Topologie I: Erster Band. Grundbegriffe der Mengentheoretischen Topologie Topologie der Komplexe · Topologische Invarianzsätze und Anschliessende Begriffsbildungen · Verschlingungen im n-Dimensionalen Euklidischen Raum Stetige Abbildungen von Polyedern

650 Pages·1935·31.91 MB·German

by  Paul Alexandroff

DIE GRUNDLEHREN DER
MATHEMATISCHEN
WI S S EN S CHAFTE N
IN EINZELDARSTELLUNGEN MIT BESONDERER
BERUCKSICHTIGUNG DER ANWENDUNGSGEBIETE
GEMEINSAM MIT
W.BLASCHKE·F.K.SCHMIDT· B.L.VAN DER WAERDEN
HERAUSGEGEBEN VON
R. COURANT
BAND XLV
TOPOLOGIE I
VON
P. ALEXANDROFF UND H. HOPF
SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH
TOPOLOGI E
VON
PAUL ALEXANDROFF
PROFESSOR DER MATHEMATIK
AN DER UNIVERSITAT MOSKAU
UND
HEINZ HOPF
PROFESSOR DER MATHEMATIK
AN DER EIDGEN. TECHNISCHEN
HOCHSCHULE IN ZORICH
ERSTER BAND
GRUNDBEGRIFFE DER MENGENTHEORETISCHEN TOPOLOGIE
TOPOLOGIE DER KOMPLEXE . TOPOLOGISCHE INVARIANZ
SATZE UND ANSCHLIESSENDE BEGRIFFSBILDUNGEN . VER
SCHLINGUNGEN 1M n-DIMENSIONALEN EUKLIDISCHEN RAUM
STETIGE ABBILDUNGEN VON POLYEDERN
MIT 39 TEXTABBILDUNGEN
SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH
ISBN 978-3-662-01726-5 ISBN 978-3-662-02021-0 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-02021-0
ALLE RECHTE, INSBESONDERE DAS DER UBERSETZUNG
IN FREMDE SPRACHEN, VORBEHALTEN.
COPYRIGHT 1935 BY SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG
URSPRUNGLICH ERSCHIENEN BEl JULIUS SPRINGER IN BERLIN. 1935
SOFTCOVER REPRINT OF THE HARDCOVER 1ST EDITION 1935
L. E.]. BROUWER
GEWIDMET
Vorwort.
In den 40 Jahren, die seit dem Erscheinen der "Analysis Situs"
von POINCARE vergangen sind, hat sich die Topologie nicht nur zu
einer bedeutenden, sondern auch zu einer auBerordentlich umfangreichen
mathematischen Disziplin entwickelt; die wichtigsten Resultate dieser
Entwicklung harren einer Darstellung, die gleichzeitig in die Vergangen
heit und in die Zukunft weist: in die Vergangenheit als Zusammen
fassung dessen, was heute inhaltlich abgeschlossen vorliegt; in die Zu
kunft als zuverHissige Grundlage ffir weitere Forschungen. Die an und ffir
sich schwierige Aufgabe, eine solche Darstellung eines immerhin jungen
Zweiges der mathematischen Wissenschaft zu geben, wird im FaIle der
Topologie dadurch besonders erschwert, daB die Entwicklung der Topo
logie in zwei voneinander ganzlich getrennten Richtungen vor sich ge
gangen ist: in der algebraisch-kombinatorischen und in der mengen
theoretischen - von denen jede in mehrere weitere Zweige zerfallt,
welche nur lose miteinander zusammenhangen.
Als Marksteine in der Entwicklung der mengentheoretischen Topo
logie dfirfen der Bericht fiber Punktmengen von SCHOEN FLIES (1908)
und das klassische Buch von HAUSDORFF ("Grundzfige der Mengen
lehre", 1914) gelten. In den letzten Jahren sind die Bucher von FREcHET
("Espaces abstraits"), von MENGER ("Dimensionstheorie", "Kurven
theorie") und von KURATOWSKI ("Topologie I") erschienen. Dber die
allgemeine kombinatorische Topologie gab es bis vor wenigen Jahren
nur das grundlegende Werk von DEHN-HEEGAARD (Enzyklopadie-Artikel
fiber "Analysis Situs", 1907) und das klassische Buch von VEBLEN
("Analysis Situs", 1922), denen 1930 die "Topology" von LEFSCHETZ
folgte1. 1m Jahre 1934 erschien dann das "Lehrbuch der Topologie"
von SEIFERT-THRELFALL, welches der Wahl des Stoffes nach ungefahr
dem Buch von VEBLEN gleicht, diesen Stoff jedoch, den verflossenen
Jahren entsprechend, wesentlich erganzt und modernisiert; seine leb
hafte und instruktive Darstellung macht das Buch von SEIFERT-THREL
FALL zur Einfiihrung und als Lehrbuch besonders geeignet.
