Matematinė mintis Lietuvoje: (istorinė apžvalga iki 1832 m.)

68 Pages·2001·0.597 MB·Lithuanian

by  Banionis Juozas

VILNIAUS PEDAGOGINIS UNIVERSITETAS
JUOZAS BANIONIS
MMMMMAAAAATTTTTEEEEEMMMMMAAAAATTTTTIIIIINNNNNËËËËË MMMMMIIIIINNNNNTTTTTIIIIISSSSS
LLLLL IIIII EEEEE TTTTT UUUUU VVVVV OOOOO JJJJJ EEEEE
(((((IIIIISSSSSTTTTTOOOOORRRRRIIIIINNNNNËËËËË AAAAAPPPPPÞÞÞÞÞVVVVVAAAAALLLLLGGGGGAAAAA IIIIIKKKKKIIIII 11111888883333322222 MMMMM.....)))))
VILNIUS, 2001
1
UDK 51(474.5) (091)
Ba379
Recenzentas dr. Aleksandras Baltrûnas
Iliustracijos ið R. Rimantienës „Akmens amþius Lietuvoje“ (1984),
P.Dundulienës „Lietuviø etnografija“ (1982), „Lietuviø liaudies kosmologija“
(1988), J. Dianni, A. Wachulka „Tysiàc lat polskiej mysli matematycznej“
(1963), N. Bespamiatnych „Matematièeskoje obrazovanie v Belorusiji“ (1975).
Virðeliuose – „Filosofija ir septyni laisvieji menai“ (K. Lavrinoviè
„Albertina“ (1995)) ir „Pirmoji J. Jakobsono matematinë maðina (XVIII a. pab.)
(L. Klimka „Tikslieji mokslai Lietuvoje“ (1994)).
ISBN 9986-869-96-X
© Juozas Banionis
© Vilniaus pedagoginis universitetas
2
Skiriu Tëvø, praskynusiø
man kelià á mokslus, atminimui.
PPPPPrrrrraaaaatttttaaaaarrrrrmmmmmëëëëë
Lietuvos matematinës minties gijos nusidriekia á mûsø valstybës istorijos
gelmes. Matematikos þinijos uþuomazgø jau buvo Lietuvos prieðistorës kultû-
roje. Kuriantis baltiðkajai kultûrai, paremtai þodine kûryba, praktiniai mate-
matikos þiniø pradmenys kartu su kitu patyrimu gyvavo dar pirmaisiais Lietu-
vos valstybës amþiais.
Intensyvëjant Europos kraðtø karinei ekspansijai nuo XIII a. Lietuva susi-
durdavo su tûkstantmeèius klestëjusia Vidurþemio jûros ðalyse raðytine kultû-
ra. Dël mûsø valstybës christianizacijos pastaroji kultûra dar sparèiau plito.
Lietuvoje sukûrus ðvietimo sistemà imtos sistemingai skleisti mokslo idëjos.
Tada buvo sukurti ir matematikos mokslo pradmenys mûsø kraðte. Slenkant
amþiams, matematikos mokslas darësi reikðmingesnis ir vis sudëtingëjanèio
mokslo sklaida skatino ávairaus masto lavinimo ástaigø augimà. Vilniaus ka-
tedros mokykla, Vilniaus kolegija, Vilniaus akademija-universitetas – tai ðvie-
timo ir mokslo institucijos, kuriose daug dëmesio buvo skiriama matematikai.
Ðio darbo tikslas – pasekti Lietuvos matematinës minties pëdsakais, t. y.
iðsiaiðkinti, kokia ji buvo prieðistorës kultûroje, jau susikûrus Lietuvos valsty-
bei, kaip ji plëtojosi iki XIX a. pirmos pusës, kai prievarta buvo nutrauktas
Vilniaus universiteto gyvavimas. Taèiau matematinës minties gijos nenutrû-
ko, tik susilpnëjo. Lietuvos visuomenëje nesiliovë pleventi universiteto atgai-
vinimo idëja.
