Table Of ContentAritmética
de los números
enteros
José Luis Ruiz Muñoz
1 crédito
P00/75004/00190
ª FUOC • P00/75004/00190 Aritmética de los números enteros
Índice
Introducción............................................................................................... 5
Objetivos...................................................................................................... 6
1. El anillo de los números enteros...................................................... 7
2. Divisibilidad.......................................................................................... 9
2.1. La relación de divisibilidad................................................................ 9
2.2. El máximo común divisor................................................................. 12
2.3. El algoritmo de Euclides.................................................................... 14
2.4. El algoritmo de Euclides extendido................................................... 18
2.5. El mínimo común múltiplo .............................................................. 20
3. Ecuaciones diofánticas....................................................................... 22
4. Números primos y factorización de enteros................................. 25
5. Congruencias de números enteros................................................... 30
5.1. La relación de congruencia................................................................30
5.2. Clases de congruencias...................................................................... 33
6. Anillos de enteros modulares............................................................ 35
6.1. Operaciones con clases...................................................................... 35
6.2. Clases invertibles............................................................................... 36
6.3. La función de Euler............................................................................ 38
6.4. Teoremas de Fermat y de Euler..........................................................42
6.5. Pruebas de divisibilidad.....................................................................44
Resumen....................................................................................................... 46
Actividades complementarias................................................................47
Ejercicios de autoevaluación..................................................................47
Solucionario................................................................................................49
Glosario........................................................................................................55
Bibliografía................................................................................................. 56
ª FUOC • P00/75004/00190 5 Aritmética de los números enteros
Introducción
Este módulo está dedicado a la aritmética de los números enteros. Lo empeza-
mos recordando las nociones básicas de los enteros que utilizamos a lo largo
del módulo. A continuación, estudiamos los conceptos de divisor y múltiplo
y las propiedades de la relación de divisibilidad, entre las cuales destaca el teo-
rema de la división entera, del que se deducen muchas de las propiedades de
los enteros que después se estudian.
Introducimos el máximo común divisor, estudiamos con detalle sus propiedades
más interesantes y damos un método, el algoritmo de Euclides, para su cálculo.
Este algoritmo es un punto clave en muchas de las cuestiones que siguen. Acaba-
remos esta sección con el estudio del mínimo común múltiplo y su cálculo.
A continuación hacemos un interludio para estudiar las ecuaciones lineales
con dos variables y coeficientes enteros, porque están estrechamente relacio-
nadas con el algoritmo de Euclides (la resolución efectiva en los enteros de es-
tas ecuaciones utiliza una versión ampliada de este algoritmo).
Después dedicamos un momento al estudio de los números primos y demos-
tramos el teorema fundamental de la aritmética o teorema de la factorización
única de los enteros como producto de primos.
En el apartado dedicado a las congruencias, definimos este concepto y demos-
tramos sus propiedades. Como veremos, es un concepto muy útil y, al mismo
tiempo, tiene una notación clara y cómoda, muy parecida a la relación de
igualdad.
Continuamos con los anillos de enteros modulares y la forma de operar con
los mismos: suma y producto de clases, cálculo de la clase inversa de una clase
invertible y cálculo de la función de Euler.
Acabamos el módulo viendo algunas aplicaciones de las congruencias.
ª FUOC • P00/75004/00190 6 Aritmética de los números enteros
Objetivos
Los contenidos de este módulo introducen al estudiante en los conceptos bá-
sicos de la aritmética de los números enteros y la algorítmica involucrada. Una
vez trabajados los contenidos de este módulo didáctico, el estudiante debe es-
tar preparado para:
1. Entender los conceptos de divisibilidad, de máximo común divisor y míni-
mo común múltiplo y utilizar el algoritmo de Euclides.
2. Saber resolver las ecuaciones diofánticas lineales con dos variables.
3. Familiarizarse con la noción de congruencia y con las operaciones básicas
con congruencias.
4. Calcular en los anillos de enteros modulares: operaciones con clases.
5. Saber calcular la función de Euler y conocer sus utilidades.
ª FUOC • P00/75004/00190 7 Aritmética de los números enteros
1. El anillo de los números enteros
En este apartado presentamos el conjunto de números enteros y menciona-
mos los hechos y las propiedades básicas que utilizamos más adelante. Supon-
gamos un conocimiento, aunque sea intuitivo, de lo que es un número entero.
A continuación expresamos con precisión cuáles son las propiedades básicas
que satisfacen los números enteros, en las que basamos los estudios de divisi-
bilidad que haremos en apartados posteriores.
Representaremos con Z el conjunto de los números enteros:
Z0=, { 1,– 2, – …}
El conjunto de los números naturales:
N0=, 1{, 2, …}
es un subconjunto de Z y es, por definición, el conjunto de los números ente-
ros positivos.
Los números enteros se pueden sumar y multiplicar. El resultado de la suma y
de la multiplicación de dos enteros es otro entero; es decir, la suma y el pro-
ducto son operaciones binarias internas en el conjunto Z.
La terna (Z, +, ·) es un anillo conmutativo con unidad.
Con esta frase queremos decir que la suma satisface las propiedades siguientes:
• Propiedad asociativa: si a, b, c ˛ Z, entonces a + (b + c) = (a + b) + c.
• Propiedad conmutativa: si a, b ˛ Z, entonces a + b = b + a.
• Existencia de elemento neutro: si a ˛ Z, entonces 0 + a = a + 0 = a.
• Existencia de elemento inverso: si a ˛ Z, entonces a+ ( -a) = 0 .
Y que el producto satisface las propiedades siguientes:
• Propiedad asociativa: si a, b, c ˛ Z, entonces a(bc) = (ab)c.
