Table Of ContentISTITUTO E MUSEO DI STORIA DELLA SCIENZA
FIRENZE
ARCHIMEDE
Mito Tradizione Scienza
Siracusa - Catania, 9-12 ottobre 1989
a cura di
Corrado Dolio
Leo S.Olschki
Firenze
L’Assessorato dei Beni Culturali e Ambientali e della Pubblica Istru
zione della Regione Sicilia ha celebrato nel 1989 Vanno archimedeo, di
cui il convegno intemazionale su «Archimede Mito Tradizione Scienza»
ha rappresentato uno dei momenti salienti. Organizzato dalVUniversità
di Catania, con la collaborazione della Facoltà di Lettere e Filosofia e
della Facoltà di Scienze Matematiche e Fisiche, il Convegno fu inaugura
to a Siracusa il giorno 9 ottobre, con l’intervento delle autorità regionali
ed accademiche: aprì i lavori il prof. Giuseppe Fichera dell’Accademia
dei Lincei, poi il Convegno proseguì a Catania nei locali dell’Aula Ma
gna dell’Università nei giorni 10, 11 e 12 ottobre. In quella occasione
venne tradotto il classico studio di Eduard ]. Dijksterhuis su Archimede,
arricchito di un saggio bibliografico di Wilbur R. Knorr (Firenze, Ponte
alle Grazie, 1989); ora appaiono nella Collana dell’Istituto e Museo di
Storia della Scienza di Firenze le relazioni allora tenute, riviste dai singoli
autori. Ad essi, come al Direttore dell’Istituto, prof. Paolo Galluzzi, va
un rinnovato grazie per la assai gradita collaborazione.
Volume pubblicato con il contributo ~ V ~
della Regione Siciliana e dell’Istituto e Museo di Storia della Scienza di Firenze
ISBN 88 222 3952 0
INDICE
Gaetano Fichera, Rigore e profondità nella concezione di Archi-
mede della matematica quantitativa...............................................Pag. 1
Giuseppe Cambiano, Scoperta e dimostrazione in Archimede » 21
Roshdi Rashed, Archimède dans les mathématiques arabes » 43
Menso Folkerts - Richard Lorch, Some geometrical Theorems
attributed to Archimedes and their Appearance in the West » 61
Jens Hoyrup, Archimedism, not Platonism: on a malleable Ideolo
gy of Renaissance Mathematicians (1400 to 1600), and on its Ro
le in the Formation of Seventeenth-Century Philosophies of Science » 81
Rosario Moscheo, L’Archimede del Maurolico...............................» 111
Anna de Pace, Archimede nella discussione su Aristotelismo e Pla
tonismo di Jacopo Mazzoni...............................................................» 165
Corrado Dollo, L'egemonia dell’Archimedismo in Galilei. . » 199
William R. Shea, Archimedes and Descartes: a syracusan Victory » 225
Ugo Baldini, Archimede nel Seicento italiano...............................» 237
Massimo Galuzzi, La lettura di Archimede nell'opera di Newton » 291
Paolo Casini, Archimede e gli storici del Settecento. . » 319
Gianni Micheli, Il mito di Archimede nell'Ottocento e nel Nove
cento in Ita lia .................................................................................» 335
Antonino Maugeri, La conoscenza in Archimede tra assiomatica
e intuizione.......................................................................................» 347
Attilio Agodi, Archimede: teoria ed ingegneria della conoscenza » 363
Salvatore Not Arrigo, Archimede e la fisica ...............................» 381
-V II-
INDICE
Ronald S. Rivlin, Archimedes: Father of Statics.........................Pag. 395
