deprem etkisi altında yapılarda oluşan taban kesme kuvvetlerinin kıyaslanması

17 Pages·2005·0.28 MB·Turkish

by  Davut Özdağlar

DEÜ MÜHENDİSLİK FAKÜLTESİ
FEN ve MÜHENDİSLİK DERGİSİ
Cilt: 7 Sayı: 1 s. 1-17 Ocak 2005

DEPREM ETKİSİ ALTINDA YAPILARDA OLUŞAN
TABAN KESME KUVVETLERİNİN KIYASLANMASI

(COMPARISON OF BASE SHEAR FORCES
AT BUILDINGS UNDER EARTHQUAKE EFFECT)

Nuriye Y. KIVILCIM*

ÖZET / ABSTRACT

Ülkemizde özellikle son 10 y ılda olu şan ve büyük can ve mal kayb ına neden olan
depremler, depreme dayanıklı yapı tasarımına yeterli önemin verilmediğini göstermektedir.
Bu çalışmada, 1992 yılında Erzincan’da, 1995 y ılında Dinar’da, 1998 y ılında Adana-
Ceyhan’da ve 1999 yılında İzmit’te meydana gelen depremlerin ivme kayıtları esas alınmıştır.
Sayısal örnek olarak seçilen betonarme bir yap ıda, 1975 ve 1998 y ıllarında yürürlüğe
giren Afet Bölgelerinde Yap ılacak Yap ılar Hakk ındaki Yönetmelik Hükümleri dikkate
alınarak yapıda oluşan taban kesme kuvvetleri ile ülkemizde son y ıllarda oluşan depremlerin
güçlü yer ivme kay ıtları kullanılarak modların birleştirilmesi yöntemi ile hesaplanan taban
kesme kuvvetleri kıyaslanmıştır.

Earthquakes in last ten years in Turkey which cause catastrophes and life loses show us
there is no enough precaution and no enough designing for construction of earthquake
resistant buildings.
In this study, earthquakes’ acceleration records which belong to Erzincan in 1992, Dinar
in 1992, Adana-Ceyhan in 1998 and Izmit in 1999 are used.
Also as an example the base shear forces of a reinforced building, which are calculated
by using the procedures presented in 1975 and 1998 Turkish Earthquake Resistant Design
Code for Buildings and the base shear forces of the same building which are determined by
applying the modes superposition method to the strong ground acceleration records of the
earthquakes that are observed in recent years, are compared.

ANAHTAR KELİMELER / KEYWORDS

Mukabele spektrumları, tasarım spektrumu, deprem yönetmeliği
Response spectrum,design spectrum, earthquake design code

*
DEÜ, Mühendislik Fakültesi, İnşaat Mühendisliği Bölümü, Tınaztepe, Buca/İZMİR
Fen ve Mühendislik Dergisi Cilt : 7 Sayı : 1 Sayfa No: 2

1. GİRİŞ

Ülkemiz, dünyan ın önemli deprem ku şaklarından birisi olan Alp-Himalaya Deprem
kuşağının en aktif bölgesinde yer almaktadır. Bu nedenle ülkemiz için depreme dayanıklı yapı
tasarımı büyük önem kazanmaktadır.
Deprem, yer kabuğunun hareketi olduğu için, yapılarda zamana bağlı titreşim oluşturur.
Depreme dayanıklı bir yap ıdan, sık ve küçük şiddetteki depremleri elastik s ınırlar içinde
kalarak; orta şiddetteki depremleri elastik s ınırların ötesinde fakat ta şıyıcı sistemde
onarılabilir önemsiz hasarlarla; çok seyrek ve şiddetli depremleri ise büyük hasarlarla fakat
taşıyıcı sistemi tamamen göçmeden ve can kayb ı olmaksızın karşılaması beklenmektedir.
Ülkemizde oluşan son büyük depremlerde görülen büyük miktardaki can ve mal kay ıpları,
depreme dayanıklı yapı tasarımı ve üretimi kurallarına dikkat edilmediğini göstermektedir.
Bu çalışmada ülkemizde son yıllarda meydana gelen büyük depremlerin güçlü yer ivme
kayıtlarından hareketle elde edilen yap ılarda oluşacak taban kesme kuvvetlerinin, 1998 ve
1975 yıllarında yürürlüğe giren Afet Bölgelerinde Yapılacak Yapılar Hakkındaki Yönetmelik
hükümlerindeki hesap esaslar ına göre bulunacak taban kesme kuvvetlerinin k ıyaslanması
amaçlanmıştır. Bu amaca yönelik olarak örnek bir betonarme yap ıya deprem yönetmelik
hükümleri ve ülkemizde son y ıllarda oluşan büyük depremlere göre etkiyecek toplam taban
kesme kuvvetleri hesaplanmıştır.

