Table Of ContentIbn al-Ha'int
Sharh al-Urjuza
al-Yasminzya
Texte établi et commenté par
~ahdiAbdeljaouad
Sommaire
Présentation de l'auteur et du manuscrit............................... 7
L'introduction du Sharh al-Urjüza........................................ Il
Les six équations canoniques............... ....................... .......... 15
Les opérations sur les expressions algébriques..................... 39
Chapitre 1 : Produits et divisions.............................. 41
Chapitre 2 : Résultats utiles mais négligés
par Ibn al-Yasamin............................. 53
De la manière de traiter les problèmes.................................. 73
Chapitre 1 : Sur la nature des problèmes posés........ 76
Chapitre 2 : Sur la manière de traiter les problèmes 81
Chapitre 3 : Problèmes résolus................................. 90
La partie finale du Sharh al-Urjüza :
Quarante cinq problèmes résolus.............................. 95
Partie bilingue en arabe et en français
Bibliographie
Annexe A : Symboles algébriques maghébins
Annexe B : Expressions en notations modernes
Edition du Sharh al-Ur;üza en arabe
Ibn al-HTl'im : SIU/rlz al-Uljtï::.a
Présentation de l'auteur et du manuscrit
A partir du XIIIe siècle, Le Caire, capitale de l'Egypte et de la
dynastie mamelouk (1250-1517), est devenue le principal centre
politique, économique et culturel de ce qui restait du monde arabo
musulman, affaibli, disloqué et soumis aux menaces externes continuelles
(Croisés et Mongols). La volonté des sultans de reconstituer au Caire la
splendeur ct le prestige du Bagdad mythique et la stabilité relative du
régime ont pennis le développement et l'enrichissement de la population,
la construction de palais somptueux, de mosquées et d'écoles supérieures:
les madrasa. L'intérêt porté à la culture et à l'enseignement par les princes
du Caire et les encouragements financiers des élites et des mécènes, la
renommée séculaire de l'université d'al-Azhar, mais aussi des nombreuses
écoles, attiraient les lettrés et leur permettaient d'approfondir leurs
connaissances, de partager leurs savoirs et de s'épanouir.
"On venait transme{tJ)e dans ses madrasa une culture à laquelle le
milieu égyptien commençait seulement d'apporter sa contribution,
moins riche sans doute que celle des temps classiques,
d'inspiration 5'unnite plus uniforme, mais soucieuse de ne pas
laisser perdre l'héritage du passé, de le classer, d'en assimiler ce
que l'esprit nouveau de l'Islam militant permettait d'en retenir, en
d'énormes sommes dont l'œuvre historique d'Ibn Khaldün, arrivé
en Egypte en 1382, est un des meilleurs exemples, bien que le
génial enseignement de cet aristocrate conservateur, qui fitt
plusieurs fois grand cadi malékite d'E'gypte, n'ait été lju 'un de ceux
qui se donnaient alors dans les madrasa du Cairel
."
C'est en effet à la fin du XIVè siècle, pendant le long règne du
sultan Barqüq (1382-1397), que le grand historien maghrébin ibn
Khaldün (mort en 1406) s'installe au Caire, y enseigne et y dirige
plusieurs madrasa. C'est aussi pendant cette période que se déroule
l'essentiel de la carrière d'ibn al-Ha'im.
xrr xvr
1 Je.Garein, L'Egypte dans le monde musulman du siècle au début du
siècle, in Histoire générale de l'.)jhque, tome IV, Unesco, page 405-432.
8 Présentation Ibn al-Ha'im : Slwr/z al-UI:iIÏ';.ll 9
ainsi qu'al-Bad{ d'al-Karaji 1. Il recommande la lecture dl! Kirab al-U5;üz2
d'ibn al-Banna, ainsi que de son Talkhis 'Acmal al-hisab-', auxquels il se
Né au Caire en 1352, Abu'l Abbas Shihab ad-Din Ahmed ibn réfère parfois.
Ibn al-Ha'im illustre sa familiarité avec les mathématiciens
Muhammad ibn Imad ad-Din ibn Ak connu sous le nom de ibn al
andalous et maghrébins en signalant par exemple, l'usage maghrébin des
Ha'im, y a été éduqué et y a enseigné les mathématiques. Il s'est installé
5
par la suite à Jérusalem où il enseigna les mathématiques et les sciences symboles algébriques 4 ou en citant quelques anecdotes plaisantes .
