Álgebras faciales y biálgebras débiles [PhD thesis]

116 Pages·2006·0.782 MB·Spanish

by  Agustín García Iglesias

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PLATA
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Tesis de licenciatura
´ ´ ´
ALGEBRAS FACIALES Y BIALGEBRAS DEBILES
Agust´ın Garc´ıa Iglesias
Director: Dr. Nicol´as Andruskiewitsch
2006
1
´
Indice
´Indice 2
1. Introducci´on. 3
2. Grupos y semigrupos cu´anticos 6
´
2.1. Algebras faciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
´
2.2. Algebras faciales CQT cerradizas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.3. Doble producto cruz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4. La clausura de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.5. La estructura trenzada en Hc(H) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6. Funcionales de Drinfeld y la ant´ıpoda de Hc(H) . . . . . . . . . . . . 46
2.7. La localizaci´on H[G 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
−
2.8. Prueba del Teorema 2.60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3. Bi´algebras d´ebiles 69
´
3.1. Algebras separables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2. Grupoides cu´anticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
´
3.3. Algebras faciales y bi´algebras d´ebiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4. Disquisiciones categ´oricas 90
4.1. Categor´ıas monoidales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
´
4.2. Algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
5. Cambio de base Morita en grupoides cu´anticos 96
5.1. bi´algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
B
× −
5.2. ´algebras de Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
R
× −
5.3. Bi´algebras d´ebiles y bi´algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
R
× −
5.4. Equivalencias Morita y √Morita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
5.5. Un principio para el cambio de base √Morita . . . . . . . . . . . . . 110
5.6. Cambio de base Morita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
Referencias 114
2
1. Introducci´on.
Este trabajo est´a dividido en dos partes, una primera, en la que desarrollamos
un trabajo de T. Hayashi [14], en el que se introduce el concepto de ´algebra facial
(face algebra) y se realiza una versi´on “facial” de la bi´algebra FRT A asociada
R
a una soluci´on constante R de la ecuaci´on de Yang-Baxter, y donde tambi´en se
construye un funtor Hc, llamado la clausura de Hopf, que env´ıa esta bi´algebra al
´algebra de Hopf H asociada a esta soluci´on, introducida en [10] por L. Fadeev, L.
R
TakhtadzhyanyN.ReshetikinbajociertasrestriccionesparaR.Enlasegundaparte,
luego de comprobar que el concepto de ´algebra facial est´a unido a otros existentes
en la literatura como los de bi´algebra d´ebil y bi´algebra, por ser unos casos par-
R
× −
ticulares o generalizaciones de otros, escribimos un resultado de P. Schauenburg [26]
que presenta una equivalencia monoidal entre las categor´ıas de bim´odulos de ´alge-
bras Morita equivalentes, lo que finalmente determina una propiedad de suficiencia
entre las ´algebras faciales en el estudio de las categor´ıas de m´odulos sobre bi´algebras
d´ebiles.
La secci´on 2, en la que se desarrolla el paper “Quantum groups and quantum semi-
groups” de Hayashi [14] est´a organizada como el trabajo citado. En la secci´on 2.1
damos los conceptos y resultados b´asicos de ´algebras faciales y, entre estos, la noci´on
de s-pareo inversible (invertible skew pairing), que juega un papel importante en el
paper. En la secci´on 2.2, introducimos la noci´on de bi´algebra (o ´algebra facial) co-
quasitriangularcerradiza(CCQT),quepuedeservistacomoelpasointermedioentre
una bi´algebra CQT y un ´algebra de Hopf CQT. Una bi´algebra CQT es cerradiza
si tanto su trenza y su inversa R 1 son inversibles en el ´algebra dual (H Hcop) .
± ∗
⊗
Mostramos que H es cerradiza si y s´olo si existe un mapa f : H K de bi´algebras
→
CQT tal que K tiene una ant´ıpoda. En la secci´on 2.3, damos una versi´on facial del
doble producto cruz asociado con s-pareos inversibles, el cual usamos para construir
la clausura de Hopf. En la secci´on 2.4 definimos la clausura de Hopf Hc(H) para
cada ´algebra facial CCQT H y sentamos alguno de los resultados principales del
paper. En la secci´on 2.5 construimos la trenza de Hc(H). En la secci´on 2.6, general-
izamos resultados de Drinfeld [7] en ´algebras de Hopf CQT sin asumir la existencia
de la ant´ıpoda. Usando esto y desarrollando una idea de Reshetikhin, mostramos la
existencia de la ant´ıpoda en las clausuras de Hopf. En la secci´on 2.7 discutimos la
relaci´on entre Hc(H) y la localizaci´on H[G 1]. En la secci´on 2.8 damos algunas rela-
−
ciones entre los elementos group-like y los s-pareos inversibles y construimos H[G 1]
−
para ´algebras faciales H.
