ALGEBRE: GROUPES ET ANNEAUX 1

71 Pages·2012·0.65 MB·French

Universit(cid:19)e Blaise Pascal
U.F.R. Sciences et Technologies
D(cid:19)epartement de Math(cid:19)ematiques et Informatique
Licence de Math(cid:19)ematiques
Troisi(cid:18)eme ann(cid:19)ee, U.E. 35MATF2
ALGEBRE: GROUPES ET ANNEAUX 1
Polycopi(cid:19)e du cours
2007-2008
Franc(cid:24)ois Dumas

Universit(cid:19)e Blaise Pascal, U.F.R. Sciences et Technologie, D(cid:19)epartement de Math(cid:19)ematiques et Informatique
(cid:18)eme
Licence de Math(cid:19)ematiques, 3 ann(cid:19)ee
U.E. 35MATF2
Cours d’alg(cid:18)ebre : groupes et anneaux 1
Franc(cid:24)ois DUMAS
Chapitre 1. { Groupes : les premi(cid:18)eres notions
1. Groupes et sous-groupes
1.1 Notion de groupe............................................................................1
1.2 Sous-groupe..................................................................................2
1.3 Cas particulier des groupes (cid:12)nis..............................................................3
2. Groupes monog(cid:18)enes, groupes cycliques
2.1 Sous-groupe engendr(cid:19)e parun(cid:19)el(cid:19)ement .......................................................5
2.2 Groupes monog(cid:18)enes, groupes cycliques ......................................................6
2.3 G(cid:19)en(cid:19)erateurs d’ungroupe cyclique ...........................................................7
2.4 Groupes (cid:12)nisd’ordre premier ................................................................7
3. Morphismes de groupes
3.1 Notion de morphisme degroupes ............................................................8
3.2 Image etnoyau ..............................................................................9
3.3 Isomorphismes de groupes ...................................................................9
3.4 Automorphismes de groupes ................................................................11
3.5 Automorphismes int(cid:19)erieurs et centre. .......................................................11
4. Produit direct de groupes.
4.1 Produit direct (externe)dedeuxgroupes ...................................................12
4.2 Produit direct de groupes cycliques, th(cid:19)eor(cid:18)eme chinois .......................................13
4.3 Produit direct (interne)de deuxsous-groupes ..............................................14
5. Groupes sym(cid:19)etriques
5.1 Notion de groupe sym(cid:19)etrique. ..............................................................15
5.2 D(cid:19)ecomposition d’unepermutation en produitdetranspositions..............................15
5.3 Signature...................................................................................16
5.4 Groupe altern(cid:19)e..............................................................................16
5.5 Supportet orbites...........................................................................17
5.6 D(cid:19)ecomposition d’unepermutation en produitdecycles disjoints.............................18
6. Groupes di(cid:19)edraux
6.1 Exemples pr(cid:19)eliminaires. ....................................................................20
6.2 Notion de groupe di(cid:19)edral. ..................................................................20
Chapitre 2. { Groupes : groupes quotients
1. Sous-groupes normaux
1.1 Conjugaison................................................................................23
1.2 Notion de sous-groupe normal...............................................................23
1.3 Premiers exemples..........................................................................24
1.4 Classes modulo unsous-groupe, indice......................................................25
1.5 Normalisateur..............................................................................26
2. Quotient d’un groupe par un sous-groupe normal
2.1 Congruence modulo unsous-groupe normal .................................................27
2.2 Notion de groupe quotient .................................................................28
2.3 Premier th(cid:19)eor(cid:18)eme d’isomorphisme ..........................................................29
2.4 Exemple : groupe d(cid:19)eriv(cid:19)eet ab(cid:19)elianis(cid:19)e ......................................................30
2.5 Exemple : quotientsZ=nZ .................................................................30
3. Quelques compl(cid:19)ements
3.1 Propri(cid:19)et(cid:19)e universelle dugroupe quotient ....................................................32
3.2 Deuxi(cid:18)eme th(cid:19)eor(cid:18)eme d’isomorphisme.........................................................33
3.3 Sous-groupes d’ungroupe quotientet troisi(cid:18)eme th(cid:19)eor(cid:18)eme d’isomorphisme ...................33
3.4 Produit semi-direct ........................................................................34
Chapitre 3. { Anneaux : les premi(cid:18)eres notions
1. Anneaux et sous-anneaux
1.1 Notion d’anneau............................................................................37
1.2 Sous-anneau................................................................................38
1.3 Groupe des unit(cid:19)es..........................................................................40
1.4 Corps.......................................................................................40
1.5 Int(cid:19)egrit(cid:19)e....................................................................................41