• Propiedad conmutativa: si a, b ˛ Z, entonces ab = ba .
• Existencia de elemento neutro: si a ˛ Z, entonces 1 · a = a.
ª FUOC • P00/75004/00190 8 Aritmética de los números enteros
Y que, además, hay una propiedad adicional que relaciona la suma y el pro-
ducto; nos referimos a la propiedad distributiva:
• Propiedad distributiva: si a, b, c ˛ Z, entonces a(b + c) = ab + ac.
En general, en Z no hay inversos respecto del producto; sólo los enteros –1 los
tienen. A pesar de ello, el producto satisface la propiedad siguiente:
• Ley de cancelación: si a, b, c ˛ Z satisfacen a · c = b · c y c „ 0, entonces
a = b.
Gracias a estas propiedades, es posible resolver en el anillo de los enteros las
ecuaciones del tipo a + x = b, con a y b enteros.
En Z tenemos definida una relación de orden total: si a y b son en-
teros, entonces diremos que a<b si el entero b – a es un entero posi-
tivo; es decir:
ab<b (cid:219)a – > 0(cid:219) b–a ˛ N
Las propiedades básicas referentes a la relación de orden en los enteros son las
siguientes:
1) Ley de tricotomía: si a ˛ Z, entonces exactamente una de las relaciones
siguientes es cierta: a< 0, a = 0 o a > 0.
2) Clausura de los enteros positivos: si a, b ˛ Z son enteros positivos, enton-
ces a + b y a · b son enteros positivos.
3) Principio de la buena ordenación: todo conjunto no vacío de enteros po-
sitivos tiene un primer elemento o elemento mínimo; es decir, un elemento
menor o igual que todos los demás miembros del conjunto. De forma equiva-
lente, cualquier subconjunto de N tiene un elemento mínimo. Diremos que el
conjunto N es un conjunto bien ordenado.
Observemos que el conjunto de enteros no es un conjunto bien ordenado. Por
ejemplo, el subconjunto de los enteros negativos no tiene un elemento mínimo.
ª FUOC • P00/75004/00190 9 Aritmética de los números enteros
2. Divisibilidad
En este apartado estudiaremos la divisibilidad de números enteros, así como
sus propiedades más importantes y útiles para cálculos futuros.
2.1. La relación de divisibilidad
Otras notaciones
Sean a, b ˛ Z números enteros. Diremos que a divide b si hay un único
entero x ˛ Z tal que ax = b. Es decir, si la ecuación ax = b tiene solución Si a divide b, también diremos
que a es un divisor de b o que
entera única para x. b es un múltiplo de a o que b
es divisible por a. Lo denotare-
mos por a | b. Si a no divide b,
escribiremos a | b.
Ejemplo 1
Tenemos que 16 | 64, pero 16 | 50.
Ejemplo 2
El 0 no divide ningún entero: en efecto, si 0|b, entonces habría un único entero tal que
b = 0 · x. Pero esto implicaría que b = 0, y entonces la ecuación 0 = 0 · x no tendría una única
solución x. Por lo tanto, concluimos que 0 | b, para todo entero b. Es decir, no se puede di-
vidir por 0. Por lo tanto, en la definición anterior podemos excluir la posibilidad a = 0.
La proposición 1 refleja las propiedades elementales de la relación de divi-
sibilidad.
Proposición 1
1) 1 | a, para todo a ˛ Z.
2) a | 0, para todo a ˛ Z, a „ 0.
3) La relación de divisibilidad es reflexiva: a | a.
4) La relación de divisibilidad es transitiva: si a | b y b | c, entonces a | c.
5) Linealidad: si a | b y a | c, entonces a | bx + cy, para todo x, y ˛ Z.
Demostración
1) Tenemos: a = 1 · a.
2) En efecto: 0 = a · 0.
ª FUOC • P00/75004/00190 10 Aritmética de los números enteros
3) Se satisface: a = a · 1.
4) Supongamos que a | b y que b | c. Esto quiere decir que hay enteros únicos
x e y tales que:
b = ax y c = by.
Si multiplicamos la primera igualdad por y, obtenemos:
c = by = axy, donde xy ˛ Z porque x e y ˛ Z.
Por lo tanto, a | c.
5) Supongamos que a | b y que a | c. Entonces tenemos enteros s y t tales que
verifican las condiciones siguientes:
b = as y c = at.
Si multiplicamos la primera igualdad por un entero x y la segunda por un en-
tero y y las sumamos, obtenemos:
bx + cy = asx + aty = a(sx + ty), donde sx + ty ˛ Z .
Por lo tanto, a | bx + cy.
Actividad
1. Demostrad de forma análoga a como lo acabamos de hacer las propiedades que presenta-
mos a continuación:
a) Si a, b ˛ Z, entonces a | b (cid:219) – a | – b.
b) Si a, b ˛ Z y a | b, entonces ac | bc, para todo c „ 0
c) Si a, b, c ˛ Z y ac | bc y c „ 0, entonces a | b.
d) Si a, b ˛ Z y a | b y b „ 0, entonces |a| £ |b|.
e) Si a, b ˛ Z y a | b y b | a, entonces |a| = |b|.
f) Si a, b ˛ Z y a | b, entonces b--- b.
a
Teorema 1: teorema de la división entera
Si a ‡ 0 y b > 0 son enteros dados, entonces existen q y r, enteros únicos,
que satisfacen:
abq= r + q‡ 0 0£ r<b.
Los enteros q y r se llaman, respectivamente, el cociente y el residuo de
la división entera de a entre b.