En la secci´on 3, luego de revisar en 3.1 algunos conceptos conocidos acerca de ´alge-
bras separables, introducimos el concepto de grupoide cu´antico segu´n el trabajo
“Finite quantum groups and their applications”, de D. Nykshych y L. Vainerman
[21]. Aqu´ı damos las definiciones b´asicas y ejemplos de grupoides cu´anticos y bi´alge-
bras d´ebiles, as´ı como tambi´en discutimos sus propiedades fundamentales, entre las
que se destacan ciertas sub´algebras, conocidas como sub´algebras counitales, que
resultan ser ´algebras separables. En la secci´on 3.3 mostramos que las ´algebras fa-
ciales definidas antes son un caso particular de bi´algebras d´ebiles, identific´andose
conaquellasenlasquesub´algebrascounitalessonconmutativas.Adem´as,realizamos
una versi´on “sin coordenadas” del an´alogo facial de la construcci´on FRT que pre-
sentamos en la secci´on 2.
En la secci´on 4, tras recordar conceptos relacionados con categor´ıas monoidales,
damos los an´alogos de ´algebra y co´algebra en ese contexto, junto con la construc-
3
ci´on universal del ´algebra tensorial.
La secci´on 5.1 est´a destinada a la presentaci´on de las bi´algebras, tal como
R
× −
aparecen en una serie de papers de P. Schauenburg, como “Bialgebras over noncom-
mutative rings and a structure theorem for Hopf bimodules”, [24]. Las bi´alge-
R
× −
bras fueron introducidas por M. Takeuchi [34] generalizando una definici´on de M.
Sweedler [30]. Las aplicaciones en [34], [30] son generalizaciones de grupos de Brauer
y cohomolog´ıa de ´algebras de Hopf. La noci´on de una bi´algebra es tambi´en un
R
× −
debilitamientodeladek-bi´algebra,perodemaneradistinta.Ladefinici´onest´ahecha
con referencia a una k-´algebra fija R, que no necesita ser conmutativa ni separable.
Se requiere que la comultiplicaci´on y la counidad de una bi´algebra H sean
R
× −
mapas de ´algebras y compatibles con un mapa de ´algebras R Ro H (donde
⊗ →
Ro denota el ´algebra opuesta de R). No obstante, aqu´ı la comultiplicaci´on y la
counidad no hacen de H una co´algebra; m´as que en H H, la comultiplicaci´on
⊗
toma valores en un espacio diferente, a saber, el centralizador de R en un cierto
R-bim´odulo H H, donde las dos copias de H en esta u´ltima expresi´on tienen
R
⊗
estructuras de R-bim´odulos diferentes. La counidad toma valores en End(R) en lu-
gar de k. Se requiere una propiedad de coasociatividad y counidad. En este trabajo
tambi´en destacamos un teorema (Teorema 5.6), que generaliza una conocida cor-
respondencia entre estructuras de bi´algebra y categor´ıas monoidales de m´odulos al
caso de m´odulos sobre bi´algebras. Un ´algebra sobre R Ro es una bi´alge-
R R
× − ⊗ × −
bra si y s´olo si su categor´ıa de m´odulos es una categor´ıa monoidal de forma tal que
el funtor subyacente de la categor´ıa de m´odulos sobre R Ro es monoidal. En la
⊗
secci´on 5.2 discutimos la noci´on de ´algebra de Hopf y ciertas definiciones equiv-
R
× −
alentes, tal como es desarrollado en el paper de Schauenburg “Duals and doubles
of quantum groupoids ( Hopf algebras)” [28]. Mostraremos que una estructura
R
× −
de ´algebra de Hopf en una bi´algebra L puede ser reconstruida a partir
R R
× − × −
de una propiedad apropiada en la categor´ıa monoidal de L-m´odulos. Una versi´on
de ello es conocida para H-com´odulos sobre una k-bi´algebra H si k es un cuerpo.