1.6 Morphisme d’anneaux.......................................................................42
1.7 Corps des fractions d’unanneauint(cid:18)egre.....................................................43
1.8 Anneauxproduits...........................................................................44
2. Id(cid:19)eaux
2.1 Notion d’id(cid:19)eal ..............................................................................45
2.2 Id(cid:19)eal principal, id(cid:19)eal engendr(cid:19)e parune partie, somme d’id(cid:19)eaux .............................45
2.3 Produit d’id(cid:19)eaux, op(cid:19)erations surles id(cid:19)eaux .................................................46
2.4 Caract(cid:19)eristique d’unanneau ................................................................47
3. Anneaux quotients
3.1 Quotient d’unanneau par unid(cid:19)eal .........................................................48
3.2 Id(cid:19)eauxpremiers, id(cid:19)eauxmaximaux .........................................................49
3.3 Th(cid:19)eor(cid:18)eme deKrull .........................................................................51
4. Anneaux euclidiens, anneaux principaux
4.1 Multiples, diviseurs et id(cid:19)eauxprincipaux ...................................................52
4.2 Notion d’anneau euclidien ..................................................................52
4.3 Notion d’anneau principal ..................................................................53
Chapitre 4. { Anneaux : divisibilit(cid:19)e, arithm(cid:19)etique
1. Notions g(cid:19)en(cid:19)erales
1.1 Multiples et diviseurs.......................................................................55
1.2 Elements associ(cid:19)es...........................................................................55
1.3 Elements irr(cid:19)eductibles,(cid:19)el(cid:19)ements premiers...................................................56
1.4 Elements premiers entreeux,plus grand commundiviseur...................................57
2. Arithm(cid:19)etique dans les anneaux principaux
2.1 Pgcd, th(cid:19)eor(cid:18)eme deB(cid:19)ezout et applications ..................................................59
2.2 Cas particulier des anneauxeuclidiens ......................................................60
3. Arithm(cid:19)etique dans les anneaux factoriels
3.1 Notion d’anneau factoriel ..................................................................61
3.2 Divisibilit(cid:19)e dans les anneauxfactoriels, lemme deGauss.....................................62
4. Factorialit(cid:19)e des anneaux de polyno^mes
4.1 Irr(cid:19)eductibilit(cid:19)e des polyno^mes a(cid:18) coe(cid:14)cients dansunanneau factoriel ........................64
4.2 Premi(cid:18)ere application : crit(cid:18)ere d’irr(cid:19)eductibilit(cid:19)e d’Eisenstein..................................66
4.3 Seconde application : factorialit(cid:19)e de l’anneau des polyno^mes surunanneau factoriel.........67
Universit(cid:19)eBlaise Pascal, Licence deMath(cid:19)ematiques, U.E.35MATF2, Alg(cid:18)ebre: groupesetanneaux1, F. Dumas
Chapitre 1
Groupes : les premi(cid:18)eres notions
1. Groupes et sous-groupes
1.1 Notion de groupe
1.1.1 D(cid:19)efinition. Soit G un ensemble non-vide. On appelle loi de composition interne dans G,
ou op(cid:19)eration interne dans G, toute application ?: G G G.
(cid:2) !
Une telle loi de composition interne permet donc d’associer a(cid:18) tout couple (x;y) d’(cid:19)el(cid:19)ements de G
un autre (cid:19)el(cid:19)ement de G, not(cid:19)e x?y, et appel(cid:19)e le produit de x par y pour la loi ?.
1.1.2 D(cid:19)efinition. On appelle groupe tout ensemble non-vide G muni d’une loi de composition
interne ?, v(cid:19)eri(cid:12)ant les 3 propri(cid:19)et(cid:19)es suivantes (appel(cid:19)ees axiomes de la structure de groupe):
(A1) la loi est associative dans G ;
(cid:3)
rappelons que cela signi(cid:12)e que x (y z) = (x y) z pour tous x;y;z G.
(cid:3) (cid:3) (cid:3) (cid:3) 2
(A2) la loi admet un (cid:19)el(cid:19)ement neutre dans G ;
(cid:3)
rappelons que cela signi(cid:12)e qu’il existe e G tel que x e= e x= x pour tout x G.
2 (cid:3) (cid:3) 2
(A3) tout (cid:19)el(cid:19)ement de G admet un sym(cid:19)etrique dans G pour la loi ;
(cid:3)
rappelons que cela signi(cid:12)e que, pour tout x G, il existe x G tel que x x =x x= e.
0 0 0
2 2 (cid:3) (cid:3)
1.1.3 D(cid:19)efinition. On appelle groupe commutatif, ou groupe ab(cid:19)elien, tout groupe G dont la loi ?
v(cid:19)eri(cid:12)e de plus la condition suppl(cid:19)ementaire de commutativit(cid:19)e: x y = y x pour tous x;y G.
(cid:3) (cid:3) 2
1.1.4 Exemples.
(a) Pour tout ensemble X, l’ensemble (X) des bijections de X sur X muni de la loi de
S (cid:14)
composition des bijections est un groupe, appel(cid:19)e groupe sym(cid:19)etrique sur X.
Le neutre en est l’identit(cid:19)e de X, car f id =id f =f pour toute f (X). Pour toute f
X X
(X),lesym(cid:19)etriquedef pourlaloi e(cid:14)stlabijection(cid:14)r(cid:19)eciproquef(cid:0)1,car2fSf(cid:0)1 =f(cid:0)1 f =id 2.
X
S (cid:14) (cid:14) (cid:14)
D(cid:18)es lors queX contient au moins trois(cid:19)el(cid:19)ements, le groupe (X)n’estpas ab(cid:19)elien (montrez-le).
S
(b) Pour tout entier n 1, l’ensemble GL (R) des matrices carr(cid:19)ees d’ordre n inversibles a(cid:18) coef-
n
(cid:21)
(cid:12)cients r(cid:19)eels est un groupe pour la multiplication des matrices.