Dionigi Gallettto, La teoria della leva nell’opera di Archimede
e la critica ad essa rivolta da Mach............................................» 415
Indice dei nomi..................................................................................» 477
ARCHIMEDE
MITO TRADIZIONE SCIENZA
-V ili-
Gaetano Fichera
RIGORE E PROFONDITÀ NELLA CONCEZIONE DI
ARCHIMEDE DELLA MATEMATICA QUANTITATIVA
Dovendo parlare dell’Opera di Archimede e particolarmente di quel
lo che io considero il suo contributo più emblematico alla Scienza,
cioè lo scritto kux^oü péxpîiaiç (Misura del cerchio), mi viene in men
te l’inizio di una conferenza che il Premio Nobel Eugene P.Wigner
tenne alla New York University 1’ 11 maggio del 1959 quale «Richard
Courant Lecture in Mathematical Sciences» ed alla quale, per una for
tunata coincidenza, mi trovai ad assistere. Quella conferenza ha tito
lo «The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences»
[1]. Wigner così esordisce:
Vi è una storia relativa a due amici che erano vecchi compagni di scuola
e, reincontratisi, vennero a parlare dei relativi mestieri. Uno di essi era uno
statistico e lavorava nei problemi di incremento della popolazione. Ebbe così
modo di mostrare un suo estratto all’antico compagno. L’articolo comincia
va, come di consueto, con la distribuzione Gaussiana e lo statistico spiegava
al vecchio amico i simboli usati per indicare l’effettiva popolazione, la popo
lazione media e così via. Il compagno di scuola, digiuno di cognizioni scienti
fiche, era alquanto incredulo e non era molto sicuro che lo statistico non
stesse prendendolo in giro. «Ma come puoi sapere queste cose - gli chiede
V
va sospettoso — e poi che simbolo è mai questo?» «Beh - rispose lo statisti
co - questo è 7t». «Che cosa?» «E il simbolo che indica il rapporto fra
circonferenza e diametro di un cerchio». «Adesso basta di scherzare! — in
tervenne l’altro risentito - Sicuramente l’incremento della popolazione non
ha nulla a che vedere con la circonferenza del cerchio!»
Naturalmente, questa storiella farà sorridere molti degli ascoltato
ri, specie i cultori di discipline scientifiche. Ma è certo che se dovessi
mo spiegare come mai il numero n interviene in tante questioni
scientifiche e tecniche, dove la lunghezza della circonferenza, almeno
a priori, non c’entra per niente, ci troveremmo sicuramente imbarazzati.
~ 1 ~
GAETANO FICHERA RIGORE E PROFONDITÀ NELLA CONCEZIONE DI ARCHIMEDE ETC.
La lettera n impiegata per indicare la misura (lunghezza) della cir deità assoluta. Il suo platonismo non gli consente di riferirsi ai problemi
conferenza, quando come unità di misura si assuma il relativo diame di calcolo, considerati appartenenti ad una sfera intellettuale inferio
tro, è originata dalla parola greca perìphérìa (circonferenza) che ha re. Incredibile a dirsi, tale modo di pensare è vivo ancora oggi presso
appunto 7t come iniziale. Il suo impiego è relativamente recente, dato molti matematici! Dirò subito che esso corrisponde, più che ad una
che sembra risalire al XVII secolo. L’uso del simbolo n divenne co concezione nobile ed incontaminata della matematica, ad una superfi
stante dopo la pubblicazione àÆ Analisi di Leonardo Eulero. Prima ciale visione di essa e dei suoi rapporti con il mondo fisico.