1 Das in dieser Sammlung erschienene bekannte Buch von v. KEREKJART6
ist ebenso wie das Buch von REIDEMEISTER (Einfiihrung in die k~mbinatorische
Topologie) ausschlieBlich der zweidimensionalen Topologie (FHichentopologie)
gewidmet; diese Biicher nehmen daher einen besonderen Platz ein.
VIII Vorwort.
Aber keines unter den genannten Buchern behandelt die Topologie
als ein Ganzes: vielmehr wird in jedem Buch konsequent nur ein Zweig
dieser Wissenschaft dargestellt.
Diese bis jetzt noch fehlende integrale Auffassung der Topologie
liegt unserem Buch zugrunde, das drei Bande umfassen soIl. Wir wollen
weder die mengentheoretische noch die kombinatorische Seite der Topo
logie bevorzugen. Wir verzichten grundsatzlich auf die Trennung
mengentheoretischer und kombinatorischer Methoden; wir betrachten
vielmehr die V'berwindung dieser Trennung als eine der wichtigsten
methodischen Aufgaben, die vor der weiteren Entwicklung der Topo
logie stehen, und wir wollen zu der Losung dieser Aufgabe auch in
diesem Buche nach Moglichkeit beitragen.
Wirstellen uns keineswegs das Ziel, in den drei Banden dieses
Buches eine Darstellung der ganzen Topologie zu geben, aber wir wollen
dem Leser die Vorstellung von der Topologie als einem Ganzen zu er
reichen helfen. Die Vorstellung yom Ganzen hoffen wir dadurch zu
erwecken, daB wir diejenigen Teile der Topologie darstellen, die ffir
jedes tiefere Eindringen in diese Wissenschaft unentbehrlich sind, die
ffir ihre weitere Entwicklung maBgebend zu sein scheinen und die fur
die Anwendungen der Topologie und ihre sonstigen Beziehungen zur
ubrigen Mathematik und ihren Nachbargebieten besonders wichtig sind.
Eine diesen Gesichtspunkten entsprechende Wahl des Stoffes wird
naturlich niemals frei von gewissen subjektiven Momenten sein. Immer
hin ist es auch objektiv zu verantworten, wenn wir die Begriffe des
topologischen Raumes, des Komplexes und der n-dimensionalen Mannig
faltigkeit als diejenigen Begriffe hervorheben, die in dem heutigen Auf
bau der Topologie eine zentrale Rolle spielen. Urn diese Begriffe, ihre
verschiedenen Spezialfii.lle, Verallgemeinerungen und Spielarten konzen
trieren sich die heutzutage aktuellen allgemeinen topologischen Theo
rien: die Homologietheorie der Polyeder und der kompakten Raume;
die allgemeine Theorie der n-dimensionalen Mannigfaltigkeiten; die
Theorie der stetigen Abbildungen von Polyedern und Mannigfaltig
kei ten; die Dimensionstheorie; die axioma tische (oder abstrakte) topo
logische Raumtheorie; usw.
. Niiheres uber den Aufbau des Buches erfiihrt der Leser aus der
Einleitung, die gleichzeitig auch eine kurze geschichtliche Dbersicht
der Grundlinien in der Entwicklung der Topologie zu geben versucht.
Zwei Anhange stellen den algebraischen und den elementargeometri
schen Hilfsapparat dar. Auf diese Weise soIl erreicht werden, daB das
Buch so gut wie keine sachlichen Vorkenntnisse beim Leser voraussetzt.