Plusieurs copies du texte du ,\'harh al-lh:iüza circulent encore dans
de l'héritage et dirigea, en tant que vice-recteur, de 1394 à 1407, la
les bibliothèques. La copie, datée de 1387, dont nous nous sommes servi
macirasa as-Salih(va. C'est dans cette dernière ville qu 'il mourut en 1412.
comme base de cette édition, se trouve actuellement à Dublin, c'est le
manuscrit arabe n04430 The Chester Beatty Library. Elle est constituée de
Outrc le Sharh al-Urjiïza al-.vasiminya. écrit lors d'un pélérinage à
la Mekke en 1387. ibn al-Ha'im cst l'auteur de plusieurs traités 104 folios recto-vers06. Si elle n'est pas de la main de l'auteur lui-même,
cette copie témoigne tout de même du texte en voie d'élaboration comme
d'arithmétique et d'algèbre: al-Halvi fi cdm al-hisab (1380), al-Maüna .fil
hisab al-hawa'i (1389), al-Wasila fi cilm al-hisab (1390), al-Muqn{ fil le montrent les nombreuses ratures et les remplacements, au fil de la
ligne, de mots, de phrases ou de paragraphes. Quelques remarques,
jabr lval muqabala (1410), etc. On retrouve encore aujourd'hui de
situées soit dans le texte, soit dans la marge, indiquent elles aussi la
nombreuses copies de toutes ces œuvres, en particulier à la Bibliothèque
proximité certaine de l'auteur. C'est le cas de trois mentions indiquant que
nationale de Tunis.
"le texte a été lu en pré,;ence de l'auteur", de deux paragraphes sc
terminant par la phrase: "pour pIn. ..· de précis'ion sur ce slf/et. il faudrail
Nous nous sommes intéressé plus particulièrement à Sharh al
consulter mon ouvrage al-Mmlna"ct cnfin d'une note dans le colophon du
Urjüza al-yasiminJ'a qui n'avait pas été éditée jusqu'à préscnt et dont
manuscrit de Dublin, où il est écrit "qu'en présence de l'auteur, le
l'intérêt pédagogique nous a semblé indéniable.
Ce commcntaire développé du poèmc didactique d'Ibn al-Yasamin 1:
al-Ul:iüza fil Jabr wal Muqabala, nc rcsscmble à aucun autre et les
surpasse sans aucun doute, d'une part parcc qu'il ne reste pas esclave du 1 Ki/ab a/-Fakhri (édité par Ahmed Salim Sa:dan en 1986) ainsi qu'al-Badi{ d'al-Kariïji
texte commenté et d'autre part parcc qu'il l'enrichit par des ajouts (édité par Adel Anbouba en 1964).
mathématiques importants montrant une parfaite maîtrise de la littérature :2 Il s'agit de Ki/ab al-Jabr wal Afz{(jllhala édité par Alul1Cd Selim Saydan en
1986.
algébrique classique que ce soit lcs travaux d'al-Karaji ou les écrits d'Ibn
3 Talkhis 'Acmal al-hisah d'ibn al-Balma (édité et traduit en français par Mohamed
al-Banna. Il citc, cn cffet, al-Khwarizmi, Abu Kamil, Kitab al-Fakhri
Souissi en 19(9). Ibn al-Balma lui-même rédige un commentaire de son Talkhis
'r/mal al-hisah qu'il intitule R(?!" al-hijab (édité et traduit en français par
Mohamed Aballagh en 1988).