Atliekant Lietuvos matematinës minties istorinæ apþvalgà reikëtø prisi-
minti svarbius matematikos mokslo ir ðvietimo veikëjø nuopelnus. Bene pir-
masis profesorius, rinkæs þinias apie senojo Vilniaus universiteto mokslà, taip
pat ir matematikà, buvo Joanas Antonis Proiðhofas (1663–1721), nuo 1706 m.
dirbæs Vilniaus akademijoje ir 1707 m. paskelbæs veikalà „Vilniaus Jogailos-
Batoro universitetas, pasipuoðæs akademiniais laurais“ („Universitas Vilnen-
sis Jagiellonico-Bathoreana, laureanum academicarum florida“).
XIX a. ypaè garsûs buvo du mokslo istorikai, tyrinëjæ Vilniaus universiteto
istorijà. Michalas Balinskis paraðë veikalà „Senoji Vilniaus Akademija“ ( „Daw-
na Akademia Wilenska“, iðleista 1862 m.), o Juzefas Bielinskis parengë tritomá
„Vilniaus universitetas“ („Universytet Wilenski“, iðleista 1899–1902 m.). XXa.
iðkilo lietuviø mokslininkai, tyrinëjæ senàjá Vilniaus universitetà. Profesorius
Mykolas Birþiðka 1940 m. iðleido studijà „Senasis Vilniaus universitetas“.
Matematikos mokslà senajame Vilniaus universitete pirmasis ið lietuviø ëmë-
3
si tyrinëti þymus matematikas, kultûros ir visuomenës veikëjas, profesorius Zig-
mas Þemaitis, paskelbæs keletà moksliniø ir mokslo populiarinimo straipsniø.
1967 m. vilnietis Bogdanas Chmielevskis paraðë ir apgynë fizikos-mate-
matikos mokslø kandidato disertacijà „Matematinis ðvietimas Vilniaus akade-
mijoje ir Lietuvos Vyriausioje mokykloje“.
Nuodugniai tyrinëjant matematikos mokslà senajame Vilniaus universitete
daug pasidarbavo Evaldas Geèiauskas, paskelbæs daugybæ mokslo straipsniø.
1979 m. minint Vilniaus universiteto 400 metø jubiliejø, pasirodë trijø
tomø Vilniaus universtiteto istorija. Jos pirmojo tomo (1579–1803 m.) skyriø
apie matematikos mokslà paraðë akademikas Paulius Slavënas, antrojo tomo
(1803–1940 m.) skyriø apie matematikos mokslà – Borisas Voronkovas.
Lietuvos matematinës minties raidai svarbios dvi serijos „Lietuvos mokslo
paminklai“ knygos: Arnoldo Piroèkino ir Algirdo Ðidlausko „Mokslas senaja-
me Vilniaus universitete“ (iðleista 1984 m.) bei Vladimiro Zubovo „Tomas
Þebrauskas ir jo mokiniai“ (iðleista 1986 m.).
Tiksliøjø mokslø panoramà senojoje Lietuvoje atskleidþia Libertas Klimka
knygoje „Tikslieji mokslai Lietuvoje“ (iðleista 1994 m.).
Apie lietuviø senuosius skaièiø þenklus vertingø duomenø yra paskelbæs
Aleksandras Baltrûnas leidinyje „Nuo nulio iki ...“ (iðleistas 1991 m.).
Matematikos mokslà senajame Vilniaus universitete yra gvildenæ ir dabar-
ties uþsienio autoriai. Dar 1963 m. lenkø mokslininkai Jadvyga Dianni ir Ada-
mas Wachulka iðleido studijà „Tûkstantis metø Lenkijos matematinei min-
èiai“ („Tysiàc lat polskiej mysli matematyczniej“), kurioje Lietuvos matema-
tikai priskiriami prie Lenkijos matematikø. 1975 m. Nikolajus Bespamiatny-
chas paraðë „Matematinis ðvietimas Baltarusijoje“ („Ìàòåìàòè÷åñêîå
îáðàçîâàíèå â Áåëîðóññèè“), kuriame aptarë ir Lietuvos matematikø veiklà.