La categor´ıa de H-com´odulos a derecha de dimensi´on finita sobre una k-bi´algebra
H es r´ıgida si y s´olo si H es un ´algebra de Hopf [35]. Donde H se dice r´ıgida si
se tiene una buena noci´on de objetos duales en la categor´ıa. Esta caracterizaci´on
de ´algebras de Hopf no puede ser generalizada al contexto de bi´algebras, au´n
R
× −
para bi´algebras convencionales sobre un anillo k y no sobre un cuerpo, no podemos
extraer suficiente informaci´on de los com´odulos proyectivos finitamente generados
(o los m´odulos proyectivos finitamente generados), y un como´dulo (o m´odulo) que
no es finitamente generado y proyectivo sobre el anillo de base k no puede tener un
dual en el sentido de la definici´on de categor´ıa monoidal r´ıgida. No obstante, si H
es un ´algebra de Hopf sobre un anillo conmutativo k, entonces para dos H-m´odulos
cualesquiera V,W, podemos dotar al m´odulo Hom (V,W) de mapas k-lineales con
k
una buena estructura de H-m´odulo. En particular, la categor´ıa de H-m´odulos es
(como cada categor´ıa r´ıgida) cerrada en el sentido de Mac Lane: tenemos, dentro de
la categor´ıa, los as´ı llamados objetos hom internoshom(V,W) para todoV,W, satis-
faciendo un an´alogo formal de la conocida adjunci´on entreel producto tensorial y los
hom-funtores para bim´odulos. Ahora, mientras la rigidez era demasiado fuerte para
estos prop´ositos, requerir hom-funtores internos es demasiado d´ebil. Resulta que la
categor´ıa de L-m´odulos es siempre cerrada para cualquier bi´algebra L. Pero el
R
× −
teorema de reconstrucci´on para ´algebras de Hopf dir´a que una bi´algebra
R R
× − × −
L es una ´algebra de Hopf si y s´olo si el funtor subyacente de la categor´ıa de
R
× −
a la categor´ıa de R-bim´odulos es compatible con los hom-funtores internos.
L
M
4
En el caso de una k-bi´algebra, ´esta es precisamente la observaci´on de que los hom-
funtores internos en est´an modelados en los m´odulos de mapas k-lineales y no
H
M
en otro objeto. En la secci´on 5.3, tal como hicimos en la seccio´n 3.3, comparamos en
detalle las nociones de bi´algebras d´ebiles y bi´algebras. Resulta que una bi´alge-
R
× −
bra d´ebil es una bi´algebra en la cual R es Frobenius separable. El hecho de
R
× −
que un ´algebra de Hopf d´ebil es una bi´algebra ha sido mostrado por Etingof
R
× −
y Nykshych, [9], quienes tambi´en mostraron que la sub´algebra counital target es
separable. Esto es gran parte del Teorema 5.14. No obstante, mientras que en [9]
la ant´ıpoda es utilizada, su existencia no es asumida en el Teorema 5.14. La parte
de la ant´ıpoda relevante para la prueba (su restricci´on a las sub´algebras counitales
source y target) est´a presente en cualquier bi´algebra d´ebil, au´n en el caso en que
´esta no poseyera una ant´ıpoda. Esto fue probado por Nill [22], junto con el he-
cho de que las sub´algebras counitales son Frobenius separables. As´ı, probamos que
cualquier bi´algebra d´ebil H es una bi´algebra y, rec´ıprocamente, que cualquier
R
× −
bi´algebra con R Frobenius separable es una bi´algebra d´ebil. Luego, para ver
R
× −
cu´ando una bi´algebra d´ebil es un ´algebra de Hopf d´ebil vemos que un ´algebra de
Hopf d´ebil puede caracterizarse como una bi´algebra d´ebil H para la cual cierto
mapa can´onico H H ∆(1)(H H) es una biyecci´on, lo que es an´alogo a
⊗Ht → ⊗
una conocida caracterizaci´on de ´algebras de Hopf. Esto tambi´en prueba que una
bi´algebra d´ebil es un ´algebra de Hopf d´ebil si y s´olo si la bi´algebra asociada es
R
× −
una ´algebra de Hopf. Finalmente, dedicamos las secciones 5.4-5.6 a la noci´on
R
× −
de cambio de base Morita, cuyo resultado principal ser´a la suficiencia mencionada
de las ´algebras faciales en el contexto de categor´ıas de mo´dulos. En estas secciones
se discutir´a una construcci´on que nos permitir´a reemplazar el ´algebra R en una
bi´algebra L por un ´algebra S Morita equivalente para obtener una bi´alge-
R S
× − × −
bra con una categor´ıa monoidal de representaciones equivalente a la de L. De hecho,
podemos, m´as generalmente, reemplazar R por cualquier ´algebra S √Morita equiv-
alente. Dos ´algebras R,S son √Morita equivalentes si tenemos una equivalencia
de categor´ıas monoidales k-lineales = . La definici´on est´a ´ıntimamente
R R ∼ S S
M M
relacionada con nuestra aplicaci´on: una bi´algebra puede caracterizarse como
R
× −
poseedora de una categor´ıa de representaciones con producto tensorial basado en el
producto tensorial de .