]edoch wird eine gewisse allgemeine Kultur des abstrakten mathe
matischen Denkens erwartet. Das Buch durfte daher voneinem Stu
dierenden der mittleren Semester, der sich fUr begriffliche Mathematik
interessiert, mit Erfolg gelesen werden. Trotzdem ist das Buch durch-
Vorwort. IX
aus nicht ein Lehrbuch im ublichen Sinne des Wortes: die Verfasser
haben sich die Aufgabe gestellt, in luckenloser Darstellung, ohne die
Allgemeinheit und die Abstraktion der Begriffsbildung zu scheuen, die
grundlegenden Resultate einer erfolgreichen Periode in der Entwick
lung der Topologie - einer Periode, die mit POINCARE beginnt und in
den Arbeiten von BROUWER, ALEXANDER und anderen zur vollen Gel
tung gekommen ist - zusammenzufassen und diese Resultate dem
Leser als Instrument weiterer Forschung zur Verfugung zu stelleI1.
Die ersten Anfange des Buches gehen auf die Vortrage und Semi
nare zuruck, welche die beiden Verfasser, zum Teil gemeinsam, zum
Teil getrennt, in den Jahren 1925-1931 am Mathematischen Institut
der Universitat G6ttingen auf Einladung von Herrn COURANT gehalten
haben. Von Herrn COURANT ist auch die direkte Aufforderung aus
gegangen, dieses Buch zu schreiben. Wir danken ihm fUr seine freund
schaftliche Initiative, ohne die unsere Zusammenarbeit nie zustande
gekommen ware, und fur seine herzliche, bestandige und tatige Hilfs
bereitschaft, auf die wir in jeder Hinsicht und bei jeder Gelegenheit
rechnen konnten. -
Die weiteren Plane fUr das Buch wurden in zahlreichen Gesprachen,
fur welche die damalige mathematische Atmosphare G6ttingens be
sonders befruchtend war, zwischen den Verfassern weiter entwickelt.
Das Interesse fur Topologie in G6ttingen konzentrierte sich damals vor
allem in dem regen mathematischen Kreise urn EMMY NOETHER. An
sie denken wir heute in Dankbarkeit zuruck. Die allgemeine mathe
matische Einsicht von EMMY NOETHER beschrankte sich nicht auf ihr
spezielles Wirkungsgebiet, die Algebra, sondern ubte einen lebhaften
EinfluB -auf jeden aus, der zu ihr in mathematische Beziehung kam.
Fur uns war dieser EinfluB von der gr6Bten Bedeutung, und er spiegelt
sich auch in diesem Buch wieder. Die Tendenz der starken Algebrai
sierung der Topologie auf gruppentheoretischer Grundlage, der wir in
unserer Darstellung folgen, geht durchaus auf EMMY NOETHER zuruck.
Diese Tendenz scheint heute selbstverstandlich; sie war es vor acht
Jahren nicht; es bedurfte der Energie und des Temperamentes von
EMMY NOETHER, urn sie zum Allgemeingut der Topologen zu machen
und sie in der Topologie, ihren Fragestellungen und ihren Methoden,
diejenige Rolle spielen zu lassen, die sie heute spielt. -
Von groBem EinfluB auf den Inhalt dieses Buches ist der Win
ter gewesen, welchen die beiden Verfasser in Princeton verbracht
haben (1927/28). Das anregende Milieu der Princetoner topologischen
Schule hat unsere Arbeit wesentlich gef6rdert und uns zu neuen topo
logischen Ansichten und Erkenntnissen gefuhrt. Wir erwahnen dankend
viele Anregungen durch die Herren VEBLEN, ALEXANDER und be
sonders LEFscHETz. -
x
Vorwort.
Wir widmen diesen Band Herrn BROUWER. Die Wirkung seiner
Leistungen ist in fast allen Teilen der Topologie und daher auch in
fast allen Abschnitten unseres Buches zu spiiren. BROUWER als Topo
loge und als Gelehrler iiberhaupt ist fiir unsere Tatigkeit in der Topo
logie von entscheidender Bedeutung gewesen. Fiir den einen von uns
(H. HOPF) bildeten die klassischen Untersuchungen BROUWERS iiber
stetige Abbildungen den Anreiz und die Grundlage seiner ersten
selbstandigen Arbeiten. Der andere (P. ALEXANDROFF) hat ein Jahr
(1925-1926) in der Nahe von BROUWER verbracht, und in diesem
Jahr haben seine topologischen Anschauungen unter dem EinfluB von
BROUWER im wesentlichen ihre jetzige Gestalt bekommen. BROUWERS
EinfluB ist, wie wir glauben, in diesem ganzen Buche lebendig geblieben.
