali Derya Nesin, Dilek Tefenlili, O(cid:127)zge U(cid:127)lkem ve adlar(cid:16)
buraya s(cid:16)(cid:21)gmayacak daha bir(cid:24)cok (cid:127)o(cid:21)grencime ve meslekta(cid:24)s(cid:16)ma, emektar asistan-
lar(cid:16)m Asl(cid:16) Can Korkmaz ve C(cid:24)i(cid:21)gdem S(cid:24)ahin’e ve son olarak bu ders notlar(cid:16)n(cid:16)
yazmam i(cid:24)cin bana gereken ortam(cid:16) sa(cid:21)glayan, deste(cid:21)gi veren ve sabr(cid:16) g(cid:127)osteren
e(cid:24)sim O(cid:127)zlem Beyarslan’a sonsuz te(cid:24)sekku(cid:127)rlerimi sunar(cid:16)m.
Ali Nesin
NMK, 29 Temmuz 2012
[email protected]