4 Sa référence aux symboles algébriques maghrébins est rapportéc à eeux parmi ah! a/
1 Abu Muhammad Abdallah ibn Hajjiïj ibn al-Yasamin (mort à Marrakech en 1204) est, isfilah (les spécialistes de la terminologie) qui utilisent l'arithmétique indienne: "De
avee Abu Bekr al-Hassiïr. l'un des rares mathématiciens d'Andalousie et du Maghreb du mêmc, en écriture indienne ou ghubar. ils [ahl a/-isfi/ah l attribuent à ehaque espèce un
XIIeTne siècle dont quelques œu vres peu vent être encore analvsées. signe; comme le Shïn pour le Slwy (les choses). le Mllll pour le l\1a/ (le carré), le Kafpour
Lui m~me berbère d'origine et né il Fès. ibn al-Yiïsamin a l~ngtemps véeu à Séville où il v
le cube et ainsi de suite. et ils n'attribuent aucun signe existentiel au nombre (la
~ e~lsel~né les. mathématiques et où il fut renommé pour ses poèmes. Son intérêt pou'r
~onstante), il s'en suit que l'absence de signe est un signe." (folio ôb)
1a nthmelIque 1I1dlcnne et pour l'algèbre est attestée aujourd'hui par son Ki/lib Ta/qih a/
. "un sage d'al-Andalus lui proposa. alors que j'étais présent un probl~me dont la solution
(ifkarfi/ canuï/ bi ruslzüm al-glrublir et par le poème al-llljüza al-Yasminiva écrit en 1191 est é\idente. mais dont la résolution il l'aide de l'algèbrc est difTieile. Il lui demanda de lui
il SéYille et largement diffusé. enseigné et commenté au Maghreb ct el; Egypte. Parmi ses
expliquer la manière de le résoudre algébriquement .. " (Sharh a/-l/rjüza. folip 45r-46v)
com~lentateurs connus: Ibn Qunfudh al-()usantini (1320-1406). al-Uqbani (1320-1408). (, La pagination ajoutée sur les folios est quelquc peu perturbée. Il a été facile de
al-Iraql (111. 1423). Ibn Majdi (1366-1447). al-Qalasiidi (1412-1486). Sibt al-Miiridini
reconstituer l'ordr~ correct comme nous l'indIquons dans notre introduction en langue
(l·l23-1501) et d'autres signalés par Galal Sha\Yki (1 l)88).
arabe.
Pour mieux eonnaitre les tra\aux d'ibn al-YüsamllL il 1~lL1t se référer il la thèse de
Magistère de l'ENS d'Alger de TOllhami I.c1ll1llo11li (1 l)l)3)
10 Présentation Ibn al-H~l'im : Slzarlz al-Urjüza
Il
manllscrit a été lu par Sham ad-DIn az-Zemirli et par son frère Badr ad
DIl1 Ahmad Hl/sain" et que des corrections v_ ont été introdU .1 ' te s.
. Nous avon~ au~si. utilisé le manuscrit n0596 de la Bibliothèque
L'introduction du Sharh al-Ur;Üza
Natt.ona1e de T~l11s, a111S1 que le manuscrit dit de Jerba, appartenant à la
famIlle al-Bassl. Ce dernier manuscrit, achevé à Istambül en 1747, et
d~nt ~uhammad Hamüd al-Baz at-Tunusi est le copiste, a la particul~rité En introduction du Sharh al-Urjüza, Ibn al-Ha'im présente le plan
d offnr au lecteur, dans la marge de la plupart des folios, la traduction en du traité, définit la tenninologie utilisée et décrit les différentes manières
s):mbolcs algébriques maghrébins de toutes les expressions et de tous les de résoudre les six équations canoniques.
developpements algébriques apparaissant dans le texte centrall. Le Livre 1 du Sharh al-Urjüza traite des inconnues (expression,
degré, produit et division), ainsi que de la résolution de certaines
équations de degré supérieur à 2.
Le Livre II, intitulé: "Résultats utiles, mais négligés par Ibn al
Yasamln" , reprend des connaissances absentes ou non évoquées dans le
poème lui-même: Le produit et la division des racines carrées des
nombres, leur somme et leur division, la somme, la division et l'extraction
des racines carrées des monômes, des polynômes et des fractions
rationnelles.
Le Livre III est consacré "à la manière de traiter les problèmes".
C'est une véritable heuristique destinée à aider l'apprenti à bien aborder
les problèmes pour les résoudre.
Pour illustrer la théorie précédemment exposée, la conclusion du
Sharh al-Urjüza propose la résolution de 45 problèmes se ramenant aux
six équations canoniques, les premiers étant rationnels et les derniers
ayant des données irrationnelles.
