Álgebra Vetorial e Geometria Analítica 9 Ed

242 Pages·2016·4.4 MB·Spanish

by  Jacir J. Venturi

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Dedicoàspessoas
queprocuram
omelhornooutro
eaooutro
tambémoferecem
omelhordesi.
JacirJ.Venturi
Dedicoàspessoas
queprocuram
omelhornooutro
eaooutro
tambémoferecem
omelhordesi.
JacirJ.Venturi
Índice CAPÍTULO5
VETORES
01. Sinopsehistórica.......................................................................... 64
02. Grandezasescalaresevetoriais.................................................... 64
03. Definições,etimologiaenotações.................................................. 64
CAPÍTULO1 04. Paralelismodevetores.................................................................. 67
NOÇÕESPRELIMINARES 05. Multiplicaçãodeumvetorporumescalar....................................... 68
06. Coplanaridadedevetores.............................................................. 70
01. Elementosprimitivos.................................................................... 20 07. Adiçãodevetores.......................................................................... 70
02. Pontoeretaimpróprios................................................................ 20 08. Subtraçãodevetores..................................................................... 72
09. Combinaçãolineardevetores........................................................ 77
CAPÍTULO2 10. Expressãocartesianadeumvetor................................................. 77
RELAÇÕESSEGMENTÁRIASNOESPAÇOUNIDIMENSIONAL 11. Condiçãodeparalelismodedoisvetores....................................... 79
12. Condiçãodecoplanaridadedevetores.......................................... 84
01. Retaorientada............................................................................. 25 13. Combinaçãolineardequatrove tores............................................. 87
02. Medidaalgébricadeum segmento............................................... 25 14. Ângulodedoisvetores................................................................... 89
03. Razãosimplesdetrêspontos....................................................... 26 15. Multiplicaçãointernaouescalar..................................................... 90
04. Divisãoáurea.......................................................................... ..... 27 16. Expressãocartesianadoprodutoescalar...................................... 97
05. Abscissasnareta......................................................................... 29 17. Multiplicaçãovetorialouexterna.................................................... 104
06. Distânciaentredoispontos.......................................................... 29 18. Áreadeumparalelogramoedeumtriângulo.................................. 111
07. Razãosimplesdetrêspontos....................................................... 30 19. Multiplicaçãomista........................................ ................................ 115
20. Duplamultiplicaçãovetorial........................................................... 121
CAPÍTULO3
SISTEMASDECOORDENADASNOESPAÇOBIDIMENSIONAL CAPÍTULO6
VETORES:APLICAÇÕESGEOMÉTRICASCLÁSSICAS
01. Sistemacartesianoortogonal....................................................... 35
02. Sistemacartesianooblíquo.......................................................... 36 01. Projeçãodeumvetorsobreumoutrovetor.................................... 128
03. Paresordenados:operaçõeseigualdade.................................... 36 02. Projeçãodeumpontosobreumplano........................................... 132
04. Distânciaentredoispontos.......................................................... 37 03. Distânciadepontoaplano............................................................. 135
05. Pontoquedivideum segmentonumarazãodada........................ 39 04. Distânciadeumpontoareta.......................................................... 137
06. Baricentrodeum triângulo........................................................... 39 05. Distânciaentreduasretas...................................................... ....... 139
07. Sistemapolar............................................................................... 41 06. Áreadeumtriângulo...................................................................... 142
08. Passagemdosistemapolarparaosistema 07. Áreadaprojeçãoortogonaldeumtriângulosobreumplano........... 144
cartesianoortogonal..................................................................... 44 08. Áreadaprojeçãonãoortogonal
deumtriângulosobreumplano...................................................... 145
CAPÍTULO4 09. Co-senosdiretoresdeumvetor..................................................... 148
SISTEMASDECOORDENADASNOESPAÇOTRIDIMENSIONAL
01. Sistemacartesianoortogonal.............................................. ......... 51 CAPÍTULO7
02. Distânciaentredoispontos.......................................................... 52 OPLANONOE 3
03. Pontoquedivideum segmentonumarazãodada........................ 53
04. Baricentrodotriângulo................................................................. 53 01. Equaçãodoplano........................................................................... 157
05. Sistemacilíndrico......................................................................... 57 02. Pertinênciadepontoaplano.................................................. ........ 160