Le neutre en est la matrice identit(cid:19)e I , car M I = I M = M pour toute M GL (R).
n n n n
Pour toute M GL (R), le sym(cid:19)etrique de M(cid:2)pour la lo(cid:2)i est la matrice inverse2M(cid:0)1, car
n
M M(cid:0)1 =M(cid:0)21 M =I . D(cid:18)eslorsquen 2,legroupeGL(cid:2)(R)n’estpasab(cid:19)elien(montrez-le).
n n
(cid:2) (cid:2) (cid:21)
(c) L’ensemble C des nombres complexes muni de l’addition est un groupe ab(cid:19)elien.
Le neutre en est le nombre complexe nul 0, car z+0 = 0+z = z pour tout z C. Pour tout
2
z C, le sym(cid:19)etriquede z pour l’addition est son oppos(cid:19)e z, car z+( z)=( z)+z=0.
2 (cid:0) (cid:0) (cid:0)
(d) L’ensemble C des nombres complexes non-nuls muni de la multiplication est un groupe
(cid:3)
ab(cid:19)elien.
Le neutre en est le nombre complexe 1, car z:1=1:z =z pour tout z C(cid:3). Pour tout z C(cid:3), le
sym(cid:19)etriquede z pour la multiplication est son inversez(cid:0)1, car z:z(cid:0)1 =2z(cid:0)1:z=1. 2
1
1.1.5 Remarques et conventions de notation. A(cid:12)n d’(cid:19)eviter la lourdeur de la notation , on
(cid:3)
convient g(cid:19)en(cid:19)eralement denoterlaloidecompositioninterned’ungroupequelconqueG, soitcomme
une multiplication (par un point :), soit comme une addition (par un +). Dans le premier cas, le
sym(cid:19)etrique d’un (cid:19)el(cid:19)ement est appel(cid:19)e son inverse, dans le second cas, son oppos(cid:19)e. Usuellement, on
r(cid:19)eserve la notation additive au cas des groupes ab(cid:19)eliens. C’est pourquoi, dans toute la suite de ce
polycopi(cid:19)e, on adoptera pour les groupes quelconques, conform(cid:19)ement a(cid:18) l’usage courant, la notation
multiplicative.
(a) Un groupe G sera donc un ensemble non-vide G muni d’une loi de composition interne :
associative (x:(y:z) = (x:y):z pour tous x;y;z G),
! 2
admettant un (cid:19)el(cid:19)ement neutre e (x:e = e:x =x pour tout x G),
! 2
et telle que tout (cid:19)el(cid:19)ement x G admette un sym(cid:19)etrique x 1 pour la loi : (x:x 1 = x 1:x =e).
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
! 2
(b) De plus, l’(cid:19)eventuelle commutativit(cid:19)e de G se traduira par: x:y = y:x pour tous x;y G.
2
(c) On utilisera la notation xn = x:x:x x (n facteurs) pour tous x G et n N , ainsi que les
(cid:3)
(cid:1)(cid:1)(cid:1) 2 2
conventions x0 = e, et x n = (xn) 1.
(cid:0) (cid:0)
(d) Pour tous x;y G, on a (x:y) 1 = y 1:x 1 (montrez-le, attention a(cid:18) l’ordre !)
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
2
1.1.6 Quelques remarques techniques, mais parfois utiles, sur les axiomes de la structure de groupe.
(a) Dans un groupe G, l’(cid:19)el(cid:19)ement neutre e est n(cid:19)ecessairement unique, et le sym(cid:19)etrique d’un(cid:19)el(cid:19)ement
quelconqueest n(cid:19)ecessairement unique.
(b) SiGestunensemblenon-videmunid’uneloidecompositioninterne:quiestsuppos(cid:19)eeassociative,
ilsu(cid:14)tqueGadmetteun(cid:19)el(cid:19)ementneutreea(cid:18)droite(cequisigni(cid:12)equex:e=xpourtoutx G)
et que tout (cid:19)el(cid:19)ement x G admette un sym(cid:19)etrique x0 G a(cid:18) droite (ce qui signi(cid:12)e que x:x02=e)
2 2
pour conclure queG estungroupe.
1.2 Sous-groupe
1.2.1 Exemple introductif. Consid(cid:19)erons le groupe C(cid:3) pour la multiplication. Dans C(cid:3), consid(cid:19)erons
lesous-ensembleR(cid:3). Enrestreignanta(cid:18)R(cid:3) lamultiplicationdansC(cid:3),onobtientuneloidecomposition
internedansR(cid:3) (carleproduitdedeuxr(cid:19)eelsnon-nulsestencoreunr(cid:19)eelnon-nul). Laquestiondesavoir
si R(cid:3) est lui-m^eme ungroupe pourla loi : est donc fond(cid:19)ee.
L’associativit(cid:19)e de: dansR(cid:3) est(cid:19)evidemmentv(cid:19)eri(cid:12)(cid:19)ee(la relation x:(y:z)=(x:y):z(cid:19)etant vraiepour tous
x;y;z C(cid:3), elle est a fortiori vraie pour tous x;y;z R(cid:3)).
2 2
Lenombrecomplexe1estun(cid:19)el(cid:19)ementdeR(cid:3),etilestneutrepourlaloi:dansR(cid:3)(larelationx:1=1:x=x
(cid:19)etant vraie pourtout x C(cid:3), elle est a fortiori vraie pourtout x R(cid:3)).
