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FINANCE ET ÉCONOMIE APPLIQUÉE
Collection publiée sous la direction de Henri HIERCHE
B. de FINETTI
leçons
de
mathématiques
financières
COLLECTION
«FINANCE ET ÉCONOMIE APPLIQUÉE»
LEÇONS DE
MATHÉMATIQUES
FINANCIÈRES
PAR
B. de FINETTI
TRADUIT DE L’ITALIEN PAR
E. DANA
Sont qualifiées de « financières » les opé
rations portant sur des capitaux : or, ces
opérations font depuis longtemps l’objet de
calculs qui permettent d’établir le rende
ment des sommes engagées ou la valeur
actuelle de règlements futurs. Quoi qu’il en
soit, les décisions qui concernent ces opéra
tions sont prises dans des conditions dites
de certitude, par opposition aux décisions
prises dans des conditions d’incertitude :
les premières relevant de la mathématique
financière, les secondes de la mathématique
actuarielle. I/auteur souligne d’ailleurs, par
l’identité des notations, l’identité des notions
qui relient l’une à l’autre : le seul facteur
nouveau intervenant dans la mathématique
actuarielle étant, avons-nous dit, l’incerti
tude.
I*e Pr Bruno de Finetti, spécialiste de
réputation internationale de la théorie des
probabilités et des mathématiques appli
quées aux décisions économiques, expose
dans cet ouvrage la mathématique financière
moins comme une matière indépendante
que comme un ensemble de cas relevant de
la théorie de la décision économique.
I/auteur évite donc l’énumération de
recettes pour résoudre des problèmes au
profit d’un exposé cohérent, d’où se dégage
une perspective d’ensemble. IYes cas parti
culiers sont interprétés comme des simplifi
cations approchées et utiles dans la pra
tique : cela s’applique surtout aux diverses
lois de capitalisation, d’escompte... En posant
les questions d’une façon univoque, comme
des problèmes économiques de choix entre
des engagements à différentes époques, la
loi exponentielle (ou capitalisation continue
à taux constant) apparaît comme la seule
compatible avec des propriétés naturelles :
les autres règles ou modes de calculs n’en
étant que des variantes, qu’expliquent les
circonstances économiques ou justifient des
commodités de calcul.
Voir suite sur ie deuxième rabat
DUNOD, ÉDITEUR. PARIS
FINANCE
ET
ÉCONOMIE APPLIQUÉE
Volume 28
Collection publiée sous la direction de
Henri HIERCHE
LEÇONS
DE
MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES
Collection FINANCE ET ÉCONOMIE APPLIQUÉE
Sous la direction de H. HIERCHE
Volumes publiés :
1. — H. Ardant. — Introduction à Vétude des banques et opérations de banque
(épuisé).
2. — P. Dupont. — Le contrôle des banques et la direction du crédit en France:
3. — B. Ohlin. —La politique du commerce extérieur.
4. — J. R. HlCKS. — Valeur et capital {Enquête sur divers principes fondamentaux
de la théorie économique).
5. — J. Lesourne. — Technique économique et gestion industrielle (2e édition).
6. — P. Massé. — Le choix des investissements {Critères et méthodes) (2e édition).
7. — J. G. Kemeny, J. L. Snell, G. L. Thompson. — Algèbre moderne et activités
humaines (2e édition française revue et corrigée).
8. — R. Frish (avec la collaboration de L. Nataf). — Maxima et minitna {Théorie
et applications économiques).
9. — P. Rosenstiehl, A. Ghouila-Houri. — Les choix économiques {Décisions
séquentielles et simulation).
10. — J. Tinbergen. — Techniques modernes de la politique économique.
11. — G. Tintner. — Mathématiques et statistiques pour les économistes. Tome I :
Méthodes élémentaires.
12. — P. Gordon. — Mathématiques pour les économistes. — Méthodes avancées
(à paraître prochainement).
13. — J. Mothes. —Prévisions et décisions statistiques dans Ventreprise (2e édition).
14. — R. Frisch. — Les lois techniques et économiques de la production.
15. — L. V. Kantorovitch. — Calcul économique et utilisation des ressources.