d’allora altre lettere erano state adoperate. Giovanni Bernoulli aveva Dopo la scoperta che Pitagora (570-496 a.C.) aveva fatto, come
usato la lettera c e lo stesso Eulero la lettera latina p. conseguenza del suo famoso teorema, dell’esistenza di grandezze mu
Il problema del calcolo di n può interpretarsi sia come quello del tuamente incommensurabili, cioè tali che il rapporto delle loro misure
calcolo della metà della lunghezza della circonferenza di raggio unita non è esprimibile come rapporto di due interi {numero razionale), il
rio e prende allora il nome di problema della rettificazione della circon campo dei numeri venne allargato ammettendovi i numeri irrazionali,
ferenza, oppure come il calcolo dell’area del cerchio di raggio, sempre, che, con i razionali, costituiscono il campo reale, espressione del contì
unitario: problema della quadratura del cerchio. Si vuole, in questo ca nuo unidimensionale. Il continuo, nelle sue accezioni bi- e tri
so, costruire un quadrato (e, quindi, il lato di questo) la cui area egua dimensionali, costituisce il modello più accettabile del mondo fisico
gli quella del detto cerchio, sia, cioè, esattamente uguale a n. quale noi lo vediamo, o crediamo di vedere. Certo non esaminerò qui
E difficile rintracciare nel tempo quando il problema del calcolo il problema se il continuo veramente esista o non sia piuttosto un’illu
di n venne posto per la prima volta. Da Federigo Enriques [2] ho sione dei nostri sensi. Per coloro che vivono fuori del mondo scienti
appreso che il primo accenno alla rettificazione della circonferenza fico dirò soltanto che potrebbe accaderci, nella nostra vita sensoriale
si trova nella Bibbia, ove la lunghezza della semi-circonferenza è as di ogni giorno, quello che in realtà ci accade allorché assistiamo alla
sunta essere tre volte quella del raggio, cioè n = 3. Un caso questo proiezione di un film: la rapida successione di un numero finito di
nel quale, a parte la sacralità della fonte, l’antico detto omne trinum immagini ci crea l’illusione di un moto continuo. Comunque, il conti
est perfectum viene smentito clamorosamente, dato che 3 è una ben nuo è uno schema comodo. Ed è certo assai conveniente configurare
misera approssimazione di n {n = 3.141592653589793...). Ma già nel in esso sia il mondo della fisica che quello della geometria. Ma il nu
bel noto Papyrus Rhind, conservato al British Museum a Londra ed mero reale, che sta alla base della concezione del continuo, è una for
attribuito allo scrittore egiziano Ahmose (circa 2000 a.C.), si trova mazione concettuale di straordinaria complessità. Esclusi i numeri
enunciato con chiarezza il problema della quadratura del cerchio e razionali, che nel contesto di tutti numeri reali costituiscono una spa
si suggerisce di assumere come lato del quadrato di area n la lunghez rutissima minoranza, tanto che, preso a caso un numero reale, la pro
za del diametro del cerchio diminuita di 1/9 di tale lunghezza. Quindi babilità che esso sia razionale è nulla, gli altri numeri reali richiedono
una definizione altamente sofisticata. E qui ritornano i bistrattati nu
meri razionali, i quali sono sì una ristrettissima minoranza rispetto
* = ( 2- } ) 2 - ( - ^ - ) 2 - 3.160493826...,
a tutti i numeri reali, ma hanno l’importante proprietà secondo cui,
dato comunque un numero reale x, esistono sempre due numeri razio
che non è poi tanto male. La matematica greca sembra disinteressarsi nali, uno più piccolo di x e l’altro più grande, la cui differenza si
del calcolo effettivo di n. Era già noto ad Eudosso di Cnido (406-355 può richiedere sia tanto piccola quanto si vuole. Si ha quindi questa
a.C.) nel IV secolo a.C. e forse già ad Ippocrate di Chio (V see. a.C.) situazione: il numero reale è un’astrazione mentale, la cui definizione
la proporzionalità dell’area dei cerchi ai quadrati dei raggi. Eùclide ha suscitato, specie presso i logici, non poche perplessità, tuttavia es
(III see. a.C.), nel suo XII libro, dimostra tale proporzionalità, ma so è approssimabile «per difetto» e «per eccesso» con particolari nume
non pone neanche il problema del calcolo del fattore di proporzionali ri razionali, gli unici che per l’essere umano costituiscono una realtà
tà, cioè di 7C. In effetti, Euclide si muove in una concezione di teore- concreta, per intenderci, con quei numeri razionali che possono esse
~ 2 - ~ 3 -
GAETANO FICHERA RIGORE E PROFONDITÀ NELLA CONCEZIONE DI ARCHIMEDE ETC.