Tikslinant Z. Revkovskio mokslinës darbuotës pradþià, naudotasi Vilniaus
universiteto bibliotekos rankraðèiø skyriuje (VUBRS) ir Lietuvos valstybinia-
me istorijos archyve (LVIA) saugomais fondais.
Ðis darbas – tai bandymas pasekti Lietuvos matematinës minties pëdsakais
ir supaþindinti su svarbiais Lietuvos matematikos mokslo ir ðvietimo veikëjais
bei faktais. Leidinys skirtas Vilniaus pedagoginio universiteto studentams,
pasiryþusiems lankyti pasirenkamàjá kursà „Matematinë mintis Lietuvoje“ bei
tiems, kurie domisi Lietuvos mokslo praeitimi.
Esu dëkingas Vilniaus pedagoginio universiteto Matematikos fakulteto
dekanui doc. Jonui Baniui, Matematikos metodikos katedros vedëjui doc. Vy-
tautui Bernotui, Matematikos fakulteto mokslinei tarybai (ypaè prof. Pranui
Survilai) uþ paramà, leidþiant ðià knygà, recenzentui dr. Aleksandrui Baltrûnui
uþ vertingas pastabas bei geranoriðkai talkinusiai Julijai Þemaitytei.
4
IIIII..... MMMMMaaaaattttteeeeemmmmmaaaaatttttiiiiikkkkkooooosssss þþþþþiiiiinnnnniiiiijjjjjaaaaa LLLLLiiiiieeeeetttttuuuuuvvvvvooooojjjjjeeeee iiiiikkkkkiiiii rrrrraaaaaðððððtttttooooo aaaaatttttsssssiiiiirrrrraaaaadddddiiiiimmmmmooooo
Lietuvos vardas (Lituae) pirmà kartà paminëtas vokieèiø Kvedlinburgo
analuose 1009 m. Tuomet pirmà kartà ið aisèiø iðskirti lietuviai ir jø gyvenama
ðalis. Rytiniame Baltijos krante ásikûrusius aisèius pirmasis pavadino romënø
istorikas Publijus Kornelijus Tacitas, gyvenæs I a. po Kr. Taèiau archeologai
tvirtina, jog Lietuvos teritorijoje pirmieji gyventojai ásikûrë X tûkst. pr. Kr.
Taigi nuo paleolito, t. y. senojo akmens amþiaus, pabaigos galima kalbëti apie
tam tikros kultûros apraiðkas dabartinëse mûsø valstybës þemëse. Manoma,
kad ðio amþiaus þmogus buvo susikûræs pasaulëvaizdá, kuriame gamtos reiðki-
niø vaizdiniai buvo susipynæ su antgamtiniø, jokiems logikos dësniams nepa-
klûstanèiø, reiðkiniø vaizdiniais. Taèiau tuo metu dar nebuvo susiformavusiø
ornamentikos ar kitokiø sistemø, ið kuriø bûtø galima suþinoti apie dvasiná
þmoniø gyvenimà. Mezolito, t. y. viduriniojo akmens amþiaus (VIII–IV tûkst.
pr. Kr.), radiniai – kaulo dirbiniai – jau iðraiþyti nuolat pasikartojanèiomis
ornamentikos sistemomis, kurios pritaikytos prie dirbinio formos. Ornamentai
sudaryti ið geometriniø figûrø, t. y. ið dësningai pasikartojanèiø taðkø, áraiþø,
kripuèiø, rombeliø, kvadratëliø ar tinkleliø.