16. — E. Malinvaud. — Méthodes statistiques de Véconométrie.
17. — J. G. Kemeny, A. Schleifer, J. L. Snell, G. L. Thompson. — Les mathé
matiques modernes dans la pratique des affaires.
18. — R. Bellman et S. E. Dreyfus. — La programmation dynamique et ses appli
cations.
19. — J. Desrousseaux. — L'évolution économique et le comportement industriel.
20. — S. Ch. Kolm. — Les choix financiers et monétaires {Théorie et technique mo
dernes).
21. — Y. Mainguy.—L'économie de l'énergie.
22. — A. Cotta. — Théorie générale du capital, de la croissance et des fluctuations.
23. — H. J. Henderson et R. E. Quandt. — Microéconomie {Formulation mathé
matique élémentaire).
24. — G. Palmade. — L'économique et les sciences humaines. Tome I.
25. — G. Palmade. — L'économique et les sciences humaines. Tome II.
26. — L. Stoleru. — L'équilibre et la croissance économiques. Principe de macro
économie.
27. — J. C. Boot. — Programmation quadratique.
28. — B. de Finetti. — Leçons de mathématiques financières.
29. — W. J. Granger. — Analyse spectrale des séries temporelles en économie.
Volumes à paraître :
30. — J. Ullmo. — Le profit.
31. — B. Roy. — Algèbre moderne et théorie des graphes. Tome I : Notions et résul
tats fondamentaux.
32. — B. Roy. — Algèbre moderne et théorie des graphes. Tome II : Applications
et problèmes spécifiques.
D. R. Bergmann. — Manuel de méthodologie économique appliquée à
l'agriculture.
J. Lesourne. — Théorie de l'optimum économique.
LEÇONS
DE
MATHÉMATIQUES
FINANCIÈRES
PAR
B. de FINETTI
traduit par
E. DANA
Préface de
J. ULLMO
Examinateur à l’École polytechnique
Présentation de l’édition française
J. POZZETTO
Professeur à l’École des Hautes Études Commerciales
DUNOD
PARIS
1969
© Dunod, 1969.
Toute reproduction, même partielle, de cet ouvrage est inter
dite. Une copie ou reproduction par quelque procédé que ce
soit, photographie, microfilm, bande magnéiique, disque ou
autre, constitue une contrefaçon passible des peines prévues
par la loi du 11 mars 1957 sur la protection des droits d'auteur.
PRÉFACE
C’est un honneur pour nous de présenter ce livre parce que son auteur
M. Bruno de Finetti est un des penseurs les plus originaux et les plus profonds
de ce temps. En attendant la traduction prochaine de son grand ouvrage sur
/’Incertain en économie, le présent ouvrage donnera au public français Vocca
sion de faire connaissance avec les qualités de style et de maîtrise dans la présen
tation propres à Vauteur. Il ne s’agit ici que d’un traité classique de mathéma
tiques financières destiné aux étudiants et aux praticiens; mais on y sent la main
d’un maître qui domine assez ce sujet traditionnel pour le mettre en perspective.
On trouvera donc dans les chapitres successifs, après un rappel des notions
mathématiques nécessaires, une étude particulière de la loi exponentielle {ou
capitalisation continue à taux constant), fondement des mathématiques finan
cières, c’est-à-dire des règles de comparaison dans le temps et de regroupement
de règlements monétaires effectués à des époques différentes à l’occasion d’une
même opération globale. Les applications de la loi exponentielle permettent la
définition rigoureuse des concepts de capitalisation, d’escompte, d’usufruit, de
nue-propriété, de rente et d’amortissement. Toutes ces grandeurs se déduisent de
la seule connaissance du taux ou paramètre qui figure dans la fonction expo
nentielle.
Le problème inverse de la recherche de ce taux, lorsque certaines de ces gran
deurs sont fixées par des contrats ou par des transactions sur un marché, est
traité aussi dans toute sa généralité. Il est à la base de l’art des placements. Un
chapitre est consacré aux emprunts et obligations et un autre aux approximations
souvent utilisées en comptabilité au lieu de la loi exponentielle, et qui ne sont
justifiées qu’en fonction de celle-ci.