06. Sistemaesférico........................................................................... 60
Índice CAPÍTULO5
VETORES
01. Sinopsehistórica.......................................................................... 64
02. Grandezasescalaresevetoriais.................................................... 64
03. Definições,etimologiaenotações.................................................. 64
CAPÍTULO1 04. Paralelismodevetores.................................................................. 67
NOÇÕESPRELIMINARES 05. Multiplicaçãodeumvetorporum escalar...................................... 68
06. Coplanaridadedevetores.............................................................. 70
01. Elementosprimitivos.................................................................... 20 07. Adiçãodevetores.......................................................................... 70
02. Pontoeretaimpróprios................................................................ 20 08. Subtraçãodevetores..................................................................... 72
09. Combinaçãolineardevetores........................................................ 77
CAPÍTULO2 10. Expressãocartesianadeum vetor................................................. 77
RELAÇÕESSEGMENTÁRIASNOESPAÇOUNIDIMENSIONAL 11. Condiçãodeparalelismodedoisvetores....................................... 79
12. Condiçãodecoplanaridadedevetores.......................................... 84
01. Retaorientada............................................................................. 25 13. Combinaçãolineardequatrove tores............................................. 87
02. Medidaalgébricadeumsegmento............................................... 25 14. Ângulodedoisvetores................................................................... 89
03. Razãosimplesdetrêspontos....................................................... 26 15. Multiplicaçãointernaouescalar..................................................... 90
04. Divisãoáurea.......................................................................... ..... 27 16. Expressãocartesianadoprodutoescalar...................................... 97
05. Abscissasnareta......................................................................... 29 17. Multiplicaçãovetorialouexterna.................................................... 104
06. Distânciaentredoispontos.......................................................... 29 18. Áreadeumparalelogramoedeum triângulo................................ 111
07. Razãosimplesdetrêspontos....................................................... 30 19. Multiplicaçãomista........................................ ................................ 115
20. Duplamultiplicaçãovetorial........................................................... 121
CAPÍTULO3
SISTEMASDECOORDENADASNOESPAÇOBIDIMENSIONAL CAPÍTULO6
VETORES:APLICAÇÕESGEOMÉTRICASCLÁSSICAS
01. Sistemacartesianoortogonal....................................................... 35
02. Sistemacartesianooblíquo.......................................................... 36 01. Projeçãodeum vetorsobreum outrovetor.................................. 128
03. Paresordenados:operaçõeseigualdade.................................... 36 02. Projeçãodeum pontosobreum plano......................................... 132
04. Distânciaentredoispontos........................................................... 37 03. Distânciadepontoaplano............................................................. 135
05. Pontoquedivideumsegmentonumarazãodada......................... 39 04. Distânciadeum pontoareta........................................................ 137
06. Baricentrodeumtriângulo............................................................ 39 05. Distânciaentreduasretas...................................................... ....... 139
07. Sistemapolar............................................................................... 41 06. Áreadeumtriângulo...................................................................... 142
08. Passagemdosistemapolarparaosistema 07. Áreadaprojeçãoortogonaldeum triângulosobreum plano......... 144
cartesianoortogonal..................................................................... 44 08. Áreadaprojeçãonãoortogonal
deum triângulosobreum plano................................................... 145
CAPÍTULO4 09. Co-senosdiretoresdeumvetor..................................................... 148
SISTEMASDECOORDENADASNOESPAÇOTRIDIMENSIONAL
01. Sistemacartesianoortogonal.............................................. ......... 51 CAPÍTULO7
02. Distânciaentredoispontos.......................................................... 52 OPLANONOE 3
03. Pontoquedivideumsegmentonumarazãodada......................... 53
04. Baricentrodotriângulo................................................................. 53 01. Equaçãodoplano........................................................................... 157
05. Sistemacilíndrico......................................................................... 57 02. Pertinênciadepontoaplano.................................................. ........ 160
06. Sistemaesférico........................................................................... 60
03. lnterseção de um plano com os eixos coordenados ....................... 160
04. Equação segmentária do plano ..................................................... 162