re rappresentati con un numero intero seguito da una virgola e da Non si tratta della determinazione esatta della lunghezza della circonfe
un numero finito di cifre decimali. Il numero reale (malgrado il suo renza in funzione del diametro..., ma di una determinazione approssimata
eseguita usando soltanto rette e cerchi nel modo classico...
nome!) è l’aspirazione, l’ente ideale che permette di creare un’illusio
ne di completezza e perfezione. Il numero decimale è la realtà che Invece, l’insegnamento che Archimede trasmette con questa sua
ci viene concessa, che può avvicinarsi all’ideale, ma mai raggiungerlo. opera è ben altro ed assai più profondo. Egli, certo, a quell’epoca,
E non è questa l’abituale condizione umana? non sapeva se n fosse razionale o irrazionale, nè, tantomeno, se po
Per quanto io stesso sia un matematico, debbo ammettere che at tesse o non potesse costruirsi con riga e compasso un segmento di
traverso i secoli molti matematici hanno attribuito ed attribuiscono lunghezza 7u, se cioè n fosse algebrico o trascendente. Infatti, solo
una realtà concreta alle creazioni del loro spirito, illudendosi di vivere venti secoli dopo sarebbe stato dimostrato da Jean H. Lambert, nel
immersi nei mondi da loro stessi creati, completi e perfetti nell’ardi 1768, l’irrazionalità di n e, solo nel 1882, Ferdinand von Lindemann
tezza delle forme ad essi conferite, dimentichi del carattere puramen avrebbe provato la trascendenza di n. Archimede sa soltanto che n
te ideale degli oggetti matematici che danno sostanza alle loro creazioni. è un numero reale. Il suo possente genio deve avere intuito essere
Così è per Euclide e così sarà per tanti altri, anche grandi, dopo di lui. pressoché impossibile che esso fosse razionale. Non tentò quindi nean
Non è questo il caso di Archimede. che, come altri avevano fatto prima e dopo di lui faranno, di rappre
Alcuni si saranno chiesti come mai io abbia definito la Misura del sentare n con il rapporto di due numeri interi. Egli sa che l’unica
cerchio di Archimede la più emblematica fra le sue opere. Ancorché possibilità concessa ad un essere umano per calcolare un numero reale
l’abilità tecnica esibita in questo suo lavoro, raffrontata alle possibili incognito è quella di costruire numeri razionali che approssimano quanto
tà matematiche di allora, sia enorme, tuttavia esistono altri suoi scrit più si vuole, per difetto e per eccesso, il numero reale cercato. Ed
ti dove, forse, è profusa una genialità ancora maggiore. I lavori di è questa la via che egli intraprende.
statica ed idrostatica, ad esempio, quelli sulle aree e volumi e, soprat Il suo metodo consiste nell’assumere, come approssimazione per
tutto, le idee esposte nel Metodo sui teoremi meccanici, lavoro scoper difetto di re, il semiperimetro di un poligono regolare inscritto nella
to da J. L. Heiberg in un palinsesto a Costantinopoli nel 1906, idee circonferenza di raggio unitario e come valore per eccesso, quello di
che lasciano veramente attoniti per l’incredibile fantasia scientifica un poligono regolare circoscritto. Parte dagli esagoni e successivamen
del sommo Siracusano, che riconduce problemi di calcolo di aree e te raddoppia i lati considerando i poligoni regolari inscritti e circo-
volumi a problemi di statica relativi alla leva! Ma è nella Misura del scritti di 12, 24, 48, 96 lati. Qui si ferma. Il procedimento si direbbe
cerchio che, più ancora che la straordinaria sua tecnica e l’incredibile oggi «per ricorrenza», dato che dal lato del poligono (inscritto o circo-
sua fantasia, appare la filosofia di Archimede riguardo a quelli che scritto) di 3-2n lati egli determina quello di 3-2n+1 lati.
in ultima analisi sono i problemi culminanti della matematica: i pro Accenniamo brevemente al procedimento di Archimede, usando
blemi di calcolo. tutte le semplificazioni che il linguaggio matematico, oggi estrema-
Purtroppo, l’enorme interesse teorico racchiuso in questo messag mente più progredito rispetto ai suoi tempi, ci consente.