2 2
Pour tout x R(cid:3), l’inverse x(cid:0)1 de x dans C(cid:3) appartient a(cid:18) R(cid:3) et est donc l’inverse de x dans R(cid:3) (les
(cid:19)egalit(cid:19)es x:x(cid:0)21 =x(cid:0)1:x=1(cid:19)etant alors vraies dans R(cid:3) comme dansC(cid:3)).
On conclut que le sous-ensemble R(cid:3) est lui-m^eme un groupe pour la multiplication d(cid:19)eduite de celle de
C(cid:3) par restriction. Ondit alors queR(cid:3) est unsous-groupe de C(cid:3).
Le m^emeraisonnement s’applique si onremplace R(cid:3) par Q(cid:3),mais passi onle remplace par l’ensemble
desnombresimaginaires purs(carleproduitdedeuximaginaires pursn’estpasunimaginaire pur),ou
par l’ensemble Z(cid:3) (car l’inverse d’unentier non-nulpeut ne pas^etreunentier).
1.2.2 D(cid:19)efinition. Soit G un groupe muni d’une loi de composition interne : et soit H un sous-
ensemblenon-videdeG. OnditqueH estunsous-groupedeGlorsquelesdeuxconditionssuivantes
sont v(cid:19)eri(cid:12)(cid:19)ees:
(1) H est stable pour la loi : (ce qui signi(cid:12)e x:y H pour tous x;y H),
2 2
(2) H est stable par passage a(cid:18) l’inverse (ce qui signi(cid:12)e x 1 H pour tout x H).
(cid:0)
2 2
Dans ce cas, la restriction a(cid:18) H de la loi : de G d(cid:19)e(cid:12)nit une loi de composition interne dans H, pour
laquelle H est lui-m^eme un groupe.
2
1.2.3 Exemples.
(a) Z, Q, R sont des sous-groupes du groupe C muni de l’addition, mais pas N (car l’oppos(cid:19)e d’un
(cid:19)el(cid:19)ement de N n’est pas n(cid:19)ecessairement un (cid:19)el(cid:19)ement de N).
(b) L’ensemble U des nombres complexes de module (cid:19)egal a(cid:18) 1 est un sous-groupe de C muni de
(cid:3)
la multiplication. Pour tout entier n 1, l’ensemble U des racines n-i(cid:18)emes de l’unit(cid:19)e est un
n
(cid:21)
sous-groupe de U.
(c) Pourtoutn 2,l’ensembledesmatricestriangulairessup(cid:19)erieuresd’ordrena(cid:18)coe(cid:14)cientsr(cid:19)eels
(cid:21)
sans 0 sur la diagonale est un sous-groupe non-ab(cid:19)elien de GL (R). L’ensemble des matrices
n
diagonales d’ordre n a(cid:18) coe(cid:14)cients r(cid:19)eels sans 0 sur la diagonale en est un sous-groupe ab(cid:19)elien.
1.2.4 Remarques.
(a) Les deux conditions de la d(cid:19)e(cid:12)nition 1.2.2 peuvent ^etre synth(cid:19)etis(cid:19)ees en une seule: soit H un
sous-ensemble non-vide d’un groupe G, alors
(H est un sous-groupe de G) si et seulement si (pour tous x;y H, on a x:y 1 H).
(cid:0)
2 2
(b) Si H est un sous-groupe de G, alors l’(cid:19)el(cid:19)ement neutre e de G appartient n(cid:19)ecessairement a(cid:18) H
(car pour tout x H, on a x 1 H, et x:x 1 = e H). A contrario, un sous-ensemble
(cid:0) (cid:0)
2 2 2
de G qui ne contient pas le neutre de G ne peut en aucun cas ^etre un sous-groupe (ce qui
est dans la pratique une fac(cid:24)on pratique tr(cid:18)es fr(cid:19)equente de v(cid:19)eri(cid:12)er qu’un sous-ensemble d’un
groupe connu n’est pas un sous-groupe).
(c) Tout sous-groupe d’ungroupe ab(cid:19)elien est lui-m^eme ab(cid:19)elien, mais un groupe non ab(cid:19)elien peut
contenir des sous-groupes ab(cid:19)eliens aussi bien que des sous-groupes non-ab(cid:19)eliens (voir 1.2.3.c).
(d) Dans la pratique, dans la plupart des cas, pourmontrer qu’unensemble donn(cid:19)e est ungroupe,
on ne revient pas a(cid:18) la d(cid:19)e(cid:12)nition par les trois axiomes, mais on cherche a(cid:18) montrer qu’il est un
sous-groupe d’un groupe d(cid:19)eja(cid:18) connu.
(e) Attention, pour v(cid:19)eri(cid:12)er qu’un sous-ensemble donn(cid:19)e d’un groupe est un sous-groupe, on
n’oubliera pas de v(cid:19)eri(cid:12)er au pr(cid:19)ealable qu’il est non-vide; d’apr(cid:18)es la remarque (b) ci-dessus, le
plus naturel pour cela est de s’assurer qu’il contient le neutre.
(f) Tout groupe G contient toujours au moins poursous-groupes le sous-groupe trivial e form(cid:19)e
f g
du seul (cid:19)el(cid:19)ement neutre, et le groupe G lui-m^eme.