Manuel de base pour apprendre l'algèbre, le Sharh al-Urjüza est
une compilation minutieuse de tout ce qui est important depuis al-Fakhri
d'al-Karaji et ne contient aucun concept qui n'eut été présenté par ce
dernier. Comme lui, une place importante est réservée à l'arithmétique des
inconnues et de leurs inverses, ainsi qu'aux polynômes et aux fractions
rationnelles en x et en x-l. Comme ibn al-Banna, l'auteur s'intéresse aux
calculs sur les irrationnelles quadratiques et à de nombreuses identités
remarquables. Toute cette théorie est illustrée par des exemples
numériques choisis le plus souvent dans al-Fakhri et parfois dans Kitab
al-Jabr wal muqabala d'ibn al-Banna.
Sharh al-U~iüza est passionnant, car on y voit fonctionner une
langue mathématique, totalement rhétoriquc, mais répondant aux règles
1 ~oir 1:1Ll COI~lI~lUIl icatioll il Marrakech (2001) : l"e lIIaJllIscril de Jerha. une pratique des linguistiqucs spécifiques à la langue algébrique. A plusieurs reprises, Ibn
.\\ IIlhoh.\. algehl /{J Ile.\. lIIagli rehllls l'Il plnlle ilia IlIri/(;.
al-H5'im se ,"oit contraint de préciser la terminologie et signale parfois les
Ibn al-Ha'im : Slzarh al-Uljüz-a 13
12 Présentation
choisi pour représenter l'inconnue, le nombre à détenniner. Si dans
ambiguïtés de la langue naturelle, traduisant un même énoneé
l'énoncé, une indication permet d'inférer que cette inconnue possède une
mathématique par trois ou quatre solutions différentes. Il consacre une
racine c~arrée, alors c'est le terme Mal qui sera préféré, et si l'on sait
place importante à la terminologie algébrique : les tennes cAdad
qu'elle possède une racine cubique, c'est le tenne K'ab qui sera choisi
(nombre). S'hay (chose ou inconnue), lidhr (racine carrée ou solution
comme inconnue.
d'une équation), Mal (carré de l'inconnue) ,Mukac{b (cube de l'inconnue),
luz'un (inverse), ainsi que Jabr, Muqabala et Mz{adala sont définis Le terme Mtil est utilisé dans différents contextes et possède pour
avec précision, l'auteur indiquant les altematives possibles, affinnant son
chacun une signification donnée:
propre choix terminologique et rejetant ceux qu'il considère inadéquats Dans la langue naturelle, ce tenne veut dire "une somme d'argent"
ou erronés. ou "une certaine somme". Dans les textes algébriques, on le voit
apparaître avec ce sens dans les énoncés de problèmes d'achats, ventes,
Revenons sur quelques termcs d'usage fréquent dans le texte:
partages et d'héritages.
Dans les énoncés de problèmes numériques (comme ceux de type
Le terme Jidhr possède deux significations: diophantien), le tenue mal veut dire "un nombre quelconque".
C'est la racine carrée d'un nombre, le nombre pouvant être un carré Dans les solutions des problèmes quels qu'ils soient (concrets ou
parfait ou ne pas l'être. Dans le prcmier cas, sa racine carrée est un entier numériques) et plus particulièrement lors de la mise en équation, Mal est
ou une fraction rationnelle, et dans le second cas, la racine carrée est toujours le carré de l'inconnue, "C'est une inconnue qui possède une
irrationnelle et c'est un nombre dit "sourd" ('as am ), on gardera alors la raCl.l 1e carre, e " .
dénomination "Jidhr de" et on la manipulera dans les expressions
arithmétiques comme un bloc. On a besoin parfois de connaître la valeur La suite de l'introduction du S'harh al-[;'. . jüza est essentiellement
approchée de cette racine carrée: pour ce faire, les mathématiciens arabes consacrée aux diverses techniques de résolution des six équations
consacrent un chapitre d'arithmétique à l'approximation des racines canoniques. C'est ce que nous allons maintenant présenter en détail.
carrées irrationnelles; ce chapitre ne fait pas partie du Sharh al-UI:füza,
son auteur se contentant lors dc la résolution du denlier problème de ce
traité (folio l03r) de calculer la valeur approchée de ~60000 : il trouve
641 .. . 1 l' . b'
244 + -::; + 49 + 98 et mdlque que, SIon e vou aIt, on pourraIt 0 temr
une valeur encore plus précise.
