Stochastik: Theorie und Anwendungen

605 Pages·2004·3.28 MB·German

by  David Meintrup

Herausgeber:
Prof. Dr. Holger Dette • Prof. Dr. Wolfgang Härdle
Statistik und ihre Anwendungen
Azizi Ghanbari, S.
Einführung in die Statistik für Sozial- und Erziehungs-
wissenschaftler 2002
Brunner, E.; Munzel, U.
Nichtparametrische Datenanalyse 2003
Dehling, H.; Haupt, B.
Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie
und Statistik 2. Auflage 2004
Dümbgen, L.
Stochastik für Informatiker 2003
Falk, M.; Becker, R.; Marohn, F.
Angewandte Statistik 2004
Franke, J.; Härdle, W.; Hafner, C.
Statistik der Finanzmärkte 2. Auflage 2004
Greiner, M.
Serodiagnostische Tests 2003
Handl, A.
Mulitvariate Analysemethoden 2003
Hilgers, R.-D.; Bauer, R.; Scheiber, V.
Einführung in die Medizinische Statistik 2003
Kohn, W.
Statistik Datenanalyse und Wahrscheinlichkeitsrechnung 2005
Ligges, U.
Programmieren mit R 2005
Meintrup, D.; Schäffler, S.
Stochastik Theorie und Anwendungen 2005
Plachky, D.
Mathematische Grundbegriffe der Stochastik 2002
Schumacher, M.; Schulgen, G.
Methodik klinischer Versuche 2002
Steland, A.
Mathematische Grundlagen der empirischen Forschung 2004
David Meintrup
Stefan Schäffler
Stochastik
Theorie und Anwendungen
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David Meintrup
Stefan Schäffler
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fu¨r B´eatrice und Werner
fu¨r Dorothea, Christoph, Regina, Stefanie und Johanna
Vorwort
Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik bilden die zwei S¨aulen der Stocha-
stik. Beide Gebiete besch¨aftigen sich mit Situationen, die vom Zufall beein-
flusst werden. Daher bezeichnet man die Stochastik auch als die Mathematik
des Zufalls. Dies erscheint zun¨achst widerspru¨chlich, zeichnet sich der Zufall
doch dadurch aus, dass er nicht berechenbar ist. Es ist gerade die Aufgabe
der Stochastik, eine formale Sprache und Methoden zur Verfu¨gung zu stel-
len,mitdenendieGesetzm¨aßigkeiten hinterzuf¨alligen Ph¨anomenen beschrie-
benundanalysiertwerdenk¨onnen.DieWahrscheinlichkeitstheorieu¨bernimmt
dabei die Modellbildung sowie die Untersuchung dieser Modelle, w¨ahrend in
der mathematischen Statistik auf den Modellen der Wahrscheinlichkeitstheo-
rie aufbauend versucht wird, durch Beobachtung auf Gesetzm¨aßigkeiten zu
schließen. Die Wahrscheinlichkeitstheorie hat sich dabei zu einem Teilgebiet
derMathematikentwickelt,dassichinseinermathematischenPr¨azisionnicht
von anderen Gebieten der theoretischen Mathematik unterscheidet. Das glei-
chegiltsicherauchfu¨rdieTheoretischeStatistik.Danebengibtesdieweniger
rigorose statistische Datenanalyse, deren statistische Rezepte z.B. u¨ber Com-
puterprogramme weite Verbreitung gefunden haben.
Zielsetzung
Das vorliegende Buch soll als Einfu¨hrung in die Ideen, Methoden und Er-
gebnisse der Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik dienen. Wir haben uns
dabei von zwei Grundgedanken leiten lassen. Zum einen gibt es viele Bu¨cher,
die entweder mit klassischen Resultaten der Wahrscheinlichkeitstheorie, wie
dem zentralen Grenzwertsatz oder den Gesetzen der großen Zahlen, enden
oder aber auf einem hohen Niveau mit der Theorie stochastischer Prozesse
beginnen. Wir haben uns bemu¨ht, diese Lu¨cke ein wenig zu schließen, indem
wir an die Wahrscheinlichkeitstheorie eine ebenso umfangreiche Einfu¨hrung
in die Theorie stochastischer Prozesse angeschlossen haben. Dabei haben wir
versucht,dasTempogeringunddenGradderAusfu¨hrlichkeitderDarstellung
hoch zu halten. Dies erm¨oglicht hoffentlich einen problemlosen und zu¨gigen
VIII Vorwort
U¨bergang zur dynamischen Welt der stochastischen Prozesse und ihren inte-
ressanten Anwendungen.