1.2.5 Exemples.
(a) Soit E un espace vectoriel. L’ensemble GL(E) des automorphismes d’espace vectoriel de E
est un groupe appel(cid:19)e groupe lin(cid:19)eaire de E; pour le montrer, il su(cid:14)t de v(cid:19)eri(cid:12)er que c’est un
sous-groupe de (E). Les (cid:19)el(cid:19)ements de GL(E) qui ont un d(cid:19)eterminant (cid:19)egal a(cid:18) 1 forment un
S
sous-groupe de GL(E), not(cid:19)e SL(E).
(b) Supposons de plus que E est euclidien. L’ensemble O(E) des isom(cid:19)etries vectorielles de E est
un groupe appel(cid:19)e groupe orthogonal de E; pour le montrer, il su(cid:14)t de v(cid:19)eri(cid:12)er que c’est un
sous-groupe de GL(E). L’ensemble SO(E) des isom(cid:19)etries vectorielles positives de E est un
sous-groupedeO(E), etl’onaSO(E) = O(E) SL(E). L’ensemble desisom(cid:19)etries vectorielles
\
n(cid:19)egatives de E n’est pas un sous-groupe de O(E) (il ne contient pas le neutre id ).
E
(c) L’ensembledesbijectionscontinueset strictement croissantes deRdansRest ungroupepour
la loi ; pour le montrer, il su(cid:14)t de v(cid:19)eri(cid:12)er que c’est un sous-groupe du groupe (R) de
(cid:14) S
toutes les bijections de R sur R.
1.2.6 Proposition. L’intersection de deux sous-groupes d’un groupe G est un sous-groupe de G.
Plus g(cid:19)en(cid:19)eralement, l’intersection d’une famille quelconque de sous-groupes d’un groupe G est un
sous-groupe de G.
3
Preuve. Il su(cid:14)t pour le montrer de prouver le second point. Soit donc (Hi)i2I une famille de sous-
groupes d’ungroupeG. Posons K = H l’intersection detous lesH . L’ensembleK estnon-vide,
Ti2I i i
car il contientle neutreepuisquecelui-ciappartienta(cid:18) chacundes sous-groupes H . Soientxety deux
i
(cid:19)el(cid:19)ements de K. Pour touti I, on a x:y(cid:0)1 H puisqueH est unsous-groupe. Doncx:y(cid:0)1 K. Ce
i i
2 2 2
quiprouvequeK est unsous-groupe de G.
tu
1.2.7 Remarque. Attention, la r(cid:19)eunion de deuxsous-groupesn’est en g(cid:19)en(cid:19)eral pas unsous-groupe.
Contre-exemple. DanslegroupeC(cid:3) munidelamultiplication,consid(cid:19)eronslesous-groupeU = 1; 1
2
f (cid:0) g
des racines carr(cid:19)ees de l’unit(cid:19)e et le sous-groupe U = 1;j;j2 des racines cubiques de l’unit(cid:19)e. Notons
3
f g
K =U U = 1; 1;j;j2 . Ona j K et 1 K, mais le produit( 1):j = j = K. Donc K n’est
2 3
pas stabl[e parlafmu(cid:0)ltiplicatgion, etce2n’est do(cid:0)nc2pasunsous-groupe de(cid:0)C(cid:3). (cid:0) 2
tu
1.3 Cas particulier des groupes (cid:12)nis
1.3.1 D(cid:19)efinitions et notation. Onappellegroupe (cid:12)niungroupeGqui,entantqu’ensemble,n’a
qu’un nombre (cid:12)ni d’(cid:19)el(cid:19)ements. Ce nombre d’(cid:19)el(cid:19)ements (qui n’est autre que le cardinal de l’ensemble
G) est appel(cid:19)e l’ordre du groupe G, not(cid:19)e o(G) ou G.
j j
1.3.2 Exemples.
(a) Soitnunentierstrictementpositif. SoitX unensemble(cid:12)nia(cid:18)n(cid:19)el(cid:19)ements. Legroupe (X)des
S
bijections de X sur X est alors un groupe (cid:12)ni d’ordre n!, que l’on appelle (ind(cid:19)ependamment
de l’ensemble X) le groupe sym(cid:19)etrique sur n (cid:19)el(cid:19)ements, et que l’on note S .
n
(b) Soit n un entier strictement positif. Le sous-groupe U des racines n-i(cid:18)emes de l’unit(cid:19)e dans
n
C est (cid:12)ni, d’ordre n. On peut expliciter U = 1;e2i(cid:25)=n;e4i(cid:25)=n;e6i(cid:25)=n;:::;e2(n 1)i(cid:25)=n
(cid:3) n (cid:0)
f g
1.3.3 Th(cid:19)eor(cid:18)eme (dit th(cid:19)eor(cid:18)eme de Lagrange) Soit H un sous-groupe d’un groupe (cid:12)ni G. Alors H
est (cid:12)ni, et l’ordre de H divise l’ordre de G.
Preuve. Notons G = n. Il est clair que H est (cid:12)ni. Notons H = m. Pour tout x G, notons
j j j j 2
xH = xh; h H (ce sous-ensemble est appel(cid:19)e la classe dexa(cid:18) gauche modulo H).
f 2 g
D’unepart, pour toutx G, l’ensemble xH est form(cid:19)e de m(cid:19)el(cid:19)ements.