gio di Archimede non sembra essere stato recepito nè nei tempi pas Sia an il semilato del poligono regolare, inscritto nel cerchio, di
sati nè in quelli recenti. Eutocio di Ascalona (VI see. d.C.) nei suoi 3-2n lati. Dal triangolo rettangolo di cateti an e yn si trae (vedi
Commentari considera la Misura del cerchio un’opera avente unicamente Fig. 1)
intendimenti pratici e cita Eraclide, che in una Vita di Archimede —
Yn =
andata perduta — avrebbe scritto: «Questo libro è necessario per i
bisogni della vita». Ed ancora oggi, anche in opere pregevoli, quale, e dal triangolo rettangolo di ipotenusa 2an + 1 e cateto an si trae
ad esempio, la traduzione italiana commentata delle opere di Archi-
mede dovuta ad Attilio Frajese [3], si legge (p. 215):
2an + 1 = Va* + (l-y n)2 = ^ 2 -2 V i-a* .
- 4 - - 5 -
GAETANO FICHERA RIGORE E PROFONDITÀ NELLA CONCEZIONE DI ARCHIMEDE ETC.
PnB = 5„ = v r r p i
Pn+ 1
e quindi
R - P.
(3)
Pn+I = i + v m ? ■
Si ha, d’altra parte,
_1_
Fig. 1
B = °i = 2 = 1
a\ I
1 Vi — 7 V3
Quindi V
- 4
(1) 2an+1 = ^ 2 -V 4-(Ì^ J2 .
La (3) permette quindi il calcolo per ricorrenza di pn e dei valori per
eccesso 7tn" di n, dati da
Poiché cq è il semilato dell’esagono regolare inscritto, si ha
di = 1/2 e quindi la (1) permette di calcolare per ricorrenza i valori (4) < = 3 • 2n pn .
per difetto 7cn' di n, essendo
Le difficoltà che Archimede dovè superare per l’attuazione nume
(2) < = 3 • 2n an rica della (1) e della (3) sono enormi, quando si tenga conto dello
stato della matematica al suo tempo. Ad esempio, non era nota allora
Sia ora |3n il semilato del poligono circoscritto di 3-2n lati. Con alcuna regola per il calcolo delle radici quadrate. Guardando agli arti
dotta la bisettrice dell’angolo opposto a Pn nel triangolo rettangolo fici che egli adopera per superare questa difficoltà, non può non veni
avente cateti pn ed il raggio, il punto in cui questa incontra pn de re alla mente l’espressione di Galileo, che, nei Discorsi e dimostrazioni
termina Pn + 1 (vedi Fig. 2). Se 6n è l’ipotenusa del predetto triangolo matematiche intorno a due nuove scienze, dichiara di aver letto e stu
rettangolo, per un teorema di geometria elementare, si ha diato i libri di Archimede «con infinito stupore» ([4] p. 613).
Ad esempio, per VJ Archimede fornisce le seguenti limita
zioni:
265 1351
(5) < V3 <
153 780
cioè
1.732026143 < 1.732050807 < 1.732051282 .
Come egli sia giunto alle approssimazioni (5) è questione sulla quale
molto si è dibattuto ed ancora si seguita a dibattere.1
1 Cfr. [3] pp. 220-222.
~ 6 ~ ~ 7 ~
GAETANO FICHERA RIGORE E PROFONDITÀ NELLA CONCEZIONE DI ARCHIMEDE ETC.