2. YAPILAN KABULLER

Bu çalışmada hesapları kolaylaştırıcı aşağıdaki kabuller yapılmıştır:
1) Yapı lineer-elastik davranmaktadır.
2) Yapının kütleleri kat seviyelerinde topaklanmıştır.
3) Yapının sönüm çarpanı % 5 alınmıştır.

3. YAPILARIN DİNAMİK YÜKLER ALTINDA DAVRANIŞI

Taşıyıcı sistemin tüm yer de ğiştirmesi seçilen baz ı noktaların yer de ğiştirmesiyle veya
belirli fonksiyonlar ın toplam ı şeklinde ortaya ç ıkar. Bu noktalar ın veya koordinat
fonksiyonlarının sayısı sistemin serbestlik derecesi olarak adlandırılır. (Celep vd, 1993).
Doğrusal-elastik dinamik bir sistemin temel bileşenleri olan kütle, rijitlik ve sönümün bir
tek fiziksel elemanda toplandığı varsayılan sistemlere tek serbestlik dereceli (TSD) sistemler
denir. (Erdik vd., 1980).
Kütle, rijitlik ve sönüm bileşenlerinin birden fazla fiziksel elemanda toplandığı varsayılan
sistemlere çok serbestlik dereceli (ÇSD) sistemler denir.
Çok serbestlik dereceli bir sistemin dinamik hesap modeli olarak, kütlelerinin kat
seviyelerinde topland ığı varsay ımına dayanan ayr ık kütleli ya da yay ılı kütle kabulüne
dayanan sürekli sistem hesap yöntemleri söylenebilir.
Çok serbestlik dereceli bir sistemin dinamik davran ışını belirleyen hareket denklem
sistemi, tek serbestlik dereceli sistemin hareket denkleminin genelle ştirilmiş bir biçimi olarak
matris formda aşağıdaki gibi yazılır.
[ ] { ( )} [ ] { ( )} [ ] { ( )} [ ] [ ] ( )
M &x&t + c x& t + K x t = - M I &x& t (1)
n· n n· 1 n· n n· 1 n· n n· 1 n· n n· 1 g 1· 1
Burada n, sistemin serbestlik derecesini,
[M] , kütle matrisini
nxn
[c] , sönüm matrisini
nxn
Sayfa No: 3 N.Y.KIVILCIM

[K] , rijitlik matrisini
nxn
[I] , birim vektörü
nx1
&x& (t), güçlü yer ivmesini
g
{x(t)} , yap ının yer değiştirme vektörünü
{ }
x&(t) , yapının hız vektörünü
{ }
&x&(t) , yapının ivme vektörünü
göstermektedir.
Şekil 1’de çok serbestlik dereceli sistem ve kat hizalar ında kütleleri toplanmış matematik
hesap modeli görülmektedir.
m
3
m
3
h
m 3
2
m
2
h
2
m
1
m
1
h
1
L L
1 2

(a) (b)

Şekil 1. a) Çok Serbestlik Dereceli Sistem
b) Çok Serbestlik Dereceli Sistemin matematik hesap modeli

Ayrık kütleli modelde kütlelerin serbestlik dereceleri do ğrultusundaki deplasmanlar {z}
genlik vektörüne bağlı olarak aşağıdaki gibi elde edilir.(Çatal, 2002)
{x}=[a]{z} (2)
Burada {z}, genlik vektörünü
[a], mod vektörlerinden olu şmuş modal matrisi göstermektedir.
(2) nolu ifadeyi (1) nolu bağıntıda yerine yazarsak aşağıdaki denklem elde edilir.
[ ][ ]{ } [ ][ ]{ } [ ][ ]{ } [ ][ ]
M a &z& + c a z& + K a z = - M I &x& (3)
g
(3) nolu bağıntının her iki tarafı (i)inci mod vektörü a ’nin evriği ile çarpılırsa aşağıdaki
i
bağıntı elde edilir.
{ } [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ } { } [ ]{ }
a T M a &z& + a T c a z& + a T K a z = - a T M I &x& (4)
i i i i i i i i i i g
[ ] { } [ ]{ }
Burada M = a T M a değeri genelleştirilmiş kütle matrisini
r i i
[ ] { } [ ]{ }
C = a T c a değeri genelleştirilmiş sönüm matrisini
r i i
[ ] { } [ ]{ }
K = a T K a değeri genelleştirilmiş rijitlik matrisini
r i i
{ }
{ } [ ]{ }
M = a T M I değeri genelleştirilmiş kuvvetler vektörünü göstermektedir.
q i
Fen ve Mühendislik Dergisi Cilt : 7 Sayı : 1 Sayfa No: 4