2
Ene(cid:11)et,sil’onnoteH = h ;h ;:::;h ,alorsxH estl’ensembledes(cid:19)el(cid:19)ementsdelaforme
1 2 m
xh pour 1 i m, et xhf =xh lorsquge i=j (car xh =xh implique x(cid:0)1xh =x(cid:0)1xh
i i j i j i j
(cid:20) (cid:20) 6 6
donc h =h donc i=j).
i j
D’autrepart, l’ensemble des classes xH distinctes obtenues lorsquexd(cid:19)ecritG estunepartitionde G.
En e(cid:11)et, tout x G s’(cid:19)ecrit x = xe avec e H, donc x xH; ceci prouve que G est
2 2 2
inclusdanslar(cid:19)euniondesclasses xH,etdoncluiest(cid:19)egal puisquel’inclusionr(cid:19)eciproqueest
triviale. Il reste a(cid:18) v(cid:19)eri(cid:12)er que deux classes xH et yH distinctes sont forc(cid:19)ement disjointes.
Pour cela, supposons qu’il existe z xH yH, c’est-a(cid:18)-dire qu’il existe h0;h00 H tels que
z = xh0 = yh00. Tout (cid:19)el(cid:19)ement xh2de xH\(avec h H) s’(cid:19)ecrit alors xh = (y2h00h0(cid:0)1)h =
y(h00h0(cid:0)1h) avec (h00h0(cid:0)1h) H, et donc xh yH.2On conclut que xH yH. L’inclusion
2 2 (cid:18)
r(cid:19)eciproque s’obtient de m^eme et l’on d(cid:19)eduit que xH = yH. On a ainsi prouv(cid:19)e que deux
classes nondisjointes sont(cid:19)egales, d’ou(cid:18) le r(cid:19)esultat voulupar contrapos(cid:19)ee.
Onconclutquen=mq,ou(cid:18) q d(cid:19)esignelenombre declasses xH distinctesobtenueslorsquexd(cid:19)ecrit G.
tu
1.3.4 Remarques. On peut repr(cid:19)esenter un groupe (cid:12)ni G d’ordre n par un tableau a(cid:18) n lignes et
n colonnes portant dans la case d’intersection de la ligne index(cid:19)e par un (cid:19)el(cid:19)ement x de G et de la
colonne index(cid:19)e par un (cid:19)el(cid:19)ement y de G la valeur du produit x:y. Il est facile de v(cid:19)eri(cid:12)er que tout
(cid:19)el(cid:19)ement de G appara^(cid:16)t une fois et une seule dans chaque ligne et chaque colonne de la table. Il est
clair en(cid:12)n qu’un groupe (cid:12)ni est ab(cid:19)elien si et seulement si sa table est sym(cid:19)etrique par rapport a(cid:18) la
diagonale principale.
1.3.5 Exemples.
(a) Les tables des groupes U = 1;1 , U = 1;j;j2 , U = 1;i; 1; i sont:
2 3 4
f(cid:0) g f g f (cid:0) (cid:0) g
4
1 i 1 i
1 j j2 (cid:0) (cid:0)
1 1 1 1 i 1 i
(cid:0) 1 1 j j2 (cid:0) (cid:0)
1 1 1 i i 1 i 1
(cid:0) j j j2 1 (cid:0) (cid:0)
1 1 1 1 1 i 1 i
(cid:0) (cid:0) j2 j2 1 j (cid:0) (cid:0) (cid:0)
i i 1 i 1
(cid:0) (cid:0) (cid:0)
(b) Dans GL (R), notons: G1 e a b c
2 e e a b c
e = (10 01);a = (cid:0) 01 01(cid:1);b = (cid:0)(cid:0)01 01(cid:1);c = (cid:0)10(cid:0)01(cid:1). a a b c e
(cid:0) (cid:0) b b c e a
Alors G = e;a;b;c est un sous-groupe de GL (R) dont la table est:
1 2
f g c c e a b
(c) Dans GL (R), notons: G2 e a b c
2 e e a b c
e = (10 01);a = (cid:0)10 01(cid:1);b = (cid:0)(cid:0)01 01(cid:1);c = (cid:0)(cid:0)0101(cid:1). a a e c b
(cid:0) (cid:0) b b c e a
Alors G = e;a;b;c est un sous-groupe de GL (R) dont la table est:
2 2
f g c c b a e
(d) Le groupe sym(cid:19)etrique S est d’ordre 3! = 6. On peut d(cid:19)ecrire explicitement ses six (cid:19)el(cid:19)ements.
3
On convient pour cela de noter chaque(cid:19)el(cid:19)ement (cid:27) S comme une matrice a(cid:18) 2 lignes et 3 colonnes,
3
2
ou(cid:18) la seconde ligne indique les images respectives par (cid:27) de trois (cid:19)el(cid:19)ements arbitraires d(cid:19)esign(cid:19)es par
les entiers 1,2,3 sur la premi(cid:18)ere ligne. On a alors S = e;(cid:13);(cid:13)2;(cid:28) ;(cid:28) ;(cid:28) avec:
3 1 2 3
f g
e = (1 23); (cid:13) = (1 23); (cid:13)2 = (12 3); (cid:28) = (1 23); (cid:28) = (1 23); (cid:28) =(1 2 3);
1 23 2 31 31 2 1 1 32 2 3 21 3 2 1 3
On peut alors dresser la table du groupe sym(cid:19)etrique S .