Neolite, t. y. naujajame akmens amþiuje (IV–II tûkst. pr. Kr.), randama vis
NNNNNeeeeeooooollllliiiiitttttooooo kkkkkeeeeerrrrraaaaammmmmiiiiikkkkkooooosssss ooooorrrrrnnnnnaaaaammmmmeeeeennnnntttttiiiiikkkkkaaaaa iiiiirrrrr fffffooooorrrrrmmmmmooooosssss
5
tobulesniø formø keramikos dirbiniø. Smailiadugnius puodus pakeitë plokð-
èiadugniai, puodø kaklelio I profilá pakeitë S profilis. Kito ir ávairëjo kerami-
kos dirbiniø ornamentikos sistemos, kuriose pastebima euritmija. Nuo trikam-
piø katpëdëliø, áspaudëliø buvo pereita prie ástriþiniø susikertanèiø juosteliø,
lygiagreèiø bei statmenø stulpeliø eiluèiø. Ið iðlikusiø akmens amþiaus gyven-
vieèiø pastatø liekanø matyti, jog stulpavietës buvo iðsidësèiusios eilëmis ir
net staèiais kampais. Ðiame amþiuje ne visai taisyklingo apskritimo ar ovalo
formos statinius pakeitë keturkampiai pastatai. Tai rodo, kad jau tada egzista-
vo praktinës matematikos þinijos pradmenys. Pasaulá pirmykðtis þmogus su-
prato vadovaudamasis tûkstantmeèiais ið kartos á kartà perduodamu patyrimu,
rodanèiu orientavimàsi erdvëje ir laike. Tai liudija taipogi archeologø randa-
mi meno pavyzdþiai. Þinoma, jog Europoje ir Azijoje paleolito amþiuje pir-
moji laiko skaièiavimo sistema bu-
vo septyndalë, sudaryta pagal Më-
nulio faziø kaità. Kitoms reikmëms
vadovautasi deðimtdale sistema, ati-
tinkanèia abiejø rankø pirðtus. O ne-
olito meno pavyzdþiai Lietuvoje by-
loja buvus kitas dvi skaièiavimo sis-
temas: keturdalæ ir tridalæ.
Keturdalë sistema susijusi su pa-
saulio dalijimu kryþmai. Pradiniame
loginio màstymo etape þmogus su-
vokë, kas yra prieðingi pradai, pvz.:
dangus ir þemë, ðviesa ir tamsa, ðaltis
ir ðiluma ir pan. Taèiau jis, kasdien
stebëdamas ðias nesuderinamas prie-
ðybes, priëjo iðvadà, jog turëtø bûti
dar vienas pradas, kuris skirtø jas ir
kuris turëtø dar vienà, savo, prieðybæ.
Vadinasi, þmogus suvokë pasaulá ho-
rizontaliai padalytà á keturias dalis:
ðiauræ, pietus, rytus ir vakarus. Tokia
pasaulio samprata atsispindi ir arche-
ologø rastose Lietuvos pajûryje gin-
taro plokðtelëse, kur kryþmai ágræþ-
tos taðkuèiø juostelës.
GGGGGiiiiinnnnntttttaaaaarrrrriiiiinnnnniiiiiaaaaaiiiii ssssskkkkkrrrrriiiiidddddiiiiinnnnniiiiiaaaaaiiiii sssssuuuuu Tridalë sistema paremta kiek
kkkkkeeeeetttttuuuuurrrrrdddddaaaaallllliiiiiaaaaaiiiiisssss þþþþþeeeeennnnnkkkkklllllaaaaaiiiiisssss kitokiu pasaulio suvokimu. Papras-
6
tai þmonës ásikurdavæ prie vandens telkiniø (upës, eþero, jûros ir pan.) ir regë-
davæ vienodà panoramà – dangø, vandená ir þemæ. Taip palaipsniui susiklostë
pasaulio vertikaliai padalyto á tris stichijas – dangø, vandená ir þemæ, – sam-
prata. Manoma, jog naudojantis tridale sistema neturint geresniø skaièiavimo
ágûdþiø, trys trejetai (lygu devyniems) atitiko pirmàjà grupavimo ribà. Antai
Nidoje rastø neolito puodø pieðiniuose populiarûs skaièiai 3, 6, 9 iðreikðti
vienais ar kitais puoðybos elementais. Galimas dalykas, ten ir glûdi iðtakos tø
tautosakoje uþfiksuotø posakiø ir prieþodþiø, kuriuose minimas skaièius 9,
þymintis ribà tarp þinojimo ir neþinojimo. Apskritai vëlyvojo neolito pabaigo-
je, kai þemdirbystë tapo svarbia visuomeninio ûkio sritimi, jau formavosi kul-
tûros, kurià puoselëjo þemdirbiø bendruomenë ir su ja glaudþiai susijæs kariø
sluoksnis, tipas. Ðis kultûros tipas, paremtas þodine kûryba, buvo nelabai spe-
cializuotas. II–I tûkst. pr. Kr. iðkilo etniðkai vienalytës baltø gentys, gyvenu-
sios toli nuo kitø tautø ir kultûrø centrø sunkiai áþengiamuose Ðiaurës ir Rytø
Europos miðkuose. Baltai ið indoeuropieèiø prokalbës paveldëjo deðimtainæ
skaitvardþiø sistemà. Tikëtina, kad ilgà laikà pirmieji deðimt kiekiniø skait-
vardþiø ðioms gentims buvo vieninteliai. Zigmas Zinkevièius yra rekonstravæs
baltø skaitvardþius. Manoma, jog skaièiø vardai kilæ ið konkreèiø skaièiuoja-
mø daiktø pavadinimø, kurie ilgainiui buvo abstrahuoti ir tapo skaitvardþiais.