La deuxième signification du tenue Jidhr c'est celle de racine d'une
équation ou solution d'un problème. A ce titre, il est utilisé
indifféremment à la place du terme Shay.
Le terme Shay possède, lui aussi deux significations:
Dans la langue naturelle, ce terme veut dire "quelque chose" ou "cc
qui peut être sujet d'attribution". Dans les textes algébriques, on le voit
rarement apparaître dans les énoncés de problèmes. Lorsqu'il y est utilisé,
c'est toujours dans son sens COl1\'entionnel.
Dans les solutions des problèmes quels qu'ils soient (concrets ou
numériques) et plus particulièrement lors de la mise en équation, Sha.vest
Ibn al-Ha'im : Sharlz al-Urjïi;:,a
1)
Les six équations canoniques dans le Shllrh al-Ur;ÜZll
Ibn al-Ha'im consacre à la résolution des six équations
canoniques un important chapitre de l'introduction de Sharh a/
UrjlÏza, adoptant, sans toutefois le citer directement, la démarche d'Ibn
al-Banna, mais offrant, de plus, au lecteur une présentation
systématique, standardisée ct exhaustive. Il commence par décrire les
trois équations canoniques simples, c'est -à-dire celles qui se ramènent
aux équations du premier degré, puis les équations canoniques
composées, c'est-à-dire celles du second degré.
1. Les équations simples
Comme le veut la tradition instaurée par al-Khw'arizmi, elles
sont de trois types: (folio 8v)
Type 1 : ax~ = bx
Type II : ax- = c
Tvpe HI : bx = c
où les coefficients a , b et c sont toujours des rationnels positifs. Le
cas des coefficients irrationnels sera -dit l'auteur -traité plus tard. Ibn
al-Ha'im signale que
"l'ordre précédent n'est pas impératif ainsi, certains, suivant en cela
l'auteur d'a!-Fakhri1, suivent l'ordre 1 -III -II'' . (folio 9r)
La théorie est illustrée par neuf exemples numériques
d'équations simples, dans lesquelles les coefficients (tous positifs) sont
tantôt un entier, tantôt une fraction et tantôt la somnle d'un entier et de
fractions. Citons-en trois:
(l) x:: = 3x . (folio 21 v)::
1 1
(2) ("3 +4)x-Î = 21 . (folio 2lr)
(3) (.~) + "16 + 9l" )x = 2 + 95" . (folio 22v)
1 al-Karaji (ou d'al-Karkhi) ne sera pas cité e~plicitel11ent par son nom dans Sharh al
Urjuza. alors que dans son précédent oU\Tage. al-;\falÏ/la/i 'i!m al-hisab al-f/(ma'i. Ibn
al-1 Ia'im le cite en disant: "al-Km·khi. l'autcur d'al-13(/(Ii'." Par contre. un disciple d'al··
Karaji cst cité ici par son n0111 : al-Massisi.
2 La pagination du manuscrit de Duhlin est perturhée ù cc niveau. Lc folio 20v
correspond ù la suite du folio <Jr. Les folios 2() à.:lCl sc suin::nt. La suite du folio .:l()] sc
trouvt: dans le folio 1( )v.
16 Les six équations canonique Ibn al-Ha'im : Slzarlz al-Urjüza 17
2. Les équations composées
D'abord, la résolution de l'équation unitaire
Le reste du chapitre est consacré aux équations quadratiques: sections Algorithme source
IH1 Enoncé de l'algorithme classique de
Type IV : ax2 + bx = c
résolution de l'équation unitaire, pemlettant Al-
Type V : ax2 + c = bx
de calculer la racine x de l'équation, puis de Khwarizmi
Type VI : bx + c = ax2 . (folio 22r) son carre, x 2 .
IH2 Preuve arithmétique de cet algorithme de
où les coefficients a, b et c sont toujours des rationnels positifs.
résolution de l'équation quadratique.
al-Fakhri
IH3 Enoncé d'un 1 algorithme pemlettant de
er
Le chapitre sur la résolution des équations quadratiques est calculer le carré de la racine x2 avant de d 'al-Karaj i
subdivisé en trois parties rigoureusement identiques, une par type
calculer x .
d'équation:
IH4 Enoncé d'un 2eme algorithme pemlettant de
Kitab al-Jabr
calculer x2 avant x .