(4) nolu denklemin her iki taraf ı genelleştirilmiş kütleye bölünür ise aşağıdaki bağıntıya
ulaşılır.
{ } { } { } { }
&z& +2xw z& +w2 z = - h I &x& (5)
i n i n i i gi
Burada h , modal katılım faktörü olup aşağıdaki gibi gösterilir.
i
M
h = qi (6)
i
M
ri
(5) nolu denklemin, h terimi hariç tek serbestlik dereceli sistemin hareket denklemine
i
tamamen benzer olduğu görülmektedir. Dinamik özellikleri (i)inci modun dinamik özellikleri
ile aynı olan tek serbestlik dereceli bir sistemin çözümünün ( h ) büyüklüğü ile çarpımı (i)inci
i
mod davranışını vermektedir. En büyük mukabele deplasman ının z(t) normal koordinatların
i
çözümü değeri aşağıdaki gibidir.
z=h *S (7)
i i di
Burada S , spektral deplasman değerini göstermektedir.
di
Bulunan z genlik de ğerleri (2) nolu ifadede yerine yaz ılır ise sistemin topaklanm ış
i
kütlelerine etkiyen elastik kuvvetler aşağıdaki bağıntı ile hesaplanır.
{F} = k .{x} (8)
i i i

4. 1975 AFET BÖLGELERİNDE YAPILACAK YAPILAR HAKKINDAKİ YÖNETMELİK

1975 yılı yönetmeliğine göre yap ıların depreme dayan ıklı olarak boyutland ırılmasında
kullanılacak statik eşdeğer yatay yüklerin toplamı aşağıdaki ifade ile bulunmaktadır.
F=C· W (9)
Burada C deprem katsay ısıdır ve
C=C · K· S· I (10)
0
ifadesi ile saptanır.
Burada C , deprem bölge katsayısını
0
K, yap ı tipi katsayısını
S, yap ı dinamik katsayısını göstermektedir.
Yapı dinamik katsayısı (spektrum katsayısı) aşağıdaki ifade ile hesaplanmaktadır.
1
S = (11)
0.8+T - T
0
Burada T, yap ının 1. moduna ait doğal periyodu (sn)
T , zeminin hakim periyodunu (sn) göstermektedir.
0
S de ğeri 1’den büyük ise maksimum 1 al ınır. Spektrum katsay ısının hesab ında
kullanılacak bina doğal periyodu aşağıdaki gibi bulunur.
0.09H
T = (12)
D
ya da T = (0.07~0.1)N (13)
Sayfa No: 5 N.Y.KIVILCIM

Bu iki denklemden T değerinin elverişsiz olanı alınır. Burada,
H, binanın temel üst kotundan ölçülen yüksekliği (m)
D, yatay yükler doğrultusuna paralel doğrultudaki bina genişliği (m)
N, bina temel düzeyi üstündeki kat adedidir.
Şekil 2’de 1975 yönetmeliğine ait spektral ivmenin zemin sınıflarına göre grafiği verilmiştir.
1200
1000
800
2) Zemin Sınıfı-I
n
s Zemin Sınıfı-II
m/ 600
c Zemin Sınıfı-III
e(
m
Zemin Sınıfı-IV
iv 400
200
0
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 2,50 3,00
Peryot(sn)