Sono anche ingegnosissimi i procedimenti con i quali Archimede rigore assoluto per quanto concerne le limitazioni inferiori e superiori
«arrotonda» i valori per difetto e per eccesso espressi da (2) e (4), del numero incognito; talché, anche se mai l’essere umano raggiunge
onde rappresentarli con semplici frazioni. Ad esempio, la (2) e la (4) rà la sua piena conoscenza, potrà però valutare Verrore, sempre mino
per n = 5, opportunamente arrotondate con rigoroso metodo, per difet re, che egli commette procedendo con le sue approssimazioni.
to la (2) e per eccesso la (4), forniscono la celebre limitazione di n Si può discutere se Archimede, come alcuni sostengono, fu il fon
a lui dovuta datore della moderna analisi infinitesimale, ma è indubbio che egli
10 10 fu della moderna analisi numerica, intesa, non come troppi oggi
3 + < n < 3 + —
usano, quale «matematica sperimentale», ma come rigorosissima disci
71
plina matematica, sublimazione e capitolo elevatissimo di tutta l’ana
che, usando i numeri decimali, si scrive lisi matematica.
Ma a questo punto è spontaneo chiedersi se il messaggio contenu
(6) 3.14084507 < n < 3.142857142 . to nell’insegnamento trasmesso da Archimede sia stato, oggi, comple
tamente recepito dall’umanità.
Nella tabella che segue abbiamo voluto indicare i valori numerici La risposta, come già dissi, è, a mio avviso, completamente nega
forniti dalla (2) e dalla (4) per diversi valori di n tiva. Per sostenere questa affermazione potrei portare molteplici esempi
di gravi errori logici che sono stati commessi e vengono commessi
n K <
a causa del non rendersi conto che, in genere, il numero reale è sco
1 3 3.4641102 nosciuto ed inconoscibile, ma soltanto approssimabile e dell’attribuire
2 3.1058285 3.2153904
alla parola «calcolare» un significato del tutto ideale e, quindi, illuso
3 3.1326286 3.1596560
rio rispetto alla realtà concessa ad ogni essere umano.
4 3.1393502 3.1460863
5 3.1410319 3.1427146 Considererò come esempio quello che a me appare come assai si
6 3.1414524 3.1418731 gnificativo, cioè la condanna che è stata (ingiustamente!) emanata sul
7 3.1415576 3.1416628 la classica teoria di Fourier della propagazione del calore [5] e le
8 3.1415838 3.1416102
proposte, avanzate in questi ultimi 40 anni, per la sua sostituzione
9 3.1415904 3.1415971
con nuove teorie che, seppure possano essere, rispetto a quella, più
10 3.1415921 3.1415938
25 3.1415926 3.1415927 rispondenti alla realtà fisica (e ne dubito molto!), non hanno, almeno
50 3.14159262 3.14159266 finora, una giustificazione accettabile su un piano di autentico rigore
75 3.141592652 3.141592654 scientifico.
100 3.141592653 3.1415926536
La condanna della teoria di Fourier era stata emessa già da molto
tempo e molti avevano tentato di «emendare» questa teoria. Carlo
Per n = 5, com’è ovvio, si ottengono risultati lievemente migliori di Cattaneo (1911-1979), per primo, è riuscito a proporre una teoria del
quelli dati dalla (6). Dalla tabella numerica riportata si vede che il la propagazione del calore alternativa a quella di Fourier. Il lavoro
procedimento teorico fornito da Archimede ancora oggi è atto a for di Cattaneo del 1949 [6] ha avuto uno straordinario seguito ed ha
nire eccellenti approssimazioni per difetto e per eccesso di n. aperto tutto un nuovo capitolo della fisica matematica. Non vorrei
Con la sua opera Misura del cerchio Archimede ha insegnato agli sembrare irriguardoso verso la Memoria di Cattaneo, che fu mio Col
uomini che significato debba darsi alla parola calcolare, come sia illu lega a Roma e con il quale eravamo legati da vincoli di cordiale amici
sorio considerare il numero reale quale un oggetto attuale, ma, come, zia, se mi permetterò di avanzare talune riserve alla sua teoria e ad
piuttosto, esso sia un ente ideale la cui conoscenza, mai raggiungibile altre analoghe che, nella sua scia, vari Autori hanno proposto. Ma
pienamente, debba essere lo scopo di raffinata indagine, condotta con 11 rispetto delle proprie convinzioni scientifiche, quando maturate con
~ 8 - - 9 -
GAETANO FICHERA RIGORE E PROFONDITÀ NELLA CONCEZIONE DI ARCHIMEDE ETC.
onestà intellettuale, non può conoscere remore, anche se queste sono Si può, pertanto, esprimere il secondo postulato (principio di con
motivate dal ricordo affettuoso e dal profondo rispetto per la figura servazione della quantità di calore) con l’equazione
umana di uno Scomparso.
d u
Per ben comprendere la critica mossa alla teoria di Fourier, biso (9) = 0 .