ZumanderenzeichnetsichdieStochastikdadurchaus,dassihreMethoden
in vielen Anwendungen außerhalb der Mathematik, z.B. in der Biologie, Phy-
sik oder in den Ingenieurwissenschaften, ben¨otigt werden. Diesem Aspekt der
Stochastik tragen wir durch ausfu¨hrlicheDarstellungen einiger Anwendungen
Rechnung.EntsprechendrichtetsichunserBuchanalle,dieinihremStudium
oder in der Praxis mit stochastischen Fragestellungen konfrontiert werden.
Aufbau
Der Inhalt dieses Buches ist in fu¨nf Teile gegliedert. Wir beginnen in Teil I
mit einer kompakten Darstellung der Maßtheorie, die fu¨r die Entwicklung
derWahrscheinlichkeitstheorieben¨otigtwird.Wirsinddavonu¨berzeugt,dass
Grundkenntnisse der Maßtheorie eine unverzichtbare Basis fu¨r einen sys-
tematischen Aufbau der Wahrscheinlichkeitstheorie sind. Im ersten Kapitel
fu¨hren wir, durch das Maßproblem motiviert, Mengensysteme und Maße ein.
Im zweiten Kapitel steht das Lebesgue-Integral mit seinen Eigenschaften im
ZentrumderUntersuchung.TeilIIdesBucheswidmetsichdenklassischenMe-
thoden und Resultaten der Wahrscheinlichkeitstheorie. Die Kapitel 3, 4 und
5 besch¨aftigen sich mit Wahrscheinlichkeitsr¨aumen, Zufallsvariablen und sto-
chastischer Unabh¨angigkeit, den wichtigsten Grundbegriffen der Wahrschein-
lichkeitstheorie. Im 6. Kapitel behandeln wir die 0-1-Gesetze fu¨r terminale
und fu¨r symmetrische Ereignisse, die Gesetze der großen Zahlen sowie das
Drei-Reihen-Theorem. Der zentrale Grenzwertsatz ist Ziel des Kapitels 7, fu¨r
dessen Beweis wir das Konzept der schwachen Konvergenz und charakteri-
stische Funktionen einfu¨hren. Der zweite Teil endet mit der Darstellung be-
dingter Erwartungen in Kapitel 8, die sowohl fu¨r die Theorie stochastischer
Prozesse als auch fu¨r die Statistik ben¨otigt werden.
Die Teile III und IV k¨onnen unabh¨angig voneinander gelesen werden, sie
bauen jeweils auf dem zweiten Teil auf. Der dritte Teil beginnt mit zwei kon-
kreten Klassen stochastischer Prozesse, den Markov-Ketten (Kapitel 9) und
denPoisson-Prozessen(Kapitel10).Anschließendfu¨hrenwirzeitdiskrete(Ka-
pitel11)undzeitstetigeMartingale(Kapitel13)ein.Imdazwischenliegenden
Kapitel 12 behandeln wir die Eigenschaften der Brownschen Bewegung, die
als Musterprozess fu¨r fast jede fu¨r uns relevante Klasse zeitstetiger Prozesse
dient. Den Abschluss des dritten Teils bilden in Kapitel 14 die Itoˆ-Integrale,
also spezielle stochastische Integrale mit der Brownschen Bewegung als Inte-
grator.
In Teil IV, der mathematischen Statistik, behandeln wir in den Kapiteln
15 und 16 die Sch¨atztheorie und die Testtheorie. Das Kapitel 17 stellt die
Theorie linearer Modelle dar.
Vorwort IX
Anwendungen
FastjedesKapitelendetmiteinemAbschnitt,dersichganzeinerAnwendung
widmet.ImGegensatzzudenu¨brigenAbschnittenhabenwirbeiderDarstel-
lung der Anwendungen zum Teil auf Beweisfu¨hrungen verzichtet. So hoffen
wir, mit den Anwendungen aus verschiedenen Gebieten, z.B. der Nachrich-
tentechnik, der Finanzmathematik oder der Physik, zwei Ziele zu erreichen:
Zum einen bieten sie eine M¨oglichkeit, den theoretischen Aufbau fu¨r einige
Seiten zu unterbrechen und die Theorie in praktischen Anwendungen arbei-
ten zu sehen. Zum anderen wollen wir damit unterstreichen, wie wichtig die
Stochastik nicht nur innerhalb der Mathematik, sondern auch fu¨r zahlreiche
andere Wissenschaften ist.