Şekil 2. 1975 ABYYHY spektral ivme grafiği

5. 1998 AFET BÖLGELERİNDE YAPILACAK YAPILAR HAKKINDAKİ YÖNETMELİK

1997 yılında yay ımlanmış olan ABYYHY revize edilerek 1998 y ılında son haliyle
yürürlüğe girmiştir.Eşdeğer deprem yükü yöntemine göre binan ın tümüne etkiyen ‘Toplam
Eşdeğer Deprem Yükü (taban kesme kuvveti)’ aşağıdaki denklem ile bulunmaktadır.
V=W· A(T)/R (T) (14)
t a
Burada V, taban kesme kuvvetini
t
W, toplam bina a ğırlığını
A(T), spektral ivme katsay ısını
R (T), deprem yükü azaltma katsayısını göstermektedir.
a
1998 ABYYHY hükümlerine göre elastik deprem yüklerinin belirlenmesi için esas
alınacak spektral ivme katsayısı A(T) aşağıdaki bağıntı ile hesaplanmaktadır.
A(T) = A · I· S(T) (15)
0
Burada A , etkin yer ivmesi katsayısını
0
I, bina önem katsay ısını
S(T), spektrum katsay ısını göstermektedir.
(15) nolu ba ğıntıda yer alan spektrum katsay ısı S(T), yerel zemin ko şullarına ve bina
doğal periyodu T’ye bağlı olarak aşağıdaki gibi hesaplanacaktır.
S(T) = 1+1.5T/T (0 £ T£ T ) (16)
A A
S(T) = 2.5 (T £ T£ T ) (17)
A B
0.8
S(T) = 2.5(T /T) (T> T ) (18)
B B
Fen ve Mühendislik Dergisi Cilt : 7 Sayı : 1 Sayfa No: 6

Burada T ve T , yerel zemin ko şullarına ba ğlı spektrum karakteristik periyotlar ını
A B
göstermektedir.
Şekil 3’de 1998 yönetmeli ğine ait spektral ivmenin zemin s ınıflarına göre grafi ği
verilmiştir.

1200 Yerel Zemin ıSnıfı-I
Yerel Zemin ıSnıfı-II
Yerel Zemin ıSnıfı-III
1000
Yerel Zemin ıSnıfı-IV
) 800
2
n
s
m/ 600
c
(
e
m
v 400
i
200
0
0.00 0.50 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00
Peryot (sn)

Şekil 3. 1998 ABYYHY spektral ivme grafiği

6. SAYISAL UYGULAMA

Şekil 4’de kal ıp planı verilen sekiz katl ı betonarme bir yap ı üzerinde 1992 Erzincan
depremi, 1995 Dinar depremi, 1998 Adana-Ceyhan depremi ve 1999 İzmit depremine ait
kuzey-güney bileşeni ve doğu-batı bileşeni güçlü yer ivmeleri etkisi alt ında ve y-y yönünden
1975 ABYYHY ile 1998 ABYYHY hesap esaslar ına göre binaya etkiyen toplam deprem
yükü (taban kesme kuvveti) değeri hesaplanmıştır.

6.1. Sekiz Katlı Betonarme Bina Özellikleri:

Yapının kullanım amacı : konut
6 2
Elastisite modülü : 2*10 t/m
Döşeme kalınlığı : 12 cm.
Kirişler : 30/60 cm.
Kolonlar : 40/70 cm.
Kat yüksekliği : 2.7 m
Bina yüksekliği : 8 · 2.7=21.6 m.
Kat ağırlıkları: : W =W = W =W =W = W = W = 143.188 ton, W = 69.47 ton
1 2 3 4 5 6 7 8
Toplam bina ağırlığı : W = 7*143.188+69.47 = 1071.786 ton
bina
Deprem bölgesi : I
Zemin sınıfı : : IV
Sayfa No: 7 N.Y.KIVILCIM

A B C
B1 m
d=12cm c
0
5
S1 S2 S3 1
1 K101 30/60 K102 30/60
m
30/60 d=1D2c1m 30/60 d=D12c2m 30/60 15 c
m
c
0
5
3
4 8 2
1 1 2
K1S4 K1 S6 K1
2 K103 30/60 K104 30/60
30/60 S5 0/60 d=1D2c3m 30/60
3
m
c
0
5
3 7 3
1 1 1
1 1 2
K K S8 K1
3 K105 30/60 K106 30/60
S7
60 D4 60 D5 S9 60
30/ d=12cm 30/ d=12cm 30/
m
c
0
5
6 3
1
K112S10 K1 S11 S12 K120
4 K107 30/60 K108 30/60
60 D6 60 D7 60
30/ d=12cm 30/ d=12cm 30/ m
c
0
5
3
K111S13 K115 S14 S15 K119 5 cm
1
5 K109 30/60 K110 30/60
B2 m
c
d=12cm 0
5
1
15cm 400 cm 400 cm 15cm