YPT T + d x
gna riandare ai fondamenti di quella teoria ed esaminarli con cura.
Ci limiteremo a considerare il caso assai semplice di un corpo mate
Da (8) e (9), introducendo il coefficiente di diffusione termica
riale costituito da un filo rettilineo di grandissima lunghezza e, quin
di, schematizzabile con un asse nel quale sia stata introdotta un’ascissa X
D =
x. Diremo u (x, t) la temperatura del punto x del filo all’istante t>0. YP
La teoria di Fourier poggia su due postulati. Il primo di essi è
originato dall’osservazione sperimentale secondo cui vi è passaggio di si ottiene la classica equazione di Fourier
calore da un punto x del filo ad un punto x + dx, di questo più fred
do, e la quantità di calore q che passa da x ad x + dx nell’unità di d2u 1 du
(10)
tempo, flusso termico, è proporzionale alla differenza delle temperatu d x2 D d t
re in x ed in x + dx ed inversamente proporzionale a dx. Quindi
La teoria di questa equazione permette di risolvere diversi proble
u (x) - u (x + dx)
(7) q = X mi applicativi relativi alla diffusione del calore nel filo. Consideria
dx mone uno particolarmente semplice, ma che contiene «in nuce» gli
elementi concettuali della teoria.
Il coefficiente di proporzionalità x è il coefficiente dì conducibilità
Si supponga che un punto del filo — per fissare le idee x = 0 -
termica e dipende dalla sostanza di cui il filo è composto. La (7) implica
all’istante t = 0 abbia temperatura unitaria (nelle prescelte unità di mi
d u sura), laddove gli altri punti siano tutti non riscaldati (temperatura
(8) q = - x nulla). Ci si chiede: qual’è la temperatura del generico punto x del
d x
filo all’istante t > 0? La risposta che la teoria di Fourier fornisce per
La (8) esprime il primo dei due postulati menzionati. questo problema è espressa dalla formula
Il secondo postulato esprime il principio della indistruttibilità del -x 2
la quantità di calore. Si considerino due punti x e x + dx del filo.
(11) u(x,t) = - 7 4 = ------e4Dt (t>0) .
L’incremento, relativo ad un intervallo di tempo (t, t + dt), della quan 2 VTt Dt
tità di calore contenuta nel tratto (x, x + dx) del filo, è dato dall’in
Ecco allora la critica fondamentale alla teoria di Fourier. Assunto
cremento di temperatura esprimibile con — — dt moltiplicato per
comunque t, anche piccolissimo purché positivo, e qualunque sia x,
la massa di (x, x + dx), cioè p dx, ove p è la densità del filo, e molti anche con |x| grandissimo, all’istante t la temperatura di x è, secondo
plicato ancora per il calore specifico y del filo. D’altra parte tale incre la (11), positiva. E quindi l’assurdo: il calore si è propagato dal punto
mento, se vi è conservazione della quantità di calore, deve eguagliare 0 al punto x istantaneamente, cioè con velocità infinita! Ciò è smentito
il flusso termico che entra in x diminuito di quello che esce da x + dx, dalle più elementari esperienze.
il tutto moltiplicato per dt. Si ha quindi Cattaneo non esita a chiamare questo «un aspetto paradossale del
la teoria classica della propagazione del calore» ([6], p. 83) e ribadisce:
«...mi sembra ben certo che l’immediatezza calorifica a distanza sia,
y p dx = q (x) — q (x + dx) .
d t almeno in linea di concetto, paradossale» ([6], p. 85).
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