Taèiau mokslininkams dël skaièiø vardø senumo ir sudëtingo abstrahavimo
nepavyko iðsiaiðkinti jø konkreèios pirmykðtës reikðmës.
Dabar skaièiui l þymëti lietuviø kalboje vartojamas þodis vienas, kilæs ið
baltiðkojo einas ar ainas, greièiausiai reiðkusio „vienintelis“, skaièiui 2 þymë-
ti – þodis du, iðsirutuliojæs ið baltiðkojo duo, duei, skaièiui 3 þymëti – þodis
trys, kilæs ið triies, 4 – keturi, kilæs ið ketures, 5 – penki, kilæs ið penkes, 6 – ðeði,
kilæs ið uðes ir seðes, 7 – septyni, kilæs ið septines, 8 – aðtuoni, kilæs ið aðtones,
9 – devyni, kilæs ið neuines, 10 – deðimt, kilæs ið deðimts. Tai ilgà laikà buvæ
vieninteliai baltø skaièiø vardai. Skaièiø nuo ll iki l9 pavadinimams baltai
specialiø formø neturëjo ir juos nusakydavo tam tikromis frazëmis. Tarp rytø
baltø ásivyravo kontrukcijos vienas lieka po deðimties, du lieka po deðimties ir
t. t. Ilgainiui ðiø konstrukcijø þodþiai po deðimties buvo iðmetami ir, likusiems
þodþiams vienas lieka, du lieka ir t. t. susiliejus, gimë mums jau þinomi skait-
vardþiai vienuolika, dvylika ir pan. Deðimèiø pavadinimus baltai ëmë reikðti
skaitvardine grupe, kurià sudarë skaièiø nuo 2 iki 9 vardai ir prie jø priderintas
þodis deðimt. Buvo sakoma: dvi deðimti, trys deðimtys, <.…..>… , devynios deðimtys.
Rytø baltai iðlaikë senoviná skaièiaus 100 pavadinimà ðimtas, kildinamà ið
ðimtan. Tuo tarpu skaièiaus 1000 pavadinimas rekonstruojamas sunkiau. Va-
karø baltai tûkstanèiui ávardyti vartojæ þodá tûðimtas, o rytø baltai – tû(k)stants.
Intensyvëjant kasdieniniam gyvenimui reikëjo kokiu nors bûdu atlikti þy-
7
miná skaièiavimà, t. y. sutartiniais þenklais fiksuoti tam tikrà suskaièiuotø
daiktø kieká. Pasak Adolfo Ðapokos, senovës aisèiai dar prieð Kristø plaèiai
prekiavo su Roma, Graikija, o vëliau – su Skandinavija. Skaièiavimo reik-
mëms naudotos lazdelës, kuriø vienoje pusëje bûdavo ápjaunami randeliai,
rodantys kam nors áteiktø daiktø skaièiø. Tada lazdelës bûdavo skeliamos
iðilgai pusiau ir abiejose jø pusëse likdavo randeliø þymës. Naujas atþymas
bûdavo galima padaryti tik abiems sandërio dalyviams susitikus ir sudëjus abi
lazdelës puses. Taigi lazdelës – vekselio pirmtakai – tapo savotiðka operatyvia
skaièiavimo priemone. Tos lazdelës buvo vadinamos birkomis. Ðis pavadini-
mas kildinamas ið senojo ðvedø pirkliø miesto Birko vardo.