05. Equação do plano que passa por um ponto e
ortogonal a um vetor ..................................................................... 164
06. Casos particulares da equação geral do plano .............................. 166
07. Paralelismo e ortogonalidade de dois planos ................................ 171
08. Equação do feixe de dois planos ................................................... 176
09. Distância de um P a um plano (cid:97) ................................................... 179
O
10. Equação dos planos bissetores .................................................... 182
11. Ângulo de dois planos ................................................................... 183
CAPÍTULO 8
A RETA NO E3
01. Equações da reta .......................................................................... 187
02. Posições relativas de duas retas ................................................... 198
03. Condições de paralelismo e ortogonalidade de duas retas ............ 199
04. Condição de coplanaridade de duas retas .................................... 202
05. lnterseção de reta e plano ............................................................. 205
06. lnterseção de duas retas ............................................................... 206
07. Condições de paralelismo e ortogonalidade de reta e plano .......... 210
08. Distância de um ponto a uma reta ................................................. 216
09. Distância entre duas retas reversas .............................................. 218
10. Ângulo de duas retas .................................................................... 220
11. Ângulo de uma reta com um plano ................................................. 221

APÊNDICE - RECR e ANDO ................................................................ 224
i
03. lnterseçãodeumplanocomoseixoscoordenados....................... 160
04. Equaçãosegmentáriadoplano..................................................... 162
05. Equaçãodoplanoquepassaporumpontoe
ortogonalaumvetor..................................................................... 164
06. Casosparticularesdaequaçãogeraldoplano.............................. 166
07. Paralelismoeortogonalidadededoisplanos................................ 171
08. Equaçãodofeixededoisplanos................................................... 176
09. DistânciadeumPaumplano... a ................................................ 179
O
10. Equaçãodosplanosbissetores.................................................... 182
11. Ângulodedoisplanos................................................................... 183
CAPÍTULO8
ARETANOE3
01. Equaçõesdareta.......................................................................... 187
02. Posiçõesrelativasdeduasretas................................................... 198
03. Condiçõesdeparalelismoeortogonalidadededuasretas............ 199
04. Condiçãodecoplanaridadededuasretas............................ ........ 202
05. lnterseçãoderetaeplano............................................................. 205
06. lnterseçãodeduasretas............................................................... 206
07. Condiçõesdeparalelismoeortogonalidadederetaeplano.......... 210
08. Distânciadeumpontoaumareta................................................. 216
09. Distânciaentreduasretasreversas.............................................. 218
10. Ângulodeduasretas.................................................................... 220
11. Ângulodeumaretacomumplano.... ............................................. 221
APÊNDICE-RECRAeNDO ................................................................ 224
i
ÁLGEBRAVETORIALEGEOMETRIAANALÍTICA Jacir.J.Venturi
P R E F Á C I O
J.Rieglersedispuseramaleromanuscritoeapresentarsugestões.
Omesmopreitodegratidãoestendemos àplêiadedecolegas e
O amigosdoDepto.deMatemáticadaUFPR,quenospropiciaram
umaconvivênciadecrescimentonadisciplina,emmaisdequatro
lustros.
Opresentetrabalhofoiescritotendocomonorteuma
premissabásica:quefosseacessívelaoalunodo1.ºanoda Críticas esugestõeshãodesurgir. Eserãobem-vindas.
faculdade eparatantosualinguagemteriaquesertãoclara e Resta-nosoconsolodeterenvidadoesforçosparaempregarutil-
didáticaquantopossível.Porvezes,preferiu-seaapresentação menteonossotempo."Acensuraquenosforfeita-sefazoportuno
intuitivaaosrefinamentosteóricos. SouzaPinto -hádesermitigadapelocensorseelechegar ater
Contém421exercícios(comseussubitens)emordem consciênciadenossaboavontadeemacertar."
crescentededificuldade.Paraumaboaassimilaçãodotexto,
resolveremosdiversosexercíciosemaula,deixandoosdemaisa
cargodoaluno.Propositalmente,nãoseinseriramnotexto
exercíciosresolvidos(aforaalgunsexemplosdeaplicação
imediatadateoria) paraumamaiorvalorizaçãodaaula,
enlevando ainteraçãoaluno-professor. Oalunodeveterem
menteque àresoluçãodosexercíciosdeveprecederumbom
conhecimentodateoria.
Umgrandenúmerodeilustraçõesfacilita o
entendimentodotexto e éimprescindívelquandosealmeja a
formaçãodeumavisãoespacialnaGeometriaAnalítica
Tridimensional.Hásinopseshistóricas,indicaçõesdeaplica-
bilidadepráticaesugestõesparaaresoluçãodeexercícios,no
intuitodemotivaroalunonaquiloqueestáestudando.
Osquatrosprimeiroscapítulosintegramoprogramada
GeometriaAnalítica naUFPR eforamabordadosdemaneira
concisaparanãopenalizarimportantescapítulosvindourosda
disciplina:reta,plano,cônicas,superfícies,etc.