Après avoir rendu justice au livre, on nous permettra de dire quelques mots de
Vauteur, ou plutôt de l’ordre de pensées dans lequel sa contribution a été décisive.
On peut dire de Bruno de Finetti qu’il a été Vinstaurateur de la Théorie de la
probabilité subjective, elle-même fondement de la Théorie de la décision, qui
devient aujourd’hui l’instrument majeur de l’activité humaine.
On a confondu pendant très longtemps le Calcul des probabilités et la Théorie
de la probabilité. Cette confusion ne s’est dissipée que lorsqu’on a absolument
distingué le Calcul des probabilités, branche des mathématiques développée
comme toute autre à partir d’un système d’axiomes auquel on ne demande que la
non-contradiction, et la probabilité, théorie relative au monde réel comme la
VIII LEÇONS DE MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES
théorie de la chaleur ou celle de P électromagnétisme, et qui doit être jugée sur sa
capacité de s'appliquer à ce monde et d'y guider notre action et notre prévision.
Le calcul des probabilités a été longtemps une forme de combinatoire où l'on
dénombrait des cas posés comme équivalents, en cherchant les proportions des
cas définis comme favorables et des cas possibles. Sous sa forme moderne il est
devenu un aspect particulier de la théorie mathématique de la Mesure qui consiste
à définir des ensembles mesurables dans des espaces abstraits de plus en plus
généraux et à comparer entre eux de tels ensembles mesurés.
La théorie de la probabilité pose la question de l'existence dans la nature d'une
grandeur qu'on pourrait appeler probabilité, qu'on saurait mesurer ou appré
cier et qui satisferait aux mêmes lois combinatoires ou ensemblistes qui font
l'objet du calcul des probabilités.
Pendant longtemps on a cru trouver une réponse à cette question grâce à l'obser
vation des fréquences. Lorsqu'une expérience répétée, comme de lancer un dé ou
d'observer la courbe annuelle de variations de débit d'un fleuve, fait apparaître des
fréquences relatives à peu près constantes pour une circonstance particulière,
apparition du 6, ou niveau critique d'inondation, on affirmait que ces fréquences
observées désignaient des probabilités objectives présentes dans le phénomène
et manifestées à travers ses répétitions.
Un tel recours aux fréquences n'était point possible pour les phénomènes qui
ne se répètent pas, comme une course de chevaux ou le lancement d'un nouveau
produit. Pourtant l'idée de probabilité s'attache naturellement aux résultats
divers possibles de tel ou tel événement, et cette notion intuitive s'est traduite
dans la pratique par l'acte du pari.
La théorie de la probabilité subjective a précisé et mis en forme cette intuition
qui conduit au pari. On a pu démontrer que les règles qui s'imposent à des paris
multiples pour qu'ils soient rationnels, pour qu'ils ne se contredisent pas entre eux,
pour qu'ils n'aboutissent pas à une perte certaine, étaient les mêmes que les règles
imposées par Vaxiomatique des probabilités aux êtres mathématiques qu'elle
définit. Ce fut l'apport fondamental de Bruno de Finetti. Il découvrait la proba
bilité dans la nature, mais dans cette part privilégiée de la nature qu'est la raison
humaine : l'homme cohérent avec lui-même crée ses probabilités propres. A la
lumière de cette nouvelle conception, la théorie classique des probabilités objec
tives apparaissait sous un jour nouveau. Là aussi l'intervention de l'homme était
nécessaire, pour juger de la régularité des fréquences et de leur tendance vers une
limite rigoureuse. Au minimum pour affirmer que l'avenir reproduirait le passé :
c'est l'induction, fondement de toute science; elle est déjà un pari facile à faire
s'il s'agit du dé qu'on projettera à nouveau, il implique déjà tout un jugement,
une décision véritable si l'on affirme que les conditions climatiques vont se main
tenir pour reproduire les fréquences des différents régimes du fleuve.
On en est arrivé au point où toutes les interventions de la probabilité dans le
monde sont rassemblées dans la Théorie de la Décision. On affirme ainsi qu'il
n'y a probabilité que pour les hommes et par l'affirmation de leur jugement. Dans