3 e (cid:13) (cid:13)2 (cid:28) (cid:28) (cid:28)
1 2 3
On en d(cid:19)eduit en particulier que le groupe S n’est pas
3 e e (cid:13) (cid:13)2 (cid:28) (cid:28) (cid:28)
1 2 3
ab(cid:19)elien.
(cid:13) (cid:13) (cid:13)2 e (cid:28) (cid:28) (cid:28)
On en tire aussi que le groupe S admet trois sous-groupes 3 1 2
3 (cid:13)2 (cid:13)2 e (cid:13) (cid:28) (cid:28) (cid:28)
d’ordre2quisont e;(cid:28) , e;(cid:28) et e;(cid:28) ,etunsous-groupe 2 3 1
f 1g f 2g f 3g (cid:28) (cid:28) (cid:28) (cid:28) e (cid:13) (cid:13)2
d’ordre 3 qui est e;(cid:13);(cid:13)2 . 1 1 2 3
f g (cid:28) (cid:28) (cid:28) (cid:28) (cid:13)2 e (cid:13)
D’apr(cid:18)es le th(cid:19)eor(cid:18)eme de Lagrange, ce sont, avec le sous- 2 2 3 1
(cid:28) (cid:28) (cid:28) (cid:28) (cid:13) (cid:13)2 e
groupe trivial e et S lui-m^eme, ses seuls sous-groupes. 3 3 1 2
3
f g
2. Groupes monog(cid:18)enes, groupes cycliques
2.1 Sous-groupe engendr(cid:19)e par un (cid:19)el(cid:19)ement
2.1.1 Proposition et d(cid:19)efinition. Soient G un groupe et X un sous-ensemble non-vide de G.
L’intersection de tous les sous-groupes de G qui contiennent X est un sous-groupe de G, appel(cid:19)e le
sous-groupe de G engendr(cid:19)e par X, not(cid:19)e X , et qui est le plus petit (pour l’inclusion) sous-groupe
h i
de G contenant X.
Preuve. R(cid:19)esulte sans di(cid:14)cult(cid:19)es de la proposition 1.2.6. Les d(cid:19)etails sontlaiss(cid:19)es au lecteur.
tu
2.1.2 D(cid:19)efinition et proposition. Soit G un groupe. Soit x un (cid:19)el(cid:19)ement de G. On appelle
sous-groupe monog(cid:18)ene engendr(cid:19)e par x dans G le sous-groupe engendr(cid:19)e par le singleton x . On le
f g
note x . C’est le plus petit sous-groupe de G contenant x, et l’on a:
h i
x = xm; m Z .
h i f 2 g
Preuve. Le sous-groupe x contient x, donc (par stabilit(cid:19)e pour la loi de G) il contient aussi x:x=x2,
h i
x2:x=x3,etparr(cid:19)ecurrencexm pourtoutentier m 1. Ilcontientaussi n(cid:19)ecessairement lesym(cid:19)etrique
x(cid:0)1 de x, donc aussi x(cid:0)1:x(cid:0)1 =x(cid:0)2, et par r(cid:19)ecurre(cid:21)nce x(cid:0)m pour tout entier m 1. En(cid:12)n il contient
le neutre e=x:x(cid:0)1 que l’on note par convention x0. Ceci montre que x xm(cid:21); m Z . Il est clair
h i(cid:27)f 2 g
r(cid:19)eciproquement que xm; m Z est unsous-groupe de G contenantx.
f 2 g tu
5
2.1.3 Remarque. Attention: l’(cid:19)enonc(cid:19)epr(cid:19)ec(cid:19)edentestformul(cid:19)e pourlanotation multiplicativedugroupe
G. Dans le cas d’une loi not(cid:19)ee comme une addition, il faut remplacer xn par nx=x+x+ +x et
x(cid:0)1 par x. Par exemple,dans le groupe Z muni del’addition, x = mx; m Z . (cid:1)(cid:1)(cid:1)
(cid:0) h i f 2 g
2.1.4 D(cid:19)efinition. Soit G un groupe. Soit x un (cid:19)el(cid:19)ement de G. On dit que x est d’ordre (cid:12)ni dans
G lorsqu’il existe des entiers m 1 tel que xm = e. Dans ce cas, on appelle ordre de x le plus petit
(cid:21)
d’entre eux. En d’autres termes:
(x est d’ordre n dans G) (xn = e et xm = e si 1 m < n).
, 6 (cid:20)
Remarquons qu’alors le sym(cid:19)etrique de x est x 1 = xn 1.
(cid:0) (cid:0)
2.1.5 Proposition. Soit G un groupe. Soit x un (cid:19)el(cid:19)ement de G. Si x est d’ordre (cid:12)ni n 1 dans
(cid:21)
G, alors le sous-groupe x est (cid:12)ni d’ordre n, et l’on a:
h i
x = e;x;x2;x3;:::;xn 1 .