R R
M
A trav´es de este trabajo, usaremos la conocida notaci´on de Sweedler [29], como
(∆ id)∆(a) = a a a , donde ∆ denota el coproducto de una co´algebra dada.
1 2 3
⊗ ⊗ ⊗
5
2. Grupos y semigrupos cu´anticos
´
2.1. Algebras faciales
Definici´on 2.1. Sea H un ´algebra sobre un cuerpo K equipada con una estructura
de co´algebra (H,∆,ε). Sea un conjunto finito no vac´ıo y sean e = e y eo = eo
V H,i i H,i i
(i ) elementos de H. Decimos que (H,e ,eo) es una -´algebra facial ( -face
∈ V i i V V
algebra) si las siguientes condiciones son satisfechas:
∆(ab) = ∆(a)∆(b) (1)
e e = δ e , eoeo = δ eo, e eo = eoe (2)
i j ij i i j ij i i j j i
e = 1 = eo (3)
k k
k k
X∈V X∈V
∆(eoe ) = eoe eoe , ε(eoe ) = δ (4)
i j i k ⊗ k j i j ij
k
X∈V
ε(ab) = ε(ae )ε(eob) (5)
k k
k
X∈V
para cada a,b H e i,j .
∈ ∈ V
Llamamos a los elementos e y eo idempotentes faciales de H.
i i
Es claro que una bi´algebra es una noci´on equivalente a la de -´algebra facial con
V
# = 1.
V
Proposici´on 2.2. Para una -´algebra facial, tenemos las f´ormulas:
V
∆(1) = e eo, (6)
k ⊗ k
k
X∈V
∆(e ) = e eoe , ∆(eo) = eoe eo, (7)
j k ⊗ k j i i k ⊗ k
k k
X∈V X∈V
ε(eoa) = ε(e a), ε(aeo) = ε(ae ), (8)
i i i i
ε(e ) = ε(eo) = 1, (9)
j i
a ε(e a e ) = e ae , (10)
1 i 2 j i j
ε(e a e )a = eoaeo, (11)
i 1 j 2 i j
a ε(e a ) = e a, a ε(a e ) = ae , ε(eoa )a = eoa, ε(a eo)a = aeo. (12)
1 i 2 i 1 2 j j i 1 2 i 1 j 2 j
∆(a) = e a e eoa eo, (13)
k 1 l ⊗ k 2 l
k,l
X
e a e a = a eoa eo (14)
i 1 j ⊗ 2 1 ⊗ i 2 j
∆(eoiejaei′ej′) = eoia1eoi′ ⊗eja2ej′, (15)
para cada a H e i,j,i,j .
′ ′
∈ ∈ V
6
Demostracio´n. Tenemos, segu´n los axiomas (1)-(5),
∆(1) = ∆( eoe ) = eoe eoe = e eo,
i j i k ⊗ k j k ⊗ k
i,j i,j k k
X∈V X∈VX∈V X∈V
lo que determina (6), vemos tambi´en (7):
∆(e ) = ∆(eoe ) = eoe eoe = e eoe ,
j i j i k ⊗ k j k ⊗ k j
i i k k
X∈V X∈V X∈V X∈V
∆(eo) = ∆(eoe ) = eoe eoe = eoe eo.
i i j i k ⊗ k j i k ⊗ k
j j k k
X∈V X∈V X∈V X∈V
Utilizando nuevamente la lista de axiomas (1)-(5),
ε(e a) = ε(e eoa) = ε(e eoe )ε(eoa) = δ ε(e eo)ε(eoa) =
i i j i j k k i,k i j k
j j k j,k
X XX X
δ ε(eoa) = ε(eoa).
