Lezioni di topologia. Dagli insiemi alle compattificazioni

136 Pages·2010·1.859 MB·Italian

by  Paolo Vitolo

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Paolo Vitolo
LEZIONI DI
TOPOLOG IA
DAGLI INSIEMI
ALLE COMPATTIFICAZIONI
Copyright © MMX
ARACNEeditrice S.r.l.
www.aracneeditrice.it
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via Raffaele Garofalo, 133/A–B
00173 Roma
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ISBN 978–88–548–3189–6
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I edizione: aprile 2010
Indice
Introduzione 1
Parte I. Teoria degli Insiemi 3
Capitolo 1. Insiemi 5
Gli assiomi di Zermelo–Fraenkel 5
Filtri e basi di filtro 10
Capitolo 2. Relazioni e Funzioni 13
Relazioni 13
Relazioni di ordine 14
Composizione di relazioni 16
Funzioni 17
Insiemi equipotenti 18
Famiglie di insiemi 19
Prodotto cartesiano di una famiglia 20
Capitolo 3. Numeri ordinali e pricipio di induzione 23
Numeri ordinali 23
Somma e prodotto ordinale 26
L’insieme dei numeri naturali 27
Principio di induzione e definizioni per ricorrenza 28
Capitolo 4. Numeri cardinali e assioma della scelta 31
Numeri cardinali 31
L’assioma della scelta 32
Confronto di cardinalità 34
Somma, prodotto ed esponenziazione cardinale 35
L’ipotesi del continuo 37
Parte II. Topologia 39
v
vi INDICE
Capitolo 5. Spazi topologici 41
Insiemi aperti e funzioni continue 41
Basi e sottobasi 43
Intorni 44
Assiomi di numerabilità 45
Insiemi chiusi e chiusura 46
Continuità in un punto 47
Funzioni aperte e funzioni chiuse 48
Insiemi densi e spazi separabili 49
Capitolo 6. Costruzione di topologie 51
Topologia generata da una collezione di insiemi 51
Spazi totalmente ordinati 52
Sottospazi 53
Topologia iniziale 54
Prodotto topologico 55
Topologia generata da un sistema di intorni 58
Spazi metrici 59
Topologia generata dai chiusi; operatori di chiusura 61
Topologia finale: quozienti e somma topologica 63
Capitolo 7. Convergenza 65
Filtri e reti convergenti 65
Sottoreti 67
Punti di compattezza 68
Caratterizzazione della chiusura e della continuità 70
Capitolo 8. Assiomi di separazione 73
Spazi T e spazi T 73
0 1
Spazi di Hausdorff 77
Spazi regolari 79
Spazi normali 81
Spazi di Tychonoff 90
Capitolo 9. Compattezza 95
Spazi compatti 95
Convergenza negli spazi compatti 98
Il teorema di Heine–Borel 99
Punti di completa accumulazione 101
INDICE vii
Il teorema di Tychonoff 102
Compattezza negli spazi metrici 104
Capitolo 10. Compattificazioni 107
Spazi localmente compatti 107
Compattificazione di Alexandroff 110
Confronto di compattificazioni 112
Compattificazione di Stone–Čech 114
Bibliografia 117
Indice analitico 119

Introduzione
Questo testo è stato scritto con lo scopo di organizzare in forma
compiuta il materiale per le lezioni del corso da me tenuto all’Università
della Basilicata per la laurea specialistica in Matematica nel secondo
semestre dell’anno accademico 2009–2010.
L’intento è stato dunque quello di fornire un sussidio agli studenti
del mio corso, ma anche di proporre un testo che possa essere consigliato
o adottato in altre università da altri corsi che abbiano finalità e
contenuti analoghi.
La decisione di intraprendere il lavoro di elaborazione di queste
lezioni nasce infatti dalla constatazione di una carenza, nel panorama
editoriale italiano, di testi sugli argomenti di Topologia e Teoria degli
Insiemi, nonché dalla esigenza di facilitare lo studio individuale, met-
tendo a disposizione degli studenti la raccolta completa degli argomenti
affrontati in aula, ordinati e svolti allo stesso modo.
Trattandosi di un corso semestrale, è stato inevitabile operare una
serie di scelte, per evitare che il programma fosse troppo ampio. Tali
scelte sono innegabilmente personali, dettate principalmente dai miei
gusti e dalle mie preferenze, ma anche influenzate da motivazioni di
natura squisitamente didattica.
Vorrei inoltre precisare alcune linee metodologiche cui mi sono
strettamente attenuto: anzitutto ho tenuto a privilegiare il rigore e
la precisione, anche costo di sembrare pedante nella forma; inoltre ho
cercato di esporre dettagliatamente e nel modo più completo possibile
i ragionamenti e i passaggi logici; infine ho trattato i vari argomen-
ti in maniera sufficientemente esauriente da non trascurare nessuna
dimostrazione, ad eccezione di alcuni teoremi nella prima parte.
Dunque, poiché nulla o quasi viene dato per scontato, per affrontare
queste lezioni non sono necessari prerequisiti.
Tutto il testo è corredato di esercizi, che vanno dalla semplice
1
2 INTRODUZIONE
applicazione dei teoremi agli approfondimenti, spesso essenziali alla
teoria. Per gli esercizi meno facili, viene dato sempre un suggerimento.
Il piano di lavoro è il seguente. Vi è una prima parte che tratta di
teoria degli insiemi, a cominciare dagli assiomi di Zermelo–Fraenkel e
fino ad una introduzione alla teoria degli ordinali e dei cardinali.
La seconda parte, che va dal Capitolo 5 al Capitolo 10, verte sulla
topologia generale vera e propria: dopo due capitoli introduttivi, si
parla di convergenza di filtri e reti; poi viene un corposo capitolo
sugli assiomi di separazione; il Capitolo 9 parla di compattezza negli
spazi topologici e negli spazi metrici; l’ultimo capitolo riguarda le
compattificazioni, e termina con la compattificazione di Stone–Čech.
Alla fine è riportata una breve lista di riferimenti bibliografici: essa
include sia i libri da me impiegati come fonti per i vari argomenti
trattati, sia testi più avanzati che gli studenti interessati possono usare
per ulteriori approfondimenti.
Per altri libri o articoli di topologia generale, non inclusi nella mia
lista, raccomando di consultare l’estesissima bibliografia di [2].