Oscapítulos 5 e 6tratamdevetores.Háinúmeros
caminhospara aresoluçãodeproblemasgeométricosatravés
daÁlgebra,porémotratamentovetorialéomaisindicadopela
suaelegância esimplicidade,alémdeserassazimportante a
outrasdisciplinas.AumbomrendimentoescolaremGeometria
Analítica,comenfoquevetorial,atrela-seumrespeitável
conhecimentodoscapítulos5e6.
Háquesetomarpúblicoque,face ànossaformação
acadêmica erelacionamentoprofissional, opresentetrabalho
recebeupreponderanteinfluênciadolivroGeometriaAnalíticae
Vetores,doProfessorLeoBarsotti,querecomendamosatodos
osalunosqueaspiramaumaprofundamentoeaummaiorrigor
noassunto.
Ademais,cumprimos oelementardeverdegratidão
pelodesprendimentocomqueosprofessoresFlorindaMiyaòka,
OsnyA.Dacol,AnaMariaN.deOliveira,LuciC.WatanabeeIvo
ÁLGEBRAVETORIALEGEOMETRIAANALÍTICA Jacir.J.Venturi
P R E F Á C I O
J.Rieglersedispuseramaleromanuscritoeapresentarsugestões.
Omesmopreitodegratidãoestendemos àplêiadedecolegas e
O amigosdoDepto.deMatemáticadaUFPR,quenospropiciaram
umaconvivênciadecrescimentonadisciplina,emmaisdequatro
lustros.
Opresentetrabalhofoiescritotendocomonorteuma
premissabásica:quefosseacessívelaoalunodo1.ºanoda Críticas esugestõeshãodesurgir. Eserãobem-vindas.
faculdade eparatantosualinguagemteriaquesertãoclara e Resta-nosoconsolodeterenvidadoesforçosparaempregarutil-
didáticaquantopossível.Porvezes,preferiu-seaapresentação menteonossotempo."Acensuraquenosforfeita-sefazoportuno
intuitivaaosrefinamentosteóricos. SouzaPinto -hádesermitigadapelocensorseelechegar ater
Contém421exercícios(comseussubitens)emordem consciênciadenossaboavontadeemacertar."
crescentededificuldade.Paraumaboaassimilaçãodotexto,
resolveremosdiversosexercíciosemaula,deixandoosdemaisa
cargodoaluno.Propositalmente,nãoseinseriramnotexto
exercíciosresolvidos(aforaalgunsexemplosdeaplicação
imediatadateoria) paraumamaiorvalorizaçãodaaula,
enlevando ainteraçãoaluno-professor. Oalunodeveterem
menteque àresoluçãodosexercíciosdeveprecederumbom
conhecimentodateoria.
Umgrandenúmerodeilustraçõesfacilita o
entendimentodotexto e éimprescindívelquandosealmeja a
formaçãodeumavisãoespacialnaGeometriaAnalítica
Tridimensional.Hásinopseshistóricas,indicaçõesdeaplica-
bilidadepráticaesugestõesparaaresoluçãodeexercícios,no
intuitodemotivaroalunonaquiloqueestáestudando.
Osquatrosprimeiroscapítulosintegramoprogramada
GeometriaAnalítica naUFPR eforamabordadosdemaneira
concisaparanãopenalizarimportantescapítulosvindourosda
disciplina:reta,plano,cônicas,superfícies,etc.
Oscapítulos 5 e 6tratamdevetores.Háinúmeros
caminhospara aresoluçãodeproblemasgeométricosatravés
daÁlgebra,porémotratamentovetorialéomaisindicadopela
suaelegância esimplicidade,alémdeserassazimportante a
outrasdisciplinas.AumbomrendimentoescolaremGeometria
Analítica,comenfoquevetorial,atrela-seumrespeitável
conhecimentodoscapítulos5e6.
Háquesetomarpúblicoque,face ànossaformação
acadêmica erelacionamentoprofissional, opresentetrabalho
recebeupreponderanteinfluênciadolivroGeometriaAnalíticae
Vetores,doProfessorLeoBarsotti,querecomendamosatodos
osalunosqueaspiramaumaprofundamentoeaummaiorrigor
noassunto.
Ademais,cumprimos oelementardeverdegratidão
pelodesprendimentocomqueosprofessoresFlorindaMiyaòka,
OsnyA.Dacol,AnaMariaN.deOliveira,LuciC.WatanabeeIvo