Kronikininkas Petras Dusburgietis yra apraðæs senovës lietuviø skaièiavi-
mo bûdà: jie, susitaræ per tam tikrà dienø skaièiø iðtesëti paþadà, „pirmàjà
dienà ákerta koká þenklà á medá arba uþmezga mazgà apyvaruose ar juostoje“;
taip daroma kasdien, kol ateina sutartas laikas.
Po Kristaus, vëlyvajame geleþies amþiuje (nuo IX a.), dabartinëje Lietuvos
teritorijoje prekybiniams sandëriams jau imta naudoti svarstykles ir svarelius.
Svarstyklës buvo sulankstomos, jas sudarë þalvarinis skersinis, kurio galuose
buvo átvirtintos gaubtos lëkðtelës ið þalvario. Ðios svarstyklës kiek primena
dar mûsø laikais vaistinëse naudotas svarstykles. Svareliai buvo ávairiø for-
BBBBBiiiiirrrrrkkkkkøøøøø pppppaaaaavvvvvyyyyyzzzzzdddddþþþþþiiiiiaaaaaiiiii
8
mø– dvigubo nupjauto kûgio, daugiakampio ar statinës, o jø galuose ámuðtais
þenklais paþymëti svorio matai. Ádomu tai, jog baltai svorio vienetu laikë ak-
mená. Ðio þodþio kilmë siejama su svarstyklëmis, kurios taip pat buvo vadina-
mos akmeniu. Akmuo sudarë 40 lietuviðkø svarø. Pasak Pranës Dundulienës,
senovës Lietuvoje, kaip ir kituose kraðtuose, buvo skaièiuojama sudëties bû-
du, t. y. sudedant daiktus krûvelëmis po 3, 10, 12, 20, 30, 60.
Iki pinigø atsiradimo prekybiniuose sandëriuose vyravo natûriniai mainai.
Tada vietoj pinigø buvo naudojami kiauniø ar kitø ðvelniakailiø þvëreliø kai-
liukai, sudëti po 40, pvz., iki IX a. Rygoje uþ tris pundus po 40 kailiukø buvo
galima ásigyti jojamà arklá, uþ pusantro – kumelæ, uþ vienà – jautá.
Ið raðytiniø istorijos ðaltiniø þinoma, jog dabartinëse Lietuvos þemëse IX a.
vietoj pinigø imta naudoti sidabrà, t. y. sidabro lydinio lazdeles, kuriose pada-
ryti ákirtimai rodë prabà. Ilgainiui nuo X a. ðie piniginiai vienetai pavadinti
lietuviðkais ilgaisiais.
Mûsuose, kaip ir kaimyninëse þemëse, ilgio matai buvo nusakomi pagal
þmogaus kûno dalis ar jo atliekamus veiksmus. Taip atsirado uolektis, sprin-
dis, þingsnis, sieksnis, alkûnë, pëda ir pan. Gylis ir aukðtis daþniausiai buvo
nusakomi pagal þmogaus ûgá, peèius, juosmená, ðlaunis, kelius. Dar vienas
matas buvo duobë, t. y. tokio gylio vieta, kurioje atsidûrusio þmogaus tesima-
tytø virðugalvis, ir tokio ploèio, kad iðtiestø þmogaus rankø pirðtai remtøsi á
duobës kraðtus.