Şekil 4. Örnek Kalıp Planı

6.2. 1975 ABYYHY Hükümlerine Göre Taban Kesme Kuvveti Hesabı

Yapının I. derece deprem bölgesinde, konut tipi ve yerel zemin s ınıfı-IV olduğu kabul
edilmiştir. Buna göre yapının maksimum doğal periyodu aşağıdaki gibidir.
T = 0.1· 8 = 0.80 sn
Fen ve Mühendislik Dergisi Cilt : 7 Sayı : 1 Sayfa No: 8

T =0 (zemin hakim periyodu) olmak üzere yap ı dinamik spektrum katsay ısı aşağıdaki
0
gibidir.
1
S = =1.25>1 , S =1
0.8+0.8- 0.8 max
C = 0.10· 1· 1· 1 = 0.10 (deprem katsayısı)
Buna göre yapıya etkiyen toplam yatay yük (F) değeri aşağıdaki gibi bulunur.
F = C· W = 0.10· 1071.786 = 107.179 ton

6.3. 1998 ABYYHY Hükümlerine Göre Taban Kesme Kuvveti Hesabı

Yapının I. Derece deprem bölgesinde, konut tipi ve yerel zemin sınıfı Z-IV olduğu kabul
edilmiştir. Buna göre yapının maksimum doğal periyodu aşağıdaki gibidir.
T = 0.07· (21.6)3/4 = 0.701 sn > T = 0.20 sn
A
Yapının süneklik düzeyi normal düzeyde al ınarak deprem yükü azaltma katsay ısı
R (T)=4 alınmıştır. Tasarım ivme spektrumu aşağıdaki gibi hesaplanır.
a
A(T) = 0.40· 1.0· 2.5 = 1
Yapıya etkiyen toplam yatay yük (V) değeri aşağıdaki gibi hesaplanmıştır.
t
V = W· A(T)/R (T) = 1071.786· 1/4 = 267.947 ton
t a

6.4. Güçlü Yer İvmelerine Göre Taban Kesme Kuvvetinin Hesabı

1992 Erzincan, 1995 Dinar, 1998 Adana-Ceyhan ve 1999 İzmit depremlerinin doğu-batı
ve kuzey-güney do ğrultularındaki güçlü yer ivmeleri kullan ılarak modların süperpozisyonu
yöntemi ile yapıya gelen taban kesme kevvetleri hesaplanmıştır.
Kat kütlelerinin hesabı:
143.188
2
m = m = m = m = m = m = m = = 14.596 ts /m
1 2 3 4 5 6 7
9.81
69.47
2
m = = 7.082 ts /m
8
9.81

Yapının döşemelerinin rijit diyafram davranışı gösterdiği kabul edilmiş ve katların yatay
rijitlik değerleri aşağıda sunulmuştur.

3 4
40/70 kolonlar I = ( 0.4 * 0.7 ) / 12 = 0.0114 m
1
3 -3 4
70/40 kolonlar I = ( 0.7 * 0.4 ) / 12 = 3.73*10 m
2

Her kattaki toplam atalet momenti S I = 2*I + 13*I = 0.07129 m4
1 2
Katların yatay rijitliği:
6
12EI 12*2*10 *0.07129
k = = =86925.77 t/m
i h3 2.73
Sayfa No: 9 N.Y.KIVILCIM

Ayrık olarak modellenen yapının kütle matrisi aşağıda sunulmuştur.

Ø 14.596 0 0 0 0 0 0 0 ø
Œ œ
0 14.596 0 0 0 0 0 0
Œ œ
Œ œ
0 0 14.596 0 0 0 0 0
Œ œ
[ ] Œ 0 0 0 14.596 0 0 0 0 œ
M =
Œ œ
0 0 0 0 14.596 0 0 0
Œ œ
Œ 0 0 0 0 0 14.596 0 0 œ
Œ œ
0 0 0 0 0 0 14.596 0
Œ œ
μ 0 0 0 0 0 0 0 7.082ϧ