1. Première partie: Les équations de type IV d'ibn al-
IHS Enoncé d'un autre algorithme penl1ettant de
11..12 LLeess ééqquuaattiioonnss guénnitéariarleess: : axx22 ++ bbxx == cc IH6 cEanlocnucleér dla'u nraec tineceh xn i,q puuei sp soounr ocabrtreén ixr2 u .n e Banna
2. Deuxième partie: Les équations de type V
équation quadratique dont une racine est
2.1 Les équations unitaires: x2 + c = bx
rationnelle.
2.2 Les équations générales: ax2 + c = bx
IH7 Une 1 méthode pour ramener l'équation à
ere
3. Troisième partie: Les équations de type VI Rqf al-hUab
une équation de type 1 ou III.
3.1 Les équations unitaires: x2 = bx + C IHS Une 2eme méthode pour ramener l'équation à d'ibn al-
3.2 Les équations générales: ax? = bx + C Banna
une équation de type 1 ou III.
Les algorithmes, preuves et méthodes pour résoudre ces
Puis, la résolution de l'équation quadratique générale:
équations sont énoncés dans leur forme la plus générale, puis illustrés
par des exemples numériques où les coefficients sont successivement
IH9 Par réduction ou augmentation du monôme
des entiers, des fractions ou un entier augmenté d'une fraction.
dominant
IH10 La méthode dite de "la racine auxiliaire" Ibn al-
L'inspiration pour ces algorithmes et pour ces méthodes est
(Nadhfr al-Jidhr) pour calculer x. Yasamin
multiple : l'algorithme de base est d'al-Kh\varizmi, repris presque à
IH11 La même méthode permettant de calculer le al-Fakhri
l'identique par ses successeurs arabes. Les autres méthodes se trouvent
pour certaines dans al-Fakhri d'al-Karaji et pour d'autres dans l'œuvre carré de l'inconnue x2 , d'abord, puis x . d'al-Karaji
d'ibn al-Banna: Rat al-hijab ou Kitab al-Jabr .
. .
IH6 ne se trouve dans aucun des traités d'algèbre consultés et
Chaque partie comporte onze sections présentées exactement de qui ont précédé ,\harh al-l;'~jzlza. Par contre, IHI0 est inspirée d'une
la même manière : technique énoncée pour la première fois par al-Kar~ii et reprise par ses
successeurs. Ibn al-Ha'im consacre, cependant une place importante
au concept de "racine auxiliaire", implicite dans al-Fakhri, mais,
explicite dans le poème didactique d'Ibn al-Yasamin.
18 Les six équations canonique Ibn al-Ha'im : Slzarlz al-Utjuza 19
2.1. L'équation unitaire de tvpe IV
Euclide, j'ai pensé les prouver <en utilisant> des préliminaires
Dans ce qui suit, nous nous proposons de présenter chacune de
numériques, sans recourir aux lignes ou aux aires, bien <qu'en
ces sections à partir de l'équation de type IV. (folio 23v)
définitive> ces préliminaires, eux-mêmes, doivent être justifiés
par des arguments géométriques. Je procède ainsi pour faciliter
IRl : L'algorithme classique de résolution des équations quadratiques
l'apprentissage, renvoyant <l'étude> des preuves géométriques
à Euclide ou à d'autres traités de géométrie.
Ibn al-Ha'im commence par dire que cet algorithme se compose
Je dis donc : tout nombre divisé en deux moitiés. auquel on
de cinq étapes similaires pour les trois types d'équations composées, et
ajoute un autre nombre. le produit de ce nombre plus
il le détaille ainsi, dans le cas de l'équation de type IV : l'excédent par l'excédent. ajouté au carré de la moitié du
nombre initial est égal au produit par lui-même de l'excédent
"1 ° étape: Diviser par deux le nombre des .'J'hay , sans tenir
ajouté à la moitié du nombre. ( ... )
compte des Sha)' elles-mêmes. Par nombre, nous entendons le
Si ceci a été bien établi, considérons le premier exemple
nombre au sens général, de manière que soient inclus les
<d'équation de type IV>, c'est-à-dire un Mal plus dix racines
entiers, les fractions et la somme d'un entier et d'une fraction.