Pagal þmogaus kûno dalis matuotas ir plotas. Sëdimasis – vieta, kurià uþ-
ima sëdintis þmogus, pritraukæs prie savæs kojas, guolis – vieta, kurià uþima
aukðtielninkai gulintis þmogus ir pan. Atsiradus þemdirbystei, þemës sklypai
AAAAAkkkkkmmmmmeeeeennnnnsssss sssssvvvvvaaaaarrrrrssssstttttyyyyykkkkklllllëëëëësssss
9
matuoti vagomis, akëèiomis, arimu, t. y. plotu, kurá galima suarti per dienà. I
tûkst. po Kr. imta naudoti dar vienà þemës matà – þagræ. Pievø plotams apibû-
dinti naudoti matai – ðieno veþimas, ðieno kupeta, o javø laukams – stirtos,
gubos.
Tûrio matai iðsirutuliojo ið kasdienës buities reikmëms skirtø indø – krep-
ðiø, pintiniø, kubilø, statiniø ir pan. – pavadinimø. Ilgainiui atsirado kvorta –
saikas, kuriuo seikëta biralai ir skysèiai. Ádomu tai, kad tûrio vienetas – statinë
– naudota ir dirvos plotui nusakyti (tai toks plotas, kuriam apsëti reikia visos
statinës grûdø).
Visi iðvardyti matai ir saikai ávairavo, nebuvo grieþtai nustatyti. Pasak
lietuviø istorikø, tik XV a. nusistovëjo ilgio, tûrio ir svorio matai. Tuomet
nukeliautas atstumas buvo matuojamas lietuviðkomis myliomis, namø apyvo-
koje vadovaujamasi lietuviðkomis uolektimis, o biralø kiekis vertinamas Vil-
niaus statinëmis. Prekyboje svorio vienetu imta laikyti dvigubo monetø kali-
mo vienetà – lietuviðkà ilgàjá, vadinamà svaru. 40 svarø buvo prilyginama jau
minëtam svorio vienetui – akmeniui. Beje, su lietuviðkais ilgaisiais susijæs
rusiðko rublio (nuo þodþio ðóáèòü – kapoti) pavadinimas, o kaip pastarojo
kalkë lietuviø kalboje prigijo mato pavadinimas – kapa. Tai kiekis smulkes-
niø pinigø – graðiø, kuriuos galima nukaldinti ið ilgo sidabro lydinio. Lietu-
viðka kapa prilyginama 60 graðiø.
Kadangi plotas nagrinëjamu laikotarpiu dar nebuvo apibrëþtas, naudotasi
ankstesniais ariamos þemës, ðienaujamos pievos matais – statiniais, ðieno veþi-
mais ir pan.
Plëtojantis þemdirbystei, kurios pradþia siekia neolità, vienas ið svarbiau-
siø klausimø buvo tampa laiko matavimas. Þmogus, stebëdamas Mënulá, Sau-
læ ir jø kaità, ëmë suvokti paros, mënesio ir metø laikà. Paros laikas ið pradþiø
skirstytas á dienas ir naktis, o paskui ir trumpesnius laikotarpius: prieðauðrá,
auðrà, saulëteká, didájá pusrytá, prieðpietá, pietus ar pusdiená ir pan. Toká smul-
kø paros dalijimà ilgainiui pakeitë Saulës laikrodis. Pagal periodiná gamtos
keitimàsi buvo nustatomi metai ir jø laikai – þiema, pavasaris, vasara ir ruduo.
Pastarieji, atsiþvelgiant á atliekamus ûkio darbus bei gamtos kaità, buvo
pradëti skirstyti á trumpesnius laiko tarpus, kurie palaipsniui ágijo pavadini-
mus. Atsiradus þemdirbiø kalendoriui, þinoma, jog metai pagal Mënulio ka-
lendoriø buvo skirstomi á mënesius. Todël buvo papildomas, tryliktas, mënuo.
Lietuviai paveldëjo ir iðsaugojo senuosius mënesiø pavadinimus. Tiesa,
jie kiek laiko dar ávairavo ir tiksliai neatitiko dabar mûsø vartojamø. Sausis
buvo vadinamas ir vasariu, ir siekiu, gruodis – pusèiumi, ragu, vasaris – vasariu
ar pusèiu, kovas – kovu, karveliniu, balandþiu, balandis – þiedu, balandþiu,
sultekiu, geguþë – birþeliu, berþeliu, geguþe, birþelis – sëjos, berþiniu, liepa –
10