Was die Ausfiihrung des Buches betrifft, so wurden wir von vielen
Freunden und Kollegen unterstiitzt. Aus Gesprachen mit Herrn
PONTRJAGIN haben wir ofters wertvolle Anregung geschopft. Die
Herren MARKOFF und STIEFEL haben mit auBerster Aufmerksamkeit
sehr groBe Teile der Korrektur mitgelesen; wir verdanken ihnen viele
wichtige Verbesserungen und Berichtigungen. Zahlreiche wertvolle Rat
schlage haben uns auch die Herren HAUSDORFF, BORSUK, COHN-VOSSEN,
KOLMOGOROFF sowie Fraulein P ANNWITZ erteilt, die aile an der Kor
rektur teilgenommen haben. Fraulein PANNWITZ hat iiberdies das Sach
verzeichnis ange£ertigt und uns dadurch eine groBe Arbeit abgenOIDID€ll.
Die meisten Abbildungen sind von Herrn STIEFEL, einige sind von Herrn
KOLMOGOROFF gezeichnet worden. Allen den genannten Kollegen dan
ken wir herzlich fiir ihre freundliche und verstandnisvolle Mitwirkung.
Die Verlagsbuchhandlung JULIUS SPRINGER hat nicht nur die
Herausgabe des Buches in ihrer bekannten vorlrefflichen Weise aus
gefiihrt, sondern ein Entgegenkommen und eine GroBziigigkeit gezeigt,
we1che das iibliche MaB dessen, was die Verfasser erwarten durften,
weit iibertrafen. Wir sprechen der Firma Springer fiir aile ihre Be
miihungen und ihr Entgegenkommen unseren aufrichtigen Dank aus.
Jalta (Krim) , am 28. September 1935.
P. ALEXANDROFF.
H. HOPF.
Inhaltsverzeichnis.
Seite
Einleitung ....... . 1
Erster Teil.
Grundbegriffe der mengentheoretischen Topologie.
Erstes Kapitel: Topologische und metrische Raume . . . . . 24
§ 1. Die topologische Zuordnung und ihre verschiedenen Erzeugungsarten 25
§ 2. Topologische Raume. . . . . . . . . . . 37
§ 3. Stetige Abbildungen topologischer Raume. . . . . . . . . . 51
§ 4. Trennungsaxiome: To- und T1-Raume . . . . . . . . . . . 58
§ 5. Zerlegung von TrRaumen in disjunkte abgeschlossene Mengen. Be-
ziehungen zu stetigen Abbildungen. Zerlegungsraume. . . . . 61
§ 6. Trennungsaxiome: Hausdorffsche, regulare und normale Raume. 67
§ 7. Raume mit abzahlbarer Basis . . 78
§ 8. Der Urysohnsche Einbettungssatz. . . . . . 81
Zweites Kapitel: Kompakte Raume. . . . . . . 83
§ 1. Kompakte und bikompakte topologische und metrische Raume . 84
§ 2. Stetige Abbildungen und Zerlegungen bikompakter Raume 95
§ 3. Spezialfall der Kompakten. . . . 99
§ 4. Kompaktheit und Vollstll.ndigkeit. . . . . '. 104
§ 5. Konvergenz von Mengenfolgen. . . . . . . 111
§ 6. Zusammenhangsverhaltnisse in Kompakten. Die Kompakten als
stetige Bilder des Cantorschen Diskontinuums. . 116
Anhang zum zweiten Kapitel: Induktive Eigenschaften. Brouwer
scher Reduktionssatz. Irreduzible Kontinuen . . . . . . . . . . 123
Zweiter Teil.
Topologie der Komplexe.