Yatay rijitlik matrisi

Ø 173851.54 - 86925.77 0 0 0 0 0 0 ø
Œ œ
Œ - 86925.77 173851.54 - 86925.77 0 0 0 0 0 œ
Œ 0 - 86925.77 173851.54 - 86925.77 0 0 0 0 œ
Œ œ
[ ] Œ 0 0 - 86925.77 173851.54 - 86925.77 0 0 0 œ
K =Œ 0 0 0 - 86925.77 173851.54 - 86925.77 0 0 œ
Œ œ
Œ 0 0 0 0 - 86925.77 173851.54 0 0 œ
Œ œ
0 0 0 0 0 - 86925.77 173851.54 - 86925.77
Œ œ
μ 0 0 0 0 0 0 - 86925.77 86925.77 ϧ

[M] kütle ve [K] yatay rijitlik matrislerinden elde edilen dinamik matrisin öz de ğer ve öz
vektörleri MATLAB ver.4.0 paket programı ile hesaplanmış ve aşağıda sunulmuştur.

Özdeğerler: l
<l> T=10-3<· 4.3532 0.49633 0.18821 0.10392 0.06999 0.05377 0.04567 0.04221>
Açısal Frekanslar: (w ) = 1/(cid:214)l (rad/sn)
i
<>w T = < 15.156 44.886 72.892 98.096 119.531 136.371 147.972 153.914 >
Periyotlar: T=2p /w (sn)
<T>T = < 0.415 0.140 0.086 0.064 0.053 0.046 0.042 0.041 >
Modlar:
<a >T = < 1.00 1.9614 2.8472 3.6232 4.2594 4.7313 5.0206 5.1164 >
1
<a >T = < 1.00 1.6617 1.7612 1,2629 0.3407 -0.6989 -1.5019 -1.7969 >
2
<a >T = < 1.00 1.1078 0.2273 -0.8560 -1.1757 -0.4464 0.6811 1.2010 >
3
<a >T = < 1.00 0.3842 -0.8524 -0.7117 0.5789 0.9341 -0.2201 -1.1087 >
4
<a >T = < 1.00 -0.3990 -0.8407 0.7346 0.5476 -0.9531 -0.1673 1.1098 >
5
<a >T = < 1.00 -1.1227 0.2605 0.8303 -1.1934 0.5087 0.6215 -1.2065 >
6
<a >T = < 1.00 -1.6706 1.8111 -1.3599 0.4689 0.5737 -1.4307 1.8251 >
7
<a >T = < 1.00 -1.9778 2.9116 -3.7807 4.5658 -5.2494 5.8163 -6.2540 >
8
Fen ve Mühendislik Dergisi Cilt : 7 Sayı : 1 Sayfa No: 10

Genelleştirilmiş kütle matrisi aşağıdaki gibi hesaplanmıştır.

Ø 1525.5264 0 0 0 0 0 0 0 ø
Œ œ
0 188.1442 0 0 0 0 0 0
Œ œ
Œ œ
0 0 84.0277 0 0 0 0 0
Œ œ
[ ] Œ 0 0 0 60.4322 0 0 0 0 œ
M =
r Œ 0 0 0 0 60.5233 0 0 0 œ
Œ œ
Œ 0 0 0 0 0 84.5576 0 0 œ
Œ œ
0 0 0 0 0 0 191.9731 0
Œ œ
μ 0 0 0 0 0 0 0 1881.3118ϧ

Genelleştirilmiş rijitlik matrisi aşağıdaki gibi hesaplanmıştır.

Ø 350.434 0 0 0 0 0 0 0 ø
Œ œ
0 379.072 0 0 0 0 0 0
Œ œ
Œ œ
0 0 446.456 0 0 0 0 0
Œ œ
[ ] Œ 0 0 0 581.526 0 0 0 0 œ
K =103·
r Œ 0 0 0 0 864.725 0 0 0 œ
Œ œ
Œ 0 0 0 0 0 1572.529 0 0 œ
Œ œ
0 0 0 0 0 0 4203.436 0
Œ œ
μ 0 0 0 0 0 0 0 44567.217ϧ

Genelleştirilmiş kuvvetler vektörü aşağıdaki gibi hesaplanmıştır.

(cid:236) 378.4099(cid:252)
(cid:239) (cid:239)
43.1432
(cid:239) (cid:239)
(cid:239) (cid:239)
16.3603
(cid:239) (cid:239)
{ } (cid:239) 9.0331 (cid:239)
M = (cid:237) (cid:253)
q (cid:239) 6.0843 (cid:239)
(cid:239) (cid:239)
4.6635
(cid:239) (cid:239)
(cid:239) 3.9699 (cid:239)
(cid:239) (cid:239)
(cid:238) 3.6701 (cid:254)