égalent vingt-quatre. Nous disons que le nombre de racines est
2° étape: Carrer la moitié obtenue. Il s'agit là aussi de l'espèce,
le nombre initial, alors que le nombre de racines du Mal qui
ce qui pemlet d'y inclure Shay ou toute partie de Shay.
leur est additionné est assimilé à l'excédent qui est aj outé <au
3° étape : Ajouter au carré de la moitié de la quantité de
nombre initial>. Quant au nombre isolé, il est assimilé au
racines (judhür) le nombre donné dans l'équation.
résultat du produit du nombre plus l'excédent par l'excédent.
4 ° étape : Prendre la racine carrée de ée que l'on a obtenu <à
Les vingt-quatre de l'exemple sont donc le résultat du produit
l'étape précédente>. de dix, auquel a été ajouté le nombre de racines excédentaires,
5° étape: Retrancher de la racine carrée la moitié des racines.
par le nombre de racines excédentaires. Si l'on divise par deux
Le résultat est la solution cherchée." (folios 23v-23r)
la quantité de racines puis l'ont prend le carré de cette moitié et
si l'on ajoute le résultat, qui est vingt-cinq, au nombre, on
Pour mieux comprendre cet algorithme - inchangé depuis al
trouve quarante-neuf. Ceci est comme le carré de la somme de
Khwarizmi - et pouvoir le comparer à ceux qui vont suivre, nous nous
la quantité de racines excédant dix et la moitié de dix. Il s'en
proposons de le présenter sous la fonne d'un schéma:
suit que la racine carrée de quarante-neuf, qui est sept, <est
égale à> la somme de la moitié de la quantité de racines et de
Solution de l'équation unitaire: x2 + bx = c : la quantité de racines qui dépassaient dix. Si l'on retranche de
b b::; b::; _~ sept la moitié de dix, il reste deux: c'est la quantité de racines
b ---t "2 ---) ("2) ---t ("2) + c ---t -\j ("2) + C
du carré ajouté à dix racines. Tu sais <alors> que le carré est
--7F-V(~)' -~ égal à deux de ses racines. Chaque racine est donc égale à
+c
deux". (folio 25v-25r)
Exemple: (folio 24v)
-fï9 - -fï9 - Dans ce paragraphe, Ibn al-Ha'im commence par prévenir qu'il
( 4 ) x2 + 10x = 24 ===> x = 12° = 5 = 7 -5 = 2 .
n'aura pas recours aux justifications géométriques de la tradition
euclidienne, mais qu'il utilisera des identités remarquables, plus
1H 2 : Preuve de l'algorithme classique commodes à comprendre par l'étudiant même si - en définitive - la
justification ultime de ces identités se trouve chez Euclide. Il suit en
Citons Ibn al-Ha'im : cela, la tradition maghrébine, bien illustrée dans les Œuvres d'Ibn al
"-Il est de tradition chez les spécialistes d'expliciter la preuve de Banna dont il n'hésite pas à s'inspirer et qu'il paraphrase parfois.
ces algorithmes par la géométrie. celle des lignes ou celle des
aires. Comme la connaissance de cela nécessite de connaître
Les six équations canonique
20 Ibn al-I-Et'im : Sharh al-Lhjn::,a 21
Schéma de cette méthode dans le cas de l'équation: x:; + bx = c : La preuve retenue ici par Ibn al-Hâ'im reprend celle développée
b = le nombre de racines. c = le nombre donn-é. Jpa r hypothèse. par al-Karaji utilisant la proposition II-6 des Fléments d'Euclidel
.
b" b' b" L'identité remarquable retenue s'écrit en notations modernes:
b-o c ---7 b-0 c + (-2) ~ x-0 = Ic + 2] - b-0 c + (2) u:; u :;
(u+v)v+(2") = (2"+ v) (idl)
" 102 u est le nombre divisé en deux moitiés. v est le nombre qui lui
Exemple 5: x2 + 10x = 24 ~ x- = f24 +2]-
est ajouté, leur somme u + v étant multipliée par v.