(cid:0)
h i f g
Preuve. Soit xm avec m Z un (cid:19)el(cid:19)ement quelconque de x . Par division euclidienne de m par n,
2 h i
il existe des entiers uniques q et r tels que m = nq+r avec 0 r n 1. On a xm = xnq+r =
(cid:20) (cid:20) (cid:0)
(xn)q:xr = eq:xr = xr, ce qui prouve que x est inclus dans l’ensemble E := xr; 0 r n 1 .
h i f (cid:20) (cid:20) (cid:0) g
La r(cid:19)eciproque (cid:19)etant claire, on a x = E. Il reste a(cid:18) v(cid:19)eri(cid:12)er que E est form(cid:19)e des n (cid:19)el(cid:19)ements distincts
e;x;x2;x3;:::;xn(cid:0)1. Pour cela,hsuipposons que xi = xj avec 0 i;j n 1; alors xi(cid:0)j = e avec
(cid:20) (cid:20) (cid:0)
n<i j <n, ce qui, par minimalit(cid:19)e de l’ordre n de x, implique i j =0 et donc i=j. On a donc
(cid:0)bien E=(cid:0) e;x;x2;x3;:::;xn(cid:0)1 , cequi ach(cid:18)evela preuve. (cid:0)
f g tu
2.1.6 Remarques.
(a) Il r(cid:19)esulte de la proposition pr(cid:19)ec(cid:19)edente et du th(cid:19)eor(cid:18)eme de Lagrange que, si le groupe G est (cid:12)ni,
tout(cid:19)el(cid:19)ementest d’ordre (cid:12)ni divisant G.
j j
(b) Si x n’est pas d’ordre (cid:12)ni, le sous-groupe x n’est pas (cid:12)ni, ce qui ne peut se produire que si G
h i
est lui-m^eme in(cid:12)ni.
(c) Mais r(cid:19)eciproquement, un groupe G in(cid:12)ni peut contenir des sous-groupes du type x (cid:12)nis ou
in(cid:12)nis. Par exemple, dans le groupe C(cid:3) pour la multiplication, le groupe i = 1;i;h 1i; i est
(cid:12)ni etle groupe 5 = 5m; m Z est in(cid:12)ni. h i f (cid:0) (cid:0) g
h i f 2 g
2.2 Groupes monog(cid:18)enes, groupes cycliques.
2.2.1 D(cid:19)efinitions. Un groupe G est dit monog(cid:18)ene lorsqu’il est engendr(cid:19)e par un de ses (cid:19)el(cid:19)ements,
c’est-a(cid:18)-dire lorsqu’il existe un (cid:19)el(cid:19)ement x G tel que G = x .
2 h i
Si de plus x est d’ordre (cid:12)ni n 1, alors on dit que le groupe G est cyclique d’ordre n, et l’on a
(cid:21)
d’apr(cid:18)es ce qui pr(cid:19)ec(cid:18)ede:
G = e;x;x2;x3;:::;xn 1 .
(cid:0)
f g
Sinon, xi = xj pour tous i = j dans Z, et G = xm; m Z est monog(cid:18)ene in(cid:12)ni.
6 6 f 2 g
Il est clair qu’un groupe monog(cid:18)ene (en particulier un groupe cyclique) est toujours ab(cid:19)elien.
2.2.2 Proposition(Sous-grouped’ungroupemonog(cid:18)ene in(cid:12)ni). Toutsous-groupenon-trivial d’un
groupe monog(cid:18)ene in(cid:12)ni est monog(cid:18)ene in(cid:12)ni.
Preuve. On a G = xm; m Z avec x = e qui n’est pas d’ordre (cid:12)ni. Soit H un sous-groupe de G
distinct de e . Il exfiste don2c dagns H des6 (cid:19)el(cid:19)ements de la forme x‘ avec ‘ Z(cid:3). Comme l’inverse d’un
f g 2
(cid:19)el(cid:19)ement de H appartient a(cid:18) H, on peut pr(cid:19)eciser qu’il existe dans H des (cid:19)el(cid:19)ements de la forme x‘ avec
‘ N(cid:3). Soit alors dle plus petit entier strictement positif tel quexd H. Posons K = xdm; m Z .
Il2estclairqueK H (carxd H etH eststableparproduitetpass2agea(cid:18)l’inverse). R(cid:19)efciproquem2engt,
(cid:18) 2
soit xm un (cid:19)el(cid:19)ement quelconque de H (avec m Z). Par division euclidienne de m par d, il existe
a;r Z uniques tels que m=ad+r avec 0 r2<d. On a xr =xm(cid:0)ad =xm:(xd)(cid:0)a avec xm H et
(xd)2(cid:0)a K H, et donc xr H. Par minim(cid:20)alit(cid:19)e de d, on a donc forc(cid:19)ement r=0; d’ou(cid:18) xm =2xad et
donc xm2 K(cid:26). Ceci prouvequ2eH K. Onconclut queH =K = xd .
2 (cid:18) h i tu
2.2.3 Proposition (Sous-groupe d’un groupe cyclique). Tout sous-groupe d’un groupe cyclique
est cyclique. Plus pr(cid:19)ecis(cid:19)ement, si G = x est un groupe cyclique d’ordre n 1, alors il existe pour
h i (cid:21)
tout diviseur q de n un et un seul sous-groupe d’ordre q, et c’est le sous-groupe cyclique engendr(cid:19)e
par xd ou(cid:18) n= dq.
6