Drittes Kapitel: Polyeder und ihre Zellenzerlegungen 124
§ 1. Zellenkomplexe. . . . . . . . . . . . . . . . 125
§ 2. Unterteilungen von Zellenkomplexen . . . . . . . 133
§ 3. Zellensysteme und Komplexe. Offene Teilmengen von Polyedern. 141
§ 4. Baryzentrische Uberdeckungen. Krumme Polyeder. Ubergang zum
abstrakten Standpunkt . . . . . . . . . . . . . . 147
Viertes Kapitel: Eckpunkt- und Koeffizien ten bereiche. 1 S4
§ 1. Eckpunktbereiche. Absolute Komplexe . . . . . . 155
§ 2. Orientierung. Algebraische Komplexe. Randbildung 161
§ 3. Simpliziale Abbildungen . 172
§ 4. Zyklen. Homologie . . 176
§ 5. Zusammenhangsbegriffe . 185
§ 6. Spezielle Komplexe. . . 195
Funftes Kapitel: Bettische Gruppen. 205
§ 1. Allgemeine Eigenschaften • . . 205
§ 2. Die ganzzahligen und die rationalen Bettischen Gruppen . 211
XII Inhaltsverzeichnis.
Seitc
§ 3. Die Bettischen Gruppen modulo m. Zyklen erster und zweiter Art
(bei beliebigem Koeffizientenbereich) . . . . . . . . . . .. 218
§ 4. Die Beziehungen zwischen den Bettischen Gruppen der verschiedenen
Koeffizientenbereiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
Sechstes Kapitel: Zerspaltungen und Unterteilungen von Komplexen 240
§ 1. Zellenzerspaltung absoluter Komplexe. . . . . . . . . . . .. 240
§ 2. Unterteilung Euklidischer Komplexe . . . . . . . . .. . .. 254
Anhang zu den Kapiteln IV, V, VI: Zusatze, Beispiele, Aufgaben 261
Siebentes Kapitel: Spezielle Fragen aus der Theorie der Komplexe 273
§ 1. Gcschlossene und irreduzibel geschlossene Komplexe 274
§ 2. Additionssatze . . 287
§ 3. Produktkomplexc. . . 299
Dritter Teil.
Topologische Invarianzsatze und anschlieBende Begriffsbildungen.
Achtes Kapitel: Sim pliziale A pproxima tionen stetiger A b bild un gen.
Stetigc Zyklen. . . . . . ................ . 313
§ 1. Simplizialc Abbildungen von Unterteilungen eines Komplexes. 314
§ 2. Der Approximationssatz .............. . 317
§ 3. Homotopie- und Homologietypcn stetiger Abbildungen . 319
§ 4. Topologische Abbildungen; Invarianzsatze . 323
§ 5. Stetige Komplexe und Zyklen ... 332
§ 6. Die Retrakteigenschaften krummer Polyeder; Anwendungen auf
Homologien stetiger Zyklcn . . . . . . . . . . . . . . . . 342
Neuntes Kapitel: Kanonischc Verschiebungen. Nochmals Invarianz
der Dimensionszahl und der Bettischcn Gruppen. All
gemeincr Dimensionsbegriff. . . . . . . . . . . . . . . . 347
§ 1. Erhaltungs- und Uberfuhrungssatze fur Polyeder. . . . 348
§ 2. Allgemeine kanonische Verschiebungen. Der Pflastersatz. Invarianz
der Dimensionszahl und der Bettischen Gruppen. 352
§ 3. Allgemeiner Dimensionsbegriff . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
Anhang zu m neunten Ka pi tel: Elementare Beweise des Fixpunktsatzes
fur das Simplex und des Pflastersatzcs. . . . . . . . . 376
Zehntes Kapitel: Der Zerlegungssatz fur den Euklidischen Raum.
Weitere Invarianzsatze . . . . . . . . . ... . 379
§ 1. Der Zerlegungssatz . . . . . . . . . .. .... . 380
§ 2. Gebietsgrenzen. Der Jordan-Brouwersche Satz. Gebietsinvarianz 390
§ 3. Weitere Anwendungen und Invarianzsatze. . . . . . . . . . 397
Anhang zum zehnten Kapitel: Raumzerlegung und wesentliche Ab-
bildungen . . . . . . . . . . . . . . . . . 405
Vierter Teil.
Verschlingungen im Euklidischen Raum. Stetige Abbildungen von
Polyedern.
Elftes Kapitel: Verschlingungstheorie. Der Alexandersche Duali-
ta tssa tz. . . . . . . . . . . . . . 409
§ 1. Schnitt- und Verschlingungszahlen im R" . 410
§ 2. Verschlingungen stetiger Zyklen . 423