~ x:; = 74 -~2400 + 2500 = 74 -70 = 4. Pour l'équation unitaire x:; + bx = c , Ibn al-Hâ'im considère que
le nombre de racines de Mal est x, c'est-à-dire, en d'autres termes, x2
On comprend, que pour IH3 et IH4, Ibn al-Ha'im ait cherché à vaut x racines, chaque racine étant égale à x.
Il pose, dans l'identité remarquable (id 1) : u = b et v = x .
être exhaustif en se pliant à la tradition des algébristes arabes, mais il
b b :;
ne suit pas ses prédécesseurs orientaux: Abu Kamill q~i fut le premier 2
~ (b + x)x + (2") = (2" + x) (d'après l'identité idl)
à poser ce problème et qui imagina cet algorithme général pour
b b
obtenir sa solution, ou al-Karâji:; qui avait fait de même, mais à partir 2
~ c + (2) = (2 + x) car c = (b + x)x
de l'exemple générique : x2 + 10x = 39, tous deux justifiaient leur
solution par la géométrie. Signalons que cet algorithme ne figure pas ... ~ b ... ~ b
dans l'œuvre d'Ibn al-Banna. ~ -\j (2) + c = 2 + x ~ x = -\j (2) + c 2
Au fur et à mesure qu'il développe sa preuve, Ibn al-Hâ'im l'illustre sur
IH4 : Un 2éme algorithme pour calculer d'abord le carré de l'inconnue l'équation: x2 + 10x = 24 pour laquelle il trouve la solution x = 2 .
Citons Ibn al-Hâ'im :
"Il existe un autre moyen <de calculer d'abord le Mal> : tu IH3 : Un 1 algorithme pour calculer d'abord le earré de l'inconnue
cr
retranches le carré du nombre donné du carré de la somme du
nombre donné et de la moitié du carré du nombre de racines. Citons Ibn al-Ha'im :
Puis. tu soustraies la racine carrée du résultat de la somme du "Si tu souhaites calculer d'abord le Mal (le carré de
carré de laquelle tu avais retranché <en premier lieu le carré du l'inconnue): tu multiplies le carré du nombre de racines par le
nombre donné>. " (folio 25r) nombre donné par hypothèse, puis tu a:Ï outes au produit le
carré de la moitié du carré du nombre de racines et tu
Schéma de cette méthode dans le cas de l'équation: x:; + bx = c retranches de la somme du nombre donné et de la moitié du
b = le nombre de racines. c = le nombre donn-é.J p ar hypothèse. carré du nombre de racines, la racine carrée du résultat. Ce qui
c-'") ~ 1c + Tb:; I 2 -c-'") ~ x-Î = [c + Tb:; l - l c + Tb2I _ 2 -c-'") reste est le Mal cherché". (folio 25r)
Exemple 6: x:; + 10x = 24
----"....---
" 210 :; 210 :;] 2 - "
~ x- = 124 + J - 124 + 24-
1
~ x~- = 74 -A, ,74-~ -24-~ = 74 -70 = 4. 1
Proposition 11-6 : "Si une droite rAB] est coupée en son milieu C et si on lui ajoute
Cet algorithme, qui ne figure ni chez Abu KamiL ni dans les directement une droite [BD1. alors (AB -t BD).BD", CB2 = cn2 ".
traités d'al-Kar5ji, est directement inspiré du Ki/ab a/-Jabr d'Ibn al-
À F
al-Karaji utilise eette proposition pour prouver l'algorithme de résolution dc l'équation
Edition arabc dc l'algèbre de Abu KamiL pagc 7 pour l'algorithme ct page Il pour la ,,2 ;
1 XL ~ hx ~. e. à partir de l'cxemple génériquc 1( lx 39. Quant ù Ibn a1-1 la'im. il
i ustilication géométriquc.
:'~l1lrlaee. dans l'énoncé de la proposition. le termc "/'://(/11" (droite) par le terme
'2 AI-hl/.:hri d'al-Karaji \ \ 'Ir ~:l\'dan. pagc 150 ct J 53 ct Woepekc. pagc ()5. Adad" (nombre). Flle devicnt alors L1ne idcntité remarquable numérique.