Die Anh¨ange
InTeilVhabenwirdieAnh¨angezusammengefasst.UnsereErfahrunghatuns
gezeigt, dass Existenzbeweise in gleichem Maße unbeliebt wie (fu¨r Mathema-
tiker) unverzichtbar sind. Daher haben wir die zentralen Existenzaussagen in
Anhang A dargestellt. So ist es m¨oglich, die Existenzaussagen einfach zu ak-
zeptieren und diesen Anhang zu ignorieren. Der Anhang B enth¨alt eine kurze
Zusammenstellung der ben¨otigten Resultate aus der Funktionalanalysis, der
Anhang C einige Wertetabellen.
Die am h¨aufigsten verwendeten Resultate sind im Text in Kapita¨lchen
gedruckt.DieseErgebnissewerdensooftben¨otigt,dasssiesichmitderZeit
von selbst einpr¨agen. Bis dahin haben wir sie zum schnellen Nachschlagen in
Anhang D zusammengestellt.
Literaturhinweise
WieinLehrbu¨chernderMathematiku¨blich,habenwirimTextfastvollst¨andig
aufLiteraturhinweiseundQuellennachweiseverzichtet.Selbstverst¨andlichha-
ben wir jedoch von zahlreichen Autoren profitiert. Daher geben wir in An-
hang E Literaturhinweise. Wir nennen zum einen diejenigen Quellen, an de-
nen wir uns vorwiegend orientiert haben. Zum anderen geben wir Hinweise
fu¨r eine erg¨anzende, begleitende oder vertiefende Lektu¨re. Dabei handelt es
sich nur um eine kleine subjektive Auswahl aus der sehr großen Zahl von
Ver¨offentlichungen auf dem Gebiet der Stochastik.
Danksagung
Herzlich bedanken m¨ochten wir uns bei allen, die durch Anregungen, Korrek-
turen und Diskussionen sowie durch wiederholte detaillierte Durchsicht des
Manuskripts erheblich zum Gelingen dieses Buches beigetragen haben. Unser
Dank gilt insbesondere den Herren C. Bree, G. M. Meyer, D. Peithmann und
R. Stamm. Sicher ist es uns nicht gelungen, alle Fehler zu erkennen und alle
X Vorwort
Anregungen umzusetzen. Wir freuen uns daher u¨ber jeden Verbesserungsvor-
schlag und jeden Hinweis auf Corrigenda. Schließlich danken wir Herrn C.
Heine und dem Springer-Verlag sehr herzlich fu¨r die stets reibungslose und
sehr angenehme Zusammenarbeit.
Mu¨nchen, im Mai 2004 David Meintrup
Stefan Sch¨affler
Inhaltsverzeichnis
Teil I Maßtheorie
1 Grundlagen der Maßtheorie ............................... 3
1.1 Das Maßproblem ........................................ 3
1.2 Mengensysteme ......................................... 9
1.3 Messbare Abbildungen ................................... 16
1.4 Maße .................................................. 20
2 Das Lebesgue-Integral ..................................... 27
2.1 Lebesgue-Integral und Konvergenzs¨atze .................... 27
2.2 Vergleich von Riemann- und Lebesgue-Integral .............. 37
2.3 Der Satz von Fubini ..................................... 42
2.4 Norm-Ungleichungen und Lp-Konvergenz................... 45
2.5 Der Satz von Radon-Nikodym............................. 49
Teil II Wahrscheinlichkeitstheorie
3 Wahrscheinlichkeitsr¨aume ................................. 57
3.1 Die Axiomatik .......................................... 57
3.2 Diskrete Wahrscheinlichkeitsmaße ......................... 62
3.3 Stetige Verteilungen ..................................... 68
3.4 Anwendung Physik: Quantum Computation ................ 77
4 Zufallsvariablen............................................ 89
4.1 Grundbegriffe........................................... 89
4.2 Momente ............................................... 91
4.3 Mehrdimensionale Verteilungen ...........................107
4.4 Anwendung Finanzmathematik: Value at Risk ..............113