i,j i i
j
X
Por (3), (5), (2), (4), respectivamente, lo que prueba la primera de las igualdades
de (8). La otra surge de manera an´aloga. Esto determina (9), ya que
ε(e ) = ε(e e ) = ε(eoe ) = 1, ε(eo) = ε(eoeo) = ε(eoe ) = 1.
j j j j j i i i i i
Ahora, notemos que
∆(e ae ) = e a e eoe a eoe = (e a e ) e (eoa eo)e =
i j k 1 l ⊗ k i 2 l j k 1 l ⊗ i k 2 l j
k,l k,l
X X
(1 e )∆(a)(1 e ) = a e a e
i j 1 i 2 j
⊗ ⊗ ⊗
ya que, como veremos m´as abajo, es inmediato que
∆(1) = e eo, ∆(e ) = (1 e )∆(1),
k ⊗ k i ⊗ i
k
X
con lo que obtenemos (10). An´alogamente obtenemos (11). (13) se obtiene de la
igualdad ∆(a) = ∆(1)∆(a)∆(1). Por (10) y (11),
e a e a = a ε(e a e ) a = a ε(e a e )a = a eoa eo.
i 1 j ⊗ 2 1 i 2 j ⊗ 3 1 ⊗ i 2 j 3 1 ⊗ i 2 j
y as´ı vale (14). De esta u´ltima propiedad y de (4) tambi´en se deduce
∆(eoiejaeoi′ej′) = eoieka1eoi′el ⊗eokeja2ej′eol =
k,l
X
eoieka1eleoi′ ⊗eja2ej′ = eoia1eoi′ ⊗eja2ej′.
k,l
X
Sumando sobre i o j en (10), (11) y utilizando (8) obtenemos (12).
Definici´on 2.3. Un mapa f : H R entre -´algebras faciales se dice un mapa
→ V
de -´algebras faciales si es un morfismo de ´algebras y co´algebras tal que f(e ) =
i
V
e , f(eo) = eo para cada i . Denotamos por (H,R) al conjunto de todos los
i i i ∈ V VFA
mapas de -´algebras faciales de H a R.
V
7
Para una -´algebra facial H, sea Hop (resp. Hcop) el ´algebra opuesta (resp. la
V
co´algebra opuesta) de H equipada con la misma estructura de co´algebra (resp. ´alge-
bra) de H. Entonces Hop := (Hop,e ,eo) (resp. Hcop := (Hcop,eo,e )) es una -´algebra
i i i i V
facial. En particular, Hbop := (Hop)cop es una -´algebra facial v´ıa:
V
e = eo , eo = e .
Hbop,i H,i Hbop,i H,i
En este u´ltimo caso, por ejemplo, vemos que
∆bop(1) = τ(∆(1)) = 1 1 = eo e = e eo = 1cop 1cop,
(2) ⊗ (1) i ⊗ i Hbop,i ⊗ Hbop,i (1) ⊗ (2)
k k
X X
donde τ denota la trasposici´on usual.
Recordemos que dada un ´algebra (A,m,u) de dimensi´on finita, podemos dotar de
una estructura de co´algebra a A , su dual lineal, (A ,m ,u ), identificando (A A)
∗ ∗ ∗ ∗ ∗
⊗
con A A . Si A no es de dimensi´on finita, su co´algebra dual est´a dada por
∗ ∗
⊗
Ao = f A : f(I) = 0, para algu´n ideal I de A tal que dim(A/I) < .
∗
{ ∈ ∞}
concomultiplicaci´onm ycounidadu .LosidealesI paraloscualesvalelacondici´on
∗ ∗
dim(A/I) < se dicen de codimensi´on finita. Existen caracterizaciones adicionales
∞
de Ao, que enunciamos en la siguiente proposici´on y cuya prueba puede verse en
[23].
Proposici´on 2.4. Sea (A,m,u) un ´algebra y f A . Entonces son equivalentes:
∗
∈
(i) f se anula en un ideal a derecha de A de codimensio´n finita,
(ii) f se anula en un ideal a izquierda de A de codimensio´n finita,
(iii) f se anula en un ideal de A de codimensio´n finita,
(iv) dim(A ⇀ f) < ,
∞
(v) dim(f ↼ A) < ,
∞
(vi) dim(A ⇀ f ↼ A) < ,
∞
(vii) m (f) A A .
∗ ∗ ∗
∈ ⊗
En consecuencia, f Ao si se cumple alguna de las condiciones (i)-(vii).
∈
En el enunciado de la proposici´on anterior, hemos utilizado la notaci´on de flechas
de Sweedler. Dada un ´algebra A, tenemos acciones a izquierda y derecha ⇀ y ↼ de
A en A , dadas por, para h,k A y f A
∗ ∗
∈ ∈
(h ⇀ f)(k) = f(kh), (f ↼ k)(h) = f(kh).
Para una -´algebra facial H, su ´algebra dual Ho se define como la co´algebra dual de
V
H equipada con producto y idempotentes faciales dados por
XY,a = X,a Y,a (X,Y Ho,a H)
1 2
h i h ih i ∈ ∈
y
e ,a = ε(ae ), eo ,a = ε(e a) (a H,i ).
h Ho,i i H,i Ho,i H,i ∈ ∈ V
(cid:10) (cid:11)
8
Definici´on 2.5. Sean x+,x ,e+,e elementos de un ´algebra A dada. Decimos que
− −
x es una (e+,e )-inversa generalizada de x+ si se satisfacen las siguientes cuatro
− −
relaciones:
x x = e , x x x = x .
∓ ± ± ± ∓ ± ±
Observaci´on 2.6. Notamos que la (e+,e )-inversa generalizada de x+ es u´nica si
−
existe: si y es otra (e+,e )-inversa generalizada de x+, entonces
− −
x = x x+x = x e = x x+y = e+y = y x+y = y .
− − − − − − − − − − −
Definici´on 2.7. Decimos que un mapa lineal S : H H es una ant´ıpoda de H si
→
S(a )a = E+(a), a S(a ) = E (a),
1 2 1 2 −
S(a )a S(a ) = S(a)
1 2 3
para cada a H, donde E+ y E denotan endomorfismos en H definidos por
−
∈
E+(a) = ε(ae )e , E (a) = ε(eoa)eo. (16)
k k − k k
k k
X X
Un ´algebra facial que admite una ant´ıpoda H es una -´algebra facial de Hopf.
V
Proposici´on 2.8. Una ant´ıpoda de una -´algebra facial es un antimorfismo de
V
´algebras y co´algebras, que satisface
S(eoe ) = eoe (i,j )
i j j i ∈ V
Para otra Hopf -´algebra facial K y un mapa f : H R, tenemos f(S(a)) =
V →
S(f(a)), a H.
∈
Demostracio´n. Notemos que (id ∆)∆(eoe ) = eoe eoe eoe . Entonces
⊗ i j k,l i k ⊗ k l ⊗ l j
P
S(eoe ) = S(eoe )eoe S(eoe ) = (S id)∆(eo)(id S)∆(e ) = E+(eo)E (e ) =
i j i k k l l j ⊗ i ⊗ j i − j
k,l
X
ε(eoe )e ε(e e )ε(eo) = δ δ e eo = e eo = eoe .
i k k l j l i,k l,j k l i j j i
k l k,l
X X X
Veamos que es un antimorfismo de ´algebras. Consideramos el ´algebra L = Hom(H
⊗
H,H) con el producto de convoluci´on y m,φ,ψ,e+,e L dados por m(a b) =
−
∈ ⊗
ab,ψ(a b) = S(b)S(a),φ(a b) = S(ab),e+(a b) = E+(ab),e (a b) = E (ab)
− −
⊗ ⊗ ⊗ ⊗
entonces podemos ver que φ,ψ son (e+,e )-inversas generalizadas de m y por lo
−
tanto coinciden. En efecto,
(m φ)(a b) = a b S(a b ) = E (ab) = e (a b),
1 1 2 2 − −
∗ ⊗ ⊗
(φ m)(a b) = S(a b )a b = E+(ab) = e+(a b),
1 1 2 2
∗ ⊗ ⊗
(m φ m)(a b) = a b S(a b )a b = a b E+(a b ) =
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2
∗ ∗ ⊗
a b ε(a b e )e = a b e ε(a b eo) = a b 1 ε(a b 1 ) = ab = m(a b)
1 1 2 2 k k 1 1 k 2 2 k 1 1 (1) 2 2 (2) ⊗
k k k
X XX
y
(φ m φ)(a b) = S(a b )a b S(a b ) = S(ab) = φ(a b).
1 1 2 2 3 3
∗ ∗ ⊗ ⊗
9
An´alogamente vemos que ψ es inversa generalizada, por ejemplo,
(m ψ)(a b) = a b S(b )S(a ) = a E (b)S(a ) = a ε(e b)eoS(a ) =
∗ ⊗ 1 1 2 2 1 − 2 1 k k 2
k
X
ε(e b)a eoS(a ) = ε(e b)a e eoe S(a ) = ε(e b)a eoe S(a eo) =
k 1 k 2 k 1 l k l 2 k 1 k l 2 l
k k,l k,l
X X X
ε(e b)E (aeo) = ε(e b)ε(e aeo)eo = ε(e ab)eo = E (ab),
k − k k l k l l l −
k k,l l
X X X
por(5).DemanerasimilarvemosqueS esunantimorfismodeco´algebras,definiendo
en K = Hom(H,H H), φ(a) = S(a ) S(a ), ψ(a) = S(a) S(a) y viendo que
2 1 1 2
⊗ ⊗ ⊗
ambas son (∆(1)E+,E ∆(1))-inversas generalizadas del coproducto ∆.
−
ψ ∆(a) = ψ(a )∆(a ) = S(a )a S(a )a = E+(a ) S(a )a =
1 2 2 3 1 4 2 1 3
∗ ⊗ ⊗
e ε(a e )S(a )a = e S(a )a eo = e E+(a)eo = ∆(1)E+(a).
k ⊗ 2 k 1 3 k ⊗ 1 2 k k ⊗ k
k k k
X X X
(ψ ∆)(a) = ∆(a )ψ(a ) = a S(a ) a S(a ) = a S(a ) E (a ) =
1 2 1 4 2 3 1 3 − 2
∗ ⊗ ⊗
a ε(e a )S(a ) eo = e a S(a ) eo = E (a)∆(1).
1 k 2 3 ⊗ k k 1 2 ⊗ k −
k k
X X
Tambi´en,
(∆ ψ ∆)(a) = a S(a )a a S(a )a = a E+(a ) E (a )a =
1 4 5 2 3 6 1 3 − 2 4
∗ ∗ ⊗ ⊗
a ε(e a )e ε(a eo)e a = e a e eoa eo = ∆(a).
1 l 2 k ⊗ 3 k l 4 l 1 k ⊗ l 2 k
k,l k,l
X X
(ψ ∆ ψ)(a) = S(a )a S(a ) S(a )a S(a ) = E+(a )S(a ) S(a )E (a ) =
2 3 6 1 4 5 2 4 1 − 3
∗ ∗ ⊗ ⊗
e S(a )ε(e a ) S(a )ε(a e )eo = e S(eoa ) S(a e )eo =
k 4 l 3 ⊗ 1 2 k l k l 2 ⊗ 1 k l
k,l k,l
X X
S(eoa eo) S(e a e ) = S(a ) S(a ) = ψ(a).
l 2 k ⊗ l 1 k 2 ⊗ 1
k,l
X
donde usamos que S es un antimorfismo de ´algebras. Por lo tanto ψ es una inversa
generalizada, como lo es φ, por ejemplo
(∆ φ)(a) = ∆(a )φ(a ) = a S(a ) a S(a ) = ∆(a S(a )) = ∆(E (a)) =
1 2 1 3 1 2 3 2 1 2 −
∗ ⊗
ε(e a)e eo eo = E (a)∆(1).
k l k ⊗ l −
k,l
X
Poru´ltimo,sif : H Kesunmorfismo,podemosverquef S esla(f E+,f E )-
−
→ ◦ ◦ ◦
inversa generalizada de f, como lo es tambi´en S f, lo que veremos en un lema a
◦
continuaci´on, y por lo tanto, son iguales.
(f S f)(a) = f(S(a ))f(a ) = f(S(a )a ) = (f E+)(a),
1 2 1 2
◦ ∗ ◦
(f f S)(a) = f(a )F(S(a )) = F(a S(a )) = (f E )(a),
1 2 1 2 −
∗ ◦ ◦
(f S f f S)(a) = f(S(a ))f(a )f(S(a )) = f(S(a )a S(a )) = (f S)(a)
1 2 3 1 2 3
◦ ∗ ∗ ◦ ◦
y
(f f S f)(a) = f(a S(a )a ) = f(a),
1 2 3
∗ ◦ ∗
donde aqu´ı usamos a S(a )a = ε(e a )eoa = eoeoa = a.
1 2 3 k k 1 k 2